

\begin{filecontents*}{geo3d.mp}
 


input newcourbes; 

 input couleur;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage{preambule}
\begin{document} 

etex



beginfig(1); 
% coordonnées d'un point dans un repere de l'espace 
numeric u; 
pair t,s,q; 
u = 1cm; 
 
%definitions de l'origine et des vecteurs de base 
t=(1u,0u); 
s=(0u,1u); 
q=(-0.5u,-0.5u); 
z0 = (0,0); 
z1= z0 shifted t; 
z2 = z0 shifted s; 
z3 = z0 shifted q; 
 


%construction du point M 
z4 = z0 shifted 4t; 
z5 = z0 shifted 4s; 
z6 = z0 shifted 4q; 

z7= 3.5t+2.5q; 
label.bot(btex $M'$ etex, z7) withcolor bleu_f; 
z8 = 3.5t ; 
z9 = 2.5q ; 

z10 = z7 shifted 3s; 

z11 = z10 shifted z0-z7; 
path p;
p:=z0--z7--z10--z11--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;

%trace de l'origine et des vecteurs de base 
dotlabel.lft(btex $O$ etex, z0); 
label.bot(btex $\Mathbold{\ve{j}}$ etex, z1); 
label.lft(btex $\Mathbold{\ve{\imath}}$ etex, z3); 
label.lft(btex $\Mathbold{\ve{k}}$ etex, z2); 
 
%trace des axes 
drawarrow z0--z1 withpen pencircle scaled 1.6bp; 
drawarrow z0--z2 withpen pencircle scaled 1.6bp; 
drawarrow z0--z3 withpen pencircle scaled 1.6bp; 


drawarrow z0--z4 ; 
drawarrow z0--z5 ; 
drawarrow z0--z6 ; 

draw z7--z8 dashed evenly withcolor bleu_m; 
draw z7--z9 dashed evenly withcolor bleu_m; 
label.top(btex $y$ etex, z8); 
label.lft(btex $x$ etex, z9); 

draw z7--z10 dashed evenly withcolor bleu_f; 
label.rt(btex $M$ etex, z10) withcolor bleu_f; 

draw z11--z10 dashed evenly withcolor bleu_f; 
label.lft(btex $z$ etex, z11); 
drawarrow z0--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f; 
drawarrow z0--z7 withcolor bleu_f; 
 
endfig; 






beginfig(2);


pair o,a,b,h;

o:=origin;
a:=(2u,3u);
b:=(3u,0);
h:=(2u,0);

drawarrow o--b withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
drawarrow o--a withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
drawarrow b--a;

draw h--a dashed evenly;

draw symbole_ortho(b,h,a,0.25u);

 mark_angleg(b,o,a,0,0.45u);

label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(o+a))withcolor bleu_f;
label.rt(btex $\ve{u}-\ve{v}$ etex, 0.5*(a+b));
label.bot(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(o+b))withcolor bleu_m;
label.ulft(btex $H$ etex, h);
label.rt(btex $\theta$ etex, (0.35u, 0.35u));
label.top(btex $A$ etex, a);
label.lrt(btex $B$ etex, b);
label.llft(btex $O$ etex, o);
endfig;


beginfig(3);
numeric u;
u:=0.8cm;
pair a,b,c;

a:=origin;
b:=(6u,0);
c:=(6u,3u);

drawarrow a--b withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
drawarrow a--c withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor bleu_f;
drawarrow b--c withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor 0.6white;


label.bot(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(a+b))withcolor bleu_m;
label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(c+b))withcolor 0.6white;
label.ulft(btex $\ve{u}+\ve{v}$ etex, 0.5*(a+c))withcolor bleu_f;
label.llft(btex $A$ etex, a);
label.lrt(btex $B$ etex, b);
label.urt(btex $C$ etex,c);


endfig;











beginfig(4);


%droite orthogonale a un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[];

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;
draw z0--z2 withcolor bleu_m;
draw z2--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1 withcolor bleu_m;
draw z1--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

%droite orthogonale
z8 = p1 intersectionpoint p2;
z9 = z8 shifted (0u,2u);
label.rt(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
z10 = z8 shifted (0u,-2u);
p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
z11 = p3 intersectionpoint p4;
draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

%vecteurs
pair Z,ZZ,ZZZ;
Z:=0.5[z8,z4];
ZZ:=0.5[z8,z7];
ZZZ:=z8 shifted(0u,1u);
drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 2.2bp;
label.lft(btex $\ve{u}$ etex, ZZZ) withcolor bleu_f;
label.top(btex $\ve{v_1}$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
label.top(btex $\ve{v_2}$ etex,Z) withcolor bleu_m;





%marquage des angles droits
z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
z14= z13 shifted z12-z8;
draw z12--z14;
draw z13--z14;

z15=0.2[z8,z4];z16=0.1[z8,z9];
z17= z16 shifted z15-z8;
draw z15--z17;
draw z16--z17;
endfig;















beginfig(5);
%droites orthogonales 
numeric u;
pair t,r,zz,ZZ;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(2u,3u); r=(0u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%les droites perpendiculaires en I
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
zz:= 0.25*z1;
ZZ:= 0.25*z2;
z2 = z0 transformed S;
draw z0--z1 withcolor bleu ;
draw z0--z2 withcolor bleu_f;
drawarrow z0--zz withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z0--ZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
%label.bot(btex $I$ etex, z0) ;
label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(z0+ZZ)) withcolor bleu_f;
label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(z0+zz)) withcolor bleu;


