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\begin{document}


\title[]% (optional, use only with long paper titles)
{Probabilités III}

\subtitle{Lois continues}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.


\institute{Lycée Notre-Dame - T$^{ale}$S3}% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{logondr}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{\today{}}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }



\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\AtBeginSubsection[]
{\scriptsize
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\tiny
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
%\ThisCenterWallPaper{1}{logoiremBigInv}
 \Large \titlepage 
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}

\normalsize


























% début

\section{Un exemple de variable aléatoire continue}

\subsection{Notion de continuité}


\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{IQ}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item 
Nous avons étudié pour l'instant uniquement des variables
aléatoires pouvant prendre des valeurs isolées, surtout des
nombres entiers.
\item  Cependant, on est souvent amené dans les domaines
industriels et économiques à étudier des variables aléatoires
pouvant prendre, au moins théoriquement, n'importe quelle valeur
dans $\R$ ou dans un intervalle de $\bbr$
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{itemize}
\item les dimensions d'un objet;
\item la durée de vie d'un matériel;
\item une distance parcourue;
\item une quantité de matière ou une masse.
\end{itemize}

\pause

Les évènements que l'on étudie sont définis par des inéquations et non des équations.

\end{frame}


\subsection{Modélisation du choix d'un nombre dans $[0,1]$ - Loi
  uniforme}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item  Calculons la probabilité qu'un nombre quelconque du segment
 $[0,1]$ se trouve dans un certain intervalle $[a,b]$ inclus dans
 $[0,1]$;
 \item on peut subdiviser le segment
 $[0,1]$ en 100 petits segments de même longueur $\Delta x$ (1mm
 par exemple);
 \item La probabilité qu'un nombre se trouve dans l'une
 des subdivisions vaut donc 1/100 compte-tenu de l'uniformité de
 la répartition.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item  Notons $n_{a,b}$ le nombre de subdivisions recouvertes par $[a,b]$
  et $\lambda([a,b])$ la
  longueur du segment $[a,b]$;
  \item  Notons $\bbp([a,b])$ la
    probabilité que le nombre se trouve dans le segment $[a,b]$;
    \item  Alors   $\bbp([a,b])=\dfrac{n_{a,b}\times\Delta  x}{100\times  \Delta
        x}\pause=\dfrac{n_{a,b}}{100}$;
      \item . On s'aperçoit que $\bbp([a,b])$ est
 indépendante de l'unité $\Delta x$ choisie par
 proportionnalité;
 \item donc
 $$\bbp([a,b])=\fr{\lambda([a,b])}{\lambda([0,1])}$$
  \end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}
   \begin{itemize}
  \item On peut ainsi
    faire tendre $\Delta x$ vers 0 pour obtenir un modèle continu;
  \item on se rappelle que $\lambda([a,b])=\int_a^b1\,dx$
  \item Finalement  $$\bbp([a,b]) =  \frac{\int_a^b1\,dx}{\int_0^11\,dx}\pause =
    \frac{b-a}{1-0}$$
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Cette loi de probabilité sur $[0,1]$, qu'on appelllera \textbf{loi
uniforme} sur $[0,1]$, est associée à une fonction constante (dans
le cas présent la fonction constante et égale à 1) qui caractérise
la probabilité;
\item on l'appelle la \textbf{densité} de $\bbp$;
  \item On notera alors $$\bbp(a \leqslant X \leqslant b) = \frac{\int_a^b1\,dx}{\int_0^11\,dx}$$

  \end{itemize}
\end{frame}


\subsection{Fonction de répartition}


\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Comme on travaille sur des intervalles, la fonction de répartition de la variable aléatoire étudiée sera alors essentielle. Traditionnellement notée $F$, elle est justement définie par
$$F(a)=P(X\leq a)$$
pour $a$ dans l'intervalle de définition de $X$.
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  

\begin{definition}[Fonction de répartition]
  Soit une loi de probabilité p sur
$I=[a,b]$ et de densité $f$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $I$ suivant la loi
de probabilité $\bbp$.

On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ la
fonction F définie sur I par
$$F(x)=\bbp(a \leqslant X \leqslant  x)=\int_a^xf(t)\,dt$$
\end{definition}


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    \begin{itemize}
\item $P(X\leq 0)=F(0)$ ;
\item $P(-5,7< X\leq 15,9)=F(15,9)-F(-5,7)$ ;
\item $P(X\geq 20,54)=1-F(20,54)$.
\end{itemize}
  \end{example}
\end{frame}


\subsection{Densité de probabilité}


\begin{frame}
  \begin{example}
    \begin{itemize}
    \item 
La fonction de répartition est souvent donnée par une intégrale.
\item \'Etudions par exemple la variable aléatoire $X$ dont la fonction de répartition est
$$\left\{
\begin{array}{ll}
\forall x<0 & F(x)=0\, ;\\
\forall x\geq0 & F(x)=\displaystyle\int_0^x 0,002e^{-0,002t}dt.\\
\end{array}\right.
$$
\item La fonction intervenant dans cette intégrale, notée $f$, est
appelée
\emph{densité de probabilité} de la variable $X$.
\item La fonction de
répartition $F$ est en fait une primitive de $f$.
    \end{itemize}
  \end{example}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{theorem}
    Si $a$ et $b$ sont deux réels de l'ensemble de définition de $X$, alors
$$P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt.$$
  \end{theorem}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{alertblock}{Remarque}
    \begin{itemize}
    \item La probabilité  de l'univers, c'est à dire de  $\R$ ou de l'intervalle
      de $\R$ étudié est forcément égale à 1.
      \item Ainsi, pour une variable aléatoire définie sur $\R$, sa densité de probabilité doit vérifier
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt=1.$$
\item On peut vérifier cette propriété en étudiant séparément
$\int_{0}^{x} f(t)dt$ et $\int_{x}^{0} f(t)dt$ puis leurs limites
respectives quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$.
    \end{itemize}
    
  \end{alertblock}
\end{frame}



\subsection{Espérance et variance}


\begin{frame}
  \begin{theorem}
    L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ définie par une densité de probabilité est donnée par la formule
$$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} tf(t)dt.$$
  \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Pour calculer la variance, on  utilisera la plupart du temps le théorème
    de König-Huyghens:
    \item la variance est égal àl'espérance du carré moins le carré de l'espérance.
  \end{itemize}
\end{frame}



\section{Lois exponentielles}


\begin{frame}
  \begin{definition}
    La variable  aléatoire $X$ suit la  loi exponentielle de paramètre  $λ$ avec
    $λ>0$ signifie que sa  fonction de répartition est
$$\left\{
\begin{array}{ll}
\forall x<0 & F(x)=0\, ;\\
\forall x\geq0 & F(x)=\displaystyle\int_0^x λe^{-λt}dt.\\
\end{array}\right.
$$
\end{definition}

\begin{itemize}
\item Est-ce que l'on définit bien une loi de probabilité?
  \item Que vaut $F(x)$ sans utiliser d'intégrale?
\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Espérance?
    \item Loi de durée de vie sans vieillissement?
  \end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{example}[Bac]

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. 

Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle. 
\item Calculer $P(Z> 2)$. 
\item Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? 
\end{enumerate}

    
    
  \end{example}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{example}[Bac]
On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Voici les observations sur une journée
%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée d'attente en minute 	&[0~;~2[ 	&[2~;~4[ 	&[4~;~6[ 	&[6~;~8[\\ \hline
Nombre de voitures			& 75 		&19 		&10 		&5\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
\item  On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (minute).
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$~min.
		\item  Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
		\item  Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{example}
\end{frame}

\section{Lois normales}

\subsection{Histoire}
\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Idée de la \og normalité\fg{}
  \item beaucoup de données autour de la moyenne
    \item le nombre de données diminue à mesure qu'on s'en éloigne
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{multicols}{2}
    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{demoivre}
\end{center}
%\end{figure}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{moivreChances}
\end{center}
%\end{figure}