%marquage de l'angle droit
z3=0.1[z0,z1];z4=0.1[z0,z2];
z5=z3 shifted z4-z0;
draw z3--z5;
draw z4--z5;

%droites d et delta
pair zzz, ZZZ;
z6=(0u,-1u);
z7 = z6 transformed T;
zzz:=zz shifted (0,-1u);
drawarrow z6--zzz withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.6bp;
label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(z6+zzz)) withcolor bleu;
draw z7--z6 withcolor bleu;
label.bot(btex $\Delta$ etex, z7) withcolor bleu;
z8=(-1u,-1u);
z9= z8 transformed S;
ZZZ:=ZZ shifted(-u,-u);
drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(z8+ZZZ)) withcolor bleu_f;
label.lft(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
draw z9--z8 withcolor bleu_f;
endfig;








beginfig(6);


%vecteur normal a un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[];

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;
draw z0--z2 withcolor bleu_m;
draw z2--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1 withcolor bleu_m;
draw z1--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);%draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);%draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
%label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
%label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

%droite orthogonale
z8 = p1 intersectionpoint p2;
z9 = z8 shifted (0u,2u);
dotlabel.bot(btex  etex, z8);
label.bot(btex $A$ etex, z8) withcolor bleu_m;

%label.rt(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
%draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
z10 = z8 shifted (0u,-2u);
p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
z11 = p3 intersectionpoint p4;
%draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
%draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

%vecteurs
pair Z,ZZ,ZZZ;
Z:=0.5[z8,z4];
ZZ:=0.5[z8,z7];
ZZZ:=z8 shifted(0u,1.5u);
drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
label.lft(btex $\ve{n}$ etex, ZZZ) withcolor bleu_f;
label.urt(btex $M_1$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
label.ulft(btex $M_2$ etex,Z) withcolor bleu_m;





%marquage des angles droits
z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
z14= z13 shifted z12-z8;
draw z12--z14;
draw z13--z14;

z15=0.2[z8,z4];z16=0.1[z8,z9];
z17= z16 shifted z15-z8;
draw z15--z17;
draw z16--z17;
endfig;

















beginfig(7);


%distance d'un point à un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[];

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;
draw z0--z2 withcolor bleu_m;
draw z2--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1 withcolor bleu_m;
draw z1--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);%draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);%draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
%label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
%label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

%droite orthogonale
z8 = p1 intersectionpoint p2;
z9 = z8 shifted (0u,2u);
dotlabel.bot(btex  etex, z8);
label.bot(btex $H$ etex, z8) withcolor bleu_m;

dotlabel.top(btex  etex, z9);
label.top(btex $M$ etex, z9) withcolor bleu_f;
draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor bleu_f;
z10 = z8 shifted (0u,-2u);
p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
z11 = p3 intersectionpoint p4;
%draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
%draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

%vecteurs
pair Z,ZZ,ZZZ;
Z:=z8 shifted(0u,0.75u);
ZZ:=0.85[z8,z7];
ZZZ:=z8 shifted(0u,1.5u);
%drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
label.lft(btex $\Mathbold{\ve{n}}$ etex, Z shifted (0,0.25u)) withcolor bleu_f;
label.urt(btex $A$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
%label.ulft(btex $M_2$ etex,Z) withcolor bleu_m;


draw ZZ--z9;


%marquage des angles droits
z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
z14= z13 shifted z12-z8;
draw z12--z14;
draw z13--z14;
endfig;





















beginfig(8);
%droites orthogonales a deux plans paralleles

numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;
path p[];

%premier plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;
draw z0--z2withcolor bleu_m;
draw z2--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1 withcolor bleu_m;
draw z1--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR_1$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;


%deuxieme plan 
z10=(0u,-2.5u);
z11 = z10 transformed T;
z12 = z10 transformed S;
z13 = z10 transformed T transformed S;
path pp;
pp:=z10--z11--z13--z12--cycle;
fill pp withcolor bleu_ciel;
draw z10--z12 withcolor bleu_m;
draw z12--z13 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z10--z11 withcolor bleu_m;
draw z11--z13 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR_2$ etex, z10+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

%premiere droite
pair Z,ZZ;
z20 = (2u,1u);z26 = z20 shifted (0u,-2.5u);
z21 = z20 shifted (0u,2u);
Z= z20 shifted (0u,1.5u);
ZZ=z20 shifted(0u,-1.15u);
z22 = z20 shifted (0u,-4.5u);

p1 = z21--z22;
p2 = z0--z1;
p3 = z10--z11;
z24 = p1 intersectionpoint p2;
z25 = p1 intersectionpoint p3;
drawarrow z20--Z withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
label.rt(btex $\ve{n_1}$ etex, Z);
drawarrow z26--ZZ withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor bleu_f;
label.rt(btex $\ve{n_2}$ etex, ZZ shifted(0,-0.15u));

draw z21--z20;draw z20--z24 dashed evenly;draw z24--z26;draw z26--z25 dashed evenly; draw z25--z22;

%deuxieme droite
z30 = (3u,1.5u);z36 = z30 shifted (0u,-2.5u);
z31 = z30 shifted (0u,2u);
z32 = z30 shifted (0u,-4.5u);

p11 = z31--z32;
p12 = z0--z1;
p13 = z10--z11;
z34 = p11 intersectionpoint p12;
z35 = p11 intersectionpoint p13;
%draw z31--z30;draw z30--z34 dashed evenly;draw z34--z36;draw %z36--z35 
%dashed evenly; draw z35--z32;

%marquage des angles droits
z40=0.1[z20,z30];z41=0.1[z20,z21];
z42 = z41 shifted z40-z20;
draw z42--z40;
draw z42--z41;

z50=0.1[z30,z20];z51=0.1[z30,z31];
z52 = z51 shifted z50-z30;
%draw z52--z50;
%draw z52--z51;

z60=0.1[z26,z36];z61=0.1[z26,z24];
z62 = z61 shifted z60-z26;
draw z62--z60 withcolor bleu_m;
draw z62--z61 withcolor bleu_m;

z70=0.1[z36,z26];z71=0.2[z36,z34];
z72 = z71 shifted z70-z36;
%draw z72--z70;
%draw z72--z71;

draw z20--z30;
draw z26--z36;
endfig;

















beginfig(9);
%intersection de deux plans perpendiculaires
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[],q[];

u= 1cm;
t=(6u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%Tracé de P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;
draw z0--z2 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1 withcolor bleu_m;
draw z1--z3 withcolor bleu_m;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $\PR_1$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

%Tracé de Q
z5 = 0.5[z0,z1];
z6 = z5 transformed S;
z7 = z5 shifted (0u,-2.5u);
z8 = z7 transformed S;
z5 = 0.5[z9,z7];
z10= z9 transformed S;
path pp;
pp:=z9--z10--z8--z7--cycle;
fill pp withcolor 0.9white;
draw z0--z1 withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 2pt;
draw z5--z6 ; 
draw z9--z7withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
draw z9--z10withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
draw z10--z6withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
draw z6--z3 withcolor bleu_m;
draw z7--z8withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
p1 = z2--z6;
q1= z5--z9;
z11 = p1 intersectionpoint q1;
draw z11--z6 dashed evenly withcolor bleu_m;
draw z2--z11withcolor bleu_m;
p2 = z6--z8;
q2= z5--z1;
z12 = p2 intersectionpoint q2;
draw z12--z6 dashed evenly  withcolor 0.4white;
draw z8--z12 withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
label.urt(btex $\PR_2$ etex, z7shifted (0u,1u)) withcolor 0.4white;

%nom de la droite d'intersection
%label.rt(btex $d$ etex, 0.6[z5,z6]);
%droites orthogonales
z13=0.5[z5,z6];
z14 = z13 shifted (0u,2u);
z15 = z13 shifted (0u,-2u);
p3 = z0--z1;
q3 = z13--z15;
z16 = p3 intersectionpoint q3;
drawarrow z13--z14 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor 0.4white;
label.lrt(btex $\ve{n_1}$ etex, z14) withcolor 0.4white;
%draw z13--z16 dashed evenly;
%draw z16--z15;
%marquage de l'angle droit
z20=0.2[z13,z6];z21=0.2[z13,z14];
z22 = z21 shifted z20-z13;
%draw z22--z20;
%draw z22--z21;

z17 = z13 shifted 0.8(z1-z5);
z18 = z13 shifted 0.8(z0-z5);
p4 = z13--z18;
z19 = q1 intersectionpoint p4;
drawarrow z19--z18 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
draw z19--z13 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
label.urt(btex $\ve{n_2}$ etex, z18)withcolor bleu_m;
%draw z13--z17;
%marquage de l'angle droit
z30=0.1[z13,z18];z31=0.1[z13,z14];
z32 = z31 shifted z30-z13;
draw z32--z30;
draw z32--z31;
endfig;











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% tetraedre



beginfig(10);

u:=1cm;
pair a,h,aa,b,c,d,g;
a:=origin;
aa:=(3*1.732u,0);
h:=(2*1.732u,0);
d:=(2*1.732u,4.9u);
b:=aa-(u,u);
c:=aa+(u,u);

fill a--d--aa--cycle withcolor bleu_ciel;

draw a--b--d--cycle withpen pencircle scaled 1.5pt;

draw c--b--d--cycle withpen pencircle scaled 1.5pt;

draw a--c dashed withdots  withpen pencircle scaled 1.2pt;

draw h--d withpen pencircle scaled 0.7pt dashed evenly withcolor bleu_m;
draw d--aa withpen pencircle scaled 0.7pt withcolor bleu_m;
draw a--aa withpen pencircle scaled 0.7pt dashed evenly withcolor bleu_m;
g=1/3[aa,d];

draw symbole_ortho(aa,h,d,0.2u) withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 0.7pt;


label.llft(btex $H_1$ etex,a);
label.bot(btex $H_4$ etex,b);
label.rt(btex $J$ etex,aa);
label.rt(btex $H_3$ etex,c);
label.top(btex $H_2$ etex,d);
label.ulft(btex $K$ etex,h);
dotlabel.rt(btex $G$ etex,g);
endfig;