    
\end{multicols}
$$f(x)=ae^{-bx^2}$$
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{multicols}{2}
    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{laplace}\\
  Pierre-Simon \textsc{Laplace} (1749-1827)
\end{center}
%\end{figure}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.73\linewidth]{gauss}\\
  Friedrich \textsc{Gauss} (1777-1855)
\end{center}
%\end{figure}
\end{multicols}
$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
\end{frame}


\begin{frame}
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{quetelet}\\
Adolphe \textsc{Quetelet} (1796-1874)
\end{center}
%\end{figure}
 
\end{frame}


\begin{frame}
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{quetelet_anthropo}
\end{center}
% \end{figure}
\end{frame}

\subsection{Généralités}


\begin{frame}
  \begin{definition}
    On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ de paramètres $m$ et $\sigma$ lorsque
sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie par

$$f(t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\displaystyle{\frac{t-m}{\sigma}}\right)^2}.$$
  \end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{theorem}
    On admet que si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ alors
$$E(X)=m\textrm{ et }\sigma(X)=\sigma.$$
Ainsi les paramètres d'une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type.
  \end{theorem}
\end{frame}



\subsection{Loi normale centrée réduite ${\cal N}(0;1)$}

\begin{frame}
  \begin{definition}
    La loi normale la plus simple est celle de moyenne $m=0$ et d'écart-type $\sigma=1$. On l'appelle \textbf{loi
normale centrée réduite.}\\
Sa fonction de répartition est souvent noté $\Pi$
  \end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
   \begin{itemize}
  \item Extrait de La Table
  \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$t$ & 0,05 & 0,06 & 0,07 \\
\hline
1,1 & 0,8749 & 0,8770 & 0,8790 \\
1,2 & 0,8944 & 0,8962 & 0,8980 \\
1,3 & 0,9115 & 0,9131 & 0,9147 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre situé à l'intersection de la colonne 0,06 et de la ligne 1,3 est la valeur de la fonction
de  répartition   de  $X$  pour  $t=1,3+0,06=1,36$.   Ainsi  $$\Pi(1,36)=P(X\leq
1,36)=0,9131.$$
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{CASIO}
   \begin{itemize}
  \item  \keystroke{OPTN}\keystroke{F5}(STAT)\keystroke{F3}(DIST)\keystroke{F1}(NORM)

\item   \keystroke{Ncd}

\item Valeur inférieure, valeur supérieure, écart-type, moyenne

  \item
    \keystroke{$-10^{99}$}\keystroke{,}\keystroke{$1.36$}\keystroke{,}\keystroke{1}\keystroke{,}\keystroke{0}\keystroke{EXE}

    \item \texttt{0.9130850381}
    \end{itemize}
  \end{frame}



  \begin{frame}\frametitle{TI}

    \begin{multicols}{3}

      
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{TInorm1}
\end{center}
%\end{figure}

      
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{TInorm2}
\end{center}
% \end{figure}


      
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{TInorm3}
\end{center}
%\end{figure}
      
    \end{multicols}
    
  \end{frame}



  \begin{frame}
    \begin{theorem}{Parité de la loi centrée réduite}
Comme la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire, on a :
\begin{eqnarray*}
    \Pi(-t) & = & P(X<-t) \\
            & = & P(X>t) \\
            & = & 1-P(X<t) \\
            & = & 1-\Pi(t).
\end{eqnarray*}
\end{theorem}

\pause


\begin{theorem}
  On déduit de la proposition précédente que
\begin{eqnarray*}
    P(-t<X<t) & = & P(X<t)-P(X<-t) \\
              & = & \Pi(t)-\Pi(-t) \\
              & = & \Pi(t)-(1-\Pi(t)) \\
              & = & 2\Pi(t)-1
\end{eqnarray*}
\end{theorem}
\end{frame}