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  S P H E R E 

beginfig(11);
numeric u;
u:=0.5cm;

pair o,c,m,mm;
o:=origin;
m:=(-3u,5u);
mm:=m xscaled -1;
c:=(0,5u);

fill ((fullcircle scaled 6u yscaled 0.3)shifted c)withcolor white;
draw (fullcircle scaled 6u yscaled 0.3)shifted c;
draw_markeds( o--m,0);
draw_markeds (o--mm,0);
draw m--c dashed evenly withcolor bleu_f;
draw c--o dashed evenly;
draw symbole_ortho(m,c,o,0.4u);
draw m..(-5u,3u)..(-5.83u,0) dashed withdots withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw (5.83u,0)..(5u,3u)..mm dashed withdots withpen pencircle scaled 1.5bp;

label.bot(btex $S$ etex, o);
label.rt(btex $H$ etex, c) withcolor bleu_f;
label.ulft(btex $M$ etex, m) withcolor bleu_f;
label.rt(btex $\fr{3}{\sqrt{11}}$ etex, 0.5[c,o]);
label.llft(btex $3$ etex, 0.5[m,o]);
label.top(btex $r$ etex, 0.5[m,c]);

endfig;












%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
%% D i s t a n c e       P o  I n t    D r o i t e 


beginfig(12);
numeric u;
u:=0.9cm;
pair d,p,pp,o,a,aa;
d:=origin;
p:=(6u,0);
o:=(6u,2u);
a:=(9u,0);
aa:=(a scaled 0.4) rotated 90;
pp-o=whatever*(d-aa) rotated 90;
pp=whatever[d,aa];

draw d--aa withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw d--a withcolor 0.6white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw o--pp withcolor bleu_f;
draw o--p withcolor 0.6white;
draw d--o dashed evenly;
draw fullcircle scaled 0.5u;
draw symbole_ortho(a,p,o,0.2u)withcolor 0.6white;
draw symbole_ortho(o,pp,aa,0.2u)withcolor bleu_f;

dotlabel.bot(btex $ $ etex, origin);
label.lft(btex $D$ etex,(-0.2u,0.1u));
dotlabel.rt(btex $O$ etex,o);
label.rt(btex $\Mathbold{d_P}$ etex, (6u,u)) withcolor 0.6white;
label.bot(btex $d$ etex, 0.5*(o+d));
label.top(btex $\Mathbold{d_{P'}}$ etex, 0.5*(o+pp)) withcolor bleu_f;
label.bot(btex $\Mathbold{P}$ etex, a) withcolor 0.6white;
label.lft(btex $\Mathbold{P'}$ etex, aa) withcolor bleu_f;


endfig;





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
%% c o u p e   t é t r a è d r e


beginfig(13);

u:=0.7cm;
pair a,h,aa,b,c,d;
a:=origin;
aa:=(3*1.732u,0);
h:=(2*1.732u,0);
d:=(2*1.732u,4.9u);
b:=aa-(u,u);
c:=aa+(u,u);

draw a--d--aa--cycle withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw d--h;
draw symbole_ortho(aa,h,d,0.2u);

label.rt(btex $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ etex,0.5*(aa+d));
label.top(btex $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ etex,0.5*aa);
label.lft(btex $a$ etex,0.5*(a+d));

label.llft(btex $H_1$ etex,a);
label.lrt(btex $J$ etex,aa);
label.top(btex $H_2$ etex,d);
label.bot(btex $K$ etex,h);

endfig;

end


\end{filecontents*}



\chapterimage{pigspace}

\chapter{Espace au Bac}

\section{Produit scalaire}




\begin{definition}[ Produit scalaire dans l'Espace]
 Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ de coordonnées
respectives $(x,y,z)$ et $(x', y', z')$  dans un repère orthonormé
de l'Espace.

On appelle produit scalaire de $\ve{u}$ et $\ve{v}$  que l'on note
$\ve{u}\cdot\ve{v}$ le réel

$$\ve{u}\cdot\ve{v} = xx'+yy'+zz'$$

\end{definition}


\begin{center}
\includegraphics{geo3d.1} 
\end{center}



Soit $\ve{OM}$ un représentant du vecteur $\ve{u}$. Nous pouvons
calculer  $OM^2$, c'est à dire le carré de  la norme du vecteur
$\ve{u}$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

D'après le  théorème de Pythagore :
$OM^2=OM'^2+z^2$ et d'autre part, $OM'^2=x^2+y^2$. Finalement on
obtient que $OM^2=x^2+y^2+z^2$.