\subsection{Utilisation de la loi normale centrée réduite}

\begin{frame}
  \begin{theorem}
    Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ de moyenne $m$ et
d'écart-type $\sigma$ alors la variable aléatoire $$Y=\frac{X-m}{\sigma}$$ suit
la loi normale centrée réduite ${\cal N}(0;1)$.
  \end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
    Une variable $X$ suit la loi normale de paramètres
$m=12$ et $\sigma=3$. Calculer $P(X<16)$ et
$P(9<X<15)$.
\end{example}
\begin{itemize}
\item On pose $Y=\frac{X-m}{\sigma}=\frac{X-12}{3}$;
\item $Y$ suit la loi normale centrée réduite;
  \item      L'événement      $X<16$       est      alors      équivalent      à
    $Y<\cfrac{16-12}{3}=\cfrac{4}{3}$;
  \item donc $P(X<3)=P(Y<1,33)=\Pi(1,33)=0,908\ 2$;
  \item L'événement $9<X<15$ est alors équivalent à $-1<Y<1$;
    \item donc
\begin{eqnarray*}
P(9<X<15) & = & P(-1<Y<1)\\
          & = & \Pi(1)-\Pi(-1) \\
          & = & \Pi(1)-(1-\Pi(1)) \\
          & = & 2\Pi(1)-1 = 0,682\ 6.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{frame}


\subsection{Largeur de la cloche}

\begin{frame}
  \begin{theorem}
      Si $X$ suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$, alors 
   \begin{itemize}
      \item $P(m-\sigma\leq X\leq m+\sigma)\approx0,68$.   
      \item $P(m-2\sigma\leq X\leq m+2\sigma)\approx0,95$.
   \end{itemize}      
  \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{cloche}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}

  
\subsection{Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}


\begin{frame}
  \begin{theorem}
    Si $n$ est \og grand\fg{} et $p$ est assez éloigné de 0 et 1 alors la loi binomiale ${\cal B}(n;p)$ peut
être approchée par la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$, où $m=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
\end{theorem}


\end{frame}



\section{Exercices}


\begin{frame}
  \begin{example}
    Déterminer grâce à la table de la fonction intégrale de la loi centrée réduite les probabilités
suivantes. On les exprimera auparavant à l'aide de la fonction $\Pi$.

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq 1,27)$ ;
\item $P(X\geq 0,84)$ ;
\item $P(X\leq -1,58)$ ;
\item $P(0,25\leq X\leq 1,25)$ ;
\item $P(-0,93\leq X\leq 0,93)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
  \end{example}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{example}
    Exprimer $P(t_1\leq X\leq t_2)$, $P(X\leq -t)$ et $P(-t\leq X\leq t)$ à l'aide de la
fonction $\Pi$.
  \end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
    Une variable aléatoire  $X$ suit la loi normale  ${\cal N}(20;5)$. Calculer,
    en utilisant la machine ou la table du formulaire:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq 28)$ ;
\item $P(X\geq  28)$ ;
\item $P(X\geq  20)$ ;
\item $P(X\geq  12)$ ;
\item $P(12\leq  X\leq  28)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
  \end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
    {\scriptsize
    On jette dix fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le nombre d'apparitions du
côté \og face\fg{} obtenu.
\begin{enumerate}
  {\scriptsize
\item Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité de l'événement $E$ : \og Le nombre d'apparitions du
côté FACE est compris entre 3 et 6 inclus\fg{}.
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète $X$ par une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$.}\par
\begin{enumerate}
   {\scriptsize
	\item Déterminer les valeurs appropriées de $m$ et $\sigma$.
	\item En utilisant l'approximation, calculer de nouveau la probabilité $P(E)$.}
	\end{enumerate}
      \item \begin{enumerate}
           {\scriptsize
	\item Tracer le diagramme en bâtons de la fonction qui à $t$ associe $P(X=t)$ en utilisant une échelle convenable.
	\item Sur le graphique précédent, représenter la densité de probabilité de la loi normale
	${\cal N}(m;\sigma)$. Que constate-t-on?}
	\end{enumerate}
      \end{enumerate}
      }
\end{example}
\end{frame}

\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