Cette formule permet surtout de
prouver, avec un minimum de sens de l'observation, que

\sm


\begin{propriete}[ Norme et produit
scalaire]
$$\ve{u}\cdot\ve{u}=\norm{\ve{u}}^2$$
\end{propriete}



Vous aurez remarqué qu'il n'est pas fait mention de repère dans
cette propriété et qu'elle est donc indépendante du repère choisi.

Intéressons-nous maintenant à $\norm{\ve{u}+\ve{v}}^2$

\begin{eqnarray*}
\norm{\ve{u}+\ve{v}}^2 &=& (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2\\
                    &=&
                    x^2+y^2+z^2+x'^2+y'^2+z'^2+2(xx'+yy'+zz')\\
                    &=&
                    \norm{\ve{u}}^2+\norm{\ve{v}}^2+2(\ve{u}\cdot\ve{v})
\end{eqnarray*}

Je vous laisse le soin d'obtenir une formule similaire en
remplaçant $\ve{v}$ par son opposé.



\begin{propriete}[Expression du produit scalaire en fonction de la norme]\label{psnorme}
  \begin{eqnarray*} \ve{u}\cdot\ve{v} &=&
\fr{1}{2}\pa{\norm{\ve{u}+\ve{v}}^2-\norm{\ve{u}}^2-\norm{\ve{v}}^2}\\
&=& \fr{1}{2}\pa{\norm{\ve{u}}^2+\norm{\ve{v}}^2-\norm{\ve{u}-\ve{v}}^2}
\end{eqnarray*}
\end{propriete}




\begin{propriete}[Propriétés de bilinéarité et de
symétrie]
\begin{itemize}
\item $\ve{u}\cdot\ve{v}=\ve{v}\cdot\ve{u}$ 
\item $\pa{\al\ve{u}}\cdot\ve{v}=\ve{u}\cdot\pa{\al\ve{v}}=\al\pa{\ve{u}\cdot\ve{v}}\qquad\text{avec
}\quad \al\in\bbr$
\item $\ve{u}\cdot\pa{\ve{v}+\ve{w}}=\ve{u}\cdot\ve{v}+\ve{u}\cdot\ve{w}$
\end{itemize}
\end{propriete}



\begin{center}
\includegraphics{geo3d.2} 
\end{center}




\begin{theoreme}[Produit scalaire et cosinus]\label{pscos}
  Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ deux vecteurs non nuls de l'Espace. On a
$$ \cos\anglevec{u}{v}=\fr{\ps{u}{v}}{\norm{\ve{u}}\times\norm{\ve{v}}} $$
avec $ \anglevec{u}{v}$ l'unique antécédent de
$\fr{\ps{u}{v}}{\norm{\ve{u}}\times\norm{\ve{v}}}  $ par la
fonction cosinus dans $[0,\pi]$.
\end{theoreme}

On retrouve de cette manière la formule bien connue $\ps{u}{v}=\norm{\ve{u}}\times\norm{\ve{v}}\times\cos\theta$.




\begin{theoreme}[Produit scalaire et orthogonalité]
  Soient deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ non nuls et trois points
$O$, $A$ et $B$ tels que $\ve{u}=\ve{OA}$ et $\ve{v}=\ve{OB}$. Les
trois propositions suivantes sont équivalentes :

\begin{itemize}
\item[(1)] $(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires
\item[(2)] $\ve{u}\cdot\ve{v}=0$
\item[(3)] $\ve{u}$ et $\ve{v}$ sont orthogonaux. On notera
$\ve{u}\bot\ve{v}$
\end{itemize}

Par souci de cohérence, on dira que le vecteur nul est orthogonal
à tout vecteur.
\end{theoreme}


\section{Applications du produit scalaire}



\subsection{Droites orthogonales}

\begin{definition}[Droites orthogonales]
  Soit $\DR$ une droite de vecteur directeur $\ve{u}$ et $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\ve{v}$. \\
On dira que les droites  $\DR$ et $\Delta$ sont \textbf{orthogonales} et
on notera $\DR\bot\Delta$ si  et seulement si $\ve{u}\bot\ve{v}$ c'est à
dire si et seulement si $\ps{u}{v}=0$
\end{definition}

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.5} 
\end{center}





\subsection{Droites et plans orthogonaux}


\begin{definition}[Orthogonalité d'une droite et d'un plan]
  Soit $\DR$ une droite de vecteur directeur $\ve{u}$ et $\PR$ un plan de vecteurs directeurs $\ve{v_1}$ et $\ve{v_2}$.\\
On dira que $\DR$ et $\PR$ sont orthogonaux et on notera $\DR\bot\PR$ si et seulement si $\ve{u}\bot\ve{v_1}$ et $\ve{u}\bot\ve{v_2}$ c'est à dire si et seulement si $\ps{u}{v_1}=0$ et $\ps{u}{v_2}=0$
\end{definition}

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.4} 
\end{center}

Notez bien  que, comme dans le  cas des droites,  l'orthogonalité est en
fait  une  propriété  vectorielle.  On  peut  néanmoins  en  donner  une
formulation équivalente en faisant intervenir des points~: 

\begin{propriete}[]
  $\DR\bot\PR$ si et  seulement si, pour tous points M  et N de $\PR$
  on a $\ps{u}{MN}=0$
\end{propriete}

En  effet, $\ve{v_1}$  et $\ve{v_2}$  étant des  vecteurs  directeurs de
$\PR$,    il    existe   deux    réels    $x$    et    $y$   tels    que
$\ve{MN}~=~x~\ve{v_1}~+~y~\ve{v_2}$ et donc 
$$ \ps{u}{MN}=\ve{u}\cdot\pa{x\ve{v_1}+y\ve{v_2}}=x\ps{u}{v_1}+y\ps{u}{v_2}=0 $$

Notez qu'on  retrouve la  définition 3 en  prenant $x=1$ et  $y=0$, puis
$x=0$ et $y=1$. 

\subsection{Vecteur normal à un plan}\index{vecteur normal} 

La direction d'une droite est  déterminée par la donnée d'un vecteur. Le
problème pour un  plan, c'est qu'on a besoin a  priori de deux vecteurs,
ce qui  est doublement plus compliqué  et qui gène  le mathématicien qui
vise  toujours la  simplicité (si  si~!...). C'est  ici  que l'intuition
vectorielle vient  nous sauver~:~si  un plan a  deux directions,  il n'a
qu'une seule  \og direction orthogonale\fg{}  et  donc la direction  du plan
sera entièrement determinée  par la donnée d'un vecteur  orthogonal à la
direction du plan, qu'on appelera \textbf{vecteur normal} au plan.  

Nous ne nous  lancerons pas dans une preuve  artificielle à notre niveau
et qui sera  simple avec les outils que  vous découvrirez l'an prochain,
mais nous nous contenterons de cette approche intuitive. 

\begin{definition}[Vecteur  normal à un plan]
  \'Etant donné  un plan $\PR$, on
  appelera \textbf{vecteur normal} à  $\PR$ tout vecteur directeur d'une
  droite orthogonale à $\PR$
\end{definition}

%je n'ai toujours pas retrouvé mon ordinateur portable






\begin{center}
\includegraphics{geo3d.6} 
\end{center}


Nous admettrons alors les résultats suivants :


\begin{theoreme}[Détermination d'un plan à l'aide d'un vecteur normal]
  Soit $\PR$ un plan, A un point de $\PR$ et $\ve{n}$ un vecteur normal à $\PR$, alors le point M appartient à $\PR$ si et seulement si $\ps{AM}{n}=0$.\\
\sm
Réciproquement, si A est un point quelqconque et $\ve{n}$ un vecteur non nul, alors l'ensemble des points M tels que $\ps{AM}{n}=0$ est un plan.
\end{theoreme}










\subsection{Distance d'un point à un plan}

Mettons-nous d'accord sur une définition~:





\begin{definition}[Distance d'un point à  un plan]
  Soit M un  point, $\PR$ un
  plan.  On appelle distance  de M  à $\PR$  la distance  MH, avec  H le
  projeté orthogonal de M sur $\PR$
\end{definition}


Vous pouvez  commencer, pour vous  échauffer, par montrer à  l'aide d'un
dessin  et d'un petit  raisonnement utilisant  un théorème  connu depuis
fort  longtemps,  que  MH est  en  fait  le  minimum des  distances  MN,
$N\in\PR$. 



Il reste à exprimer cette distance MH. On suppose connu le plan $\PR$ et
donc  un point  quelconque A  de  $\PR$ et  un de  ses vecteurs  normaux
$\ve{n}$. 

%\break

Aidons-nous alors du dessin suivant :

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.7} 
\end{center}


Cela  doit   maintenant  devenir  un   reflexe  :  qui   dit  projection
orthogonale, dit  produit scalaire, donc la distance  MH devrait pouvoir
s'exprimer en fonction de $\ps{AM}{n}$. 

Or on obtient successivement

\begin{arrayl}
\ps{AM}{n}&=& \pav{\ve{AH}+\ve{HM}}\cdot\ve{n}\\
                   &=& \ps{AH}{n}+\ps{HM}{n}\\
                   &=&\ps{HM}{n}\\
                   &=&\pm \d(M,\PR)\times \norm{\ve{n}}
\end{arrayl}

Le plus ou le moins étant choisis selon les sens respectifs de $\ve{HM}$ et $\ve{n}$. Le problème, c'est qu'on ne les connait pas a priori. Mais ce n'est plus un problème si on cache les signes sous une valeur absolue, puisque c'est la distance~-~positive~-~qui nous intéresse.

\sm

Ainsi, $\abv{\ps{AM}{n}}=\d(M,\PR)\times \norm{\ve{n}}$ et donc 


\begin{theoreme}[Calcul de la distance d'un point à un plan]
  Soit $\PR$ un plan passant par le point A et de vecteur normal $\ve{n}$ et soit M un point quelconque. Alors
$$ \d(M,\PR)=\fr{\abv{\ps{AM}{n}}}{\norm{\ve{n}}} $$
\end{theoreme}


\subsection{Plans parallèles}

Voici une utilisation bien pratique de la notion de vecteur normal~:

\begin{propriete}[Plans parallèles]
  Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
\end{propriete}


\begin{center}
\includegraphics{geo3d.8} 
\end{center}


\subsection{Plans perpendiculaires}

En voici une autre souvent utile en exercice~:


\begin{propriete}[Plans perpendiculaires]
  Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
\end{propriete}





\begin{center}
\includegraphics{geo3d.9} 
\end{center}
Remarquez en particulier que $\ve{n_1}$ et un vecteur directeur de $\PR_2$ et $\ve{n_2}$ un vecteur directeur de~$\PR_1$.

%\break

\section{Géométrie analytique}

\subsection{Représentation paramétrique d'un plan}

Soit $\PR$ un plan passant  par $A$ de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ et de
vecteurs       directeurs       $\ve{u}      \coordpp{a}{b}{c}$       et
$\ve{u'}\coordpp{a'}{b'}{c'}$. Alors un point M de coordonnées $(x,y,z)$
appartient  à $\PR$ si,  et seulement  s'il existe  deux réels  $\lambda$ et
$\mu$ tels que $$ \ve{AM}=\lambda\ve{u}+\mu\ve{v} $$ 
c'est à dire, en appliquant cette relation  aux coordonnées

\begin{center}
 \begin{systeme}[7]
x &=&x_A&+&\lambda a&+&\mu a'\\
y &=&y_A&+&\lambda b&+&\mu b'\\
z &=&z_A&+&\lambda c&+&\mu c'
\end{systeme}
\end{center}

C'est ce qu'on appelle une représentation paramétrique du plan $\PR$. Il
est également  utile de retrouver les éléments  caractéristiques du plan
(~un   point  et   deux  vecteurs   directeurs~)  à   partir   de  cette
représentation. 



\subsection{\'Equation cartésienne d'un plan}

On utilise plus  couramment une équation cartésienne de  plan. En effet,
nous avons vu qu'un plan  était entièrement déterminé par la donnée d'un
point et d'un vecteur normal.  

Soit donc $\PR$  un plan passant par $A$  de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$
et de vecteur normal $\ve{n}\coordpp{a}{b}{c}$.  
Alors M de coordonnées $(x,y,z)$  appartient à $\PR$ si, et seulement si
$\ve{AM}\bot\ve{n}$, c'est à dire 

\begin{center}
\begin{arrayl}
\ps{AM}{n}&=&a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)\\
                    &=&ax+by+cz-(ax_A+by_A+cy_A)\\
                    &=&0
\end{arrayl}
\end{center}

C'est à dire encore, en posant $d=ax_A+by_A+cz_A$


\begin{propriete}[Équation cartésienne d'un plan]
  $$M(x,y,z)\in\PR \ssi  ax+by+cz=d \text{ avec  } \ve{n}\coordpp{a}{b}{c}
\text{ un vecteur normal à } \PR $$
\end{propriete}








\subsection{Représentation paramétrique d'une droite}

Quant aux droites, nous n'avons guère le choix~:~un point M appartient à
la  droite $\DR$  passant par  A  de coordonnées  $(x_A,y_A,z_A)$ et  de
vecteur  directeur $\ve{u}$  de coordonnées  $\coordpp{a}{b}{c}$  si, et
seulement s'il existe un réel $\lambda$ tel que 

$$ \ve{AM}=\lambda\ve{u} $$

c'est à dire si, et seulement si

\begin{center}
 \begin{systeme}
x &=&x_A&+&\lambda a\\
y &=&y_A&+&\lambda b\\
z &=&z_A&+&\lambda c
\end{systeme}
\end{center}

Notez  bien que  $\lambda$  est  le paramètre  de  la représentation  (~d'où
l'appellation~), mais aurait pu porter tout autre nom. 







\subsection{Sphères}


\begin{definition}[Sphère]
  
Une sphère de centre $C$ et de  rayon $r$ est l'ensemble des points M de
l'espace vérifiant~:

$$\DecalNorme{\ve{CM}}=r$$
\end{definition}



Analytiquement, dans un repère orthonormé, nous écrirons~:


$$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2$$





\modeexercice

\section{EXERCICES}







\begin{exercice}[QCM]
L'espace est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \oijk.

\begin{enumerate}

  

\item La droite $d$ a pour repr\'esentation param\'etrique $x=2-t~;~y
=3t~;~z = -3,~ t \in \bbr$.

\noindent On consid\`ere les points A(2 ; 3; $-3$),

 B(2; 0 ; $-3$) et C(0 ; 6; 0). On a :

\textbf{a)}~~ $d$ = (AB)~~~~~\textbf{b)}~~$d$ = (BC)~~~~~\textbf{c)}~~ $d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)

\item Les droites de repr\'esentations param\'etriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2+t\\
y& =& 1-t\\
z&=&1 +t, t \in R,\end{array}\right.
    ~~~~~\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -t'\\
y& =& -2-1,5t'\\
z& =& 3+t',~ t' \in R\end{array}\right.$
    admettent comme point commun :

\textbf{a)}~~I(3 ; 0 ; 2)~~~~~\textbf{b)}~~ J(2 ; 1 ; 1)~~~~~ \textbf{c)}~~K(0 ; 2 ; $-3$)

\item Les droites de repr\'esentations param\'etriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\
y &=& 1+2t\\
z &=& 1+t,~ t \in R,\end{array}\right.~~~~ \left\{\begin{array}{l c l}
x &= &3-2t'\\
y &=& 7-4t'\\
z &=& 2-t',~ t' \in R\end{array}\right.$

\noindent sont :

\textbf{a)}~~ parall\`eles~~~~~ \textbf{b)}~~ s\'ecantes~~~~~  \textbf{c)}~~ non coplanaires

\item   La droite de repr\'esentation param\'etrique $x = -4t~ ;~ y =
1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \bbr$ et le plan d'\'equation $x - 2y + 5z - 1 = 0$ sont :

\textbf{a)}~~ orthogonaux~~~~~\textbf{b)}~~ parall\`eles~~~~~ \textbf{c)}~~ ni orthogonaux ni parall\`eles

\item   L'ensemble des points tels que $$x - y + 2z - 1 =
0$$ et $$-2x + 4y - 4z + 1 = 0$$ est :

\textbf{a)}~~ l'ensemble vide~~~~~\textbf{b)}~~ une droite~~~~~\textbf{c)}~~ un plan

\end{enumerate}

\end{exercice}


















\begin{exercice}[Bac]
  
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+ \phantom{3}t\\
y &=& 1 - 3t\\
z &=& \phantom{2 +} 2t 
\end{array}\right. (t \in \R)$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$.

\medskip

On peut affirmer que :

\medskip

\textbf{Réponse A :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.

\textbf{Réponse B :} la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.

\textbf{Réponse C :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4~;~-5~;~4)$.

\textbf{Réponse D :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.

\end{exercice}



\begin{exercice}[Bac]
  Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.

\emph{On rappelle que dans un tétraèdre} MNPQ, \emph{la hauteur issue de} M \emph{est la droite passant par} M \emph{orthogonale au plan} (NPQ).

\bigskip

\textbf{Partie A Étude de cas particuliers}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH.



On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées \og grandes diagonales\fg{} du cube, sont concourantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le tétraèdre ABCE.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
		\item Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes?
 	\end{enumerate}
\item On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : $x - y + z = 0$.
		\item En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF{}.
		\item Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.
		
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.}

\bigskip

\textbf{Partie B Une propriété des tétraèdres orthocentriques}

\medskip

Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et
N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans
(NPQ) et (MPQ) respectivement.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
		\item Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
	
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
	
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
	
(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont \og opposées\fg{} lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Application}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on considère les points :

\[\text{R}(-3~;~5~;~2) ,\text{S}(1~;~4~;~-2) , \text{T}(4~;~-1~;~5)\quad  \text{et U}(4~;~7~;~3).\]

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

\end{exercice}


\begin{exercice}[Bac]
  
On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (O$x$), (O$y$) et (O$z$).

Dans ce repère, on donne les points A$(- 3~;~0~;~0)$, B(3~;~0~;~0) , C$\left(0~;~3\sqrt{3}~;~0\right)$ et D$\left(0~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6}\right)$.

On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AB et AD.
\end{enumerate}
\smallskip

On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est-à-dire que le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier.

On appelle $\mathcal{P}$ le plan de vecteur normal $\vect{\text{OH}}$ et passant par le point I.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Étude de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0$.
		\item Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan $\mathcal{P}$.
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (AD), puis démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AD) sont sécants en un point K dont on déterminera les coordonnées.
		\item Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
		\item Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathcal{P}$.
 	\end{enumerate}
\item  Peut-on placer un point M sur l'arête [BD] tel que le triangle OIM soit rectangle en M ?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[Bac]
  
Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête.

Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.






%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{cubeantilles}
\end{center}
%\end{figure}


On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AI}, \vect{AJ}, \vect{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et 

$AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre.

Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\frac23\vect{FE}$;
\item $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
\item $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
\item Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
\item \begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
\item Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\vect{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est:
\[
3x+3y+2z-18=0.
\]
\item On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&0\\
y&=&s~~~~(s\in\R)\\
z&=&6
\end{array}
\right.
\]
Calculer les coordonnées du point $M$.
\end{enumerate}
\item Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante:
\[
V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}.
\]
\item L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55\up{o} et 60\up{o}.\\
Cette contrainte d'angle est-elle respectée~?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[Bac]
  On considère un cube ABCDEFGH.

Les trois points I, J, K sont définis par les conditions
suivantes :

\begin{itemize}
\item I est le milieu du segment [AD] ;
\item J est tel que $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{AE}}$ ;
\item K est le milieu du segment [FG].
\end{itemize}



\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et
de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.
\item  En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vect{n} (4~;~a~;~b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$.
		\item  En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $4x - 6y - 4z + 3 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).
		\item Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).
		\item Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du
plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).


On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que $\left\{\begin{array}{l}
0 < x < 1\\
0 < y < 1\\
0 < z < 1
\end{array}\right.$

Le point R est-il à l'intérieur du cube ?



\end{exercice}

\begin{exercice}[ENI-GEIPI 2017]
  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives:

A\,$\big(0~;~4~;~-1 \big)$, \hfill B\,$\big(-2~;~4~;~-5 \big)$, \hfill C\,$\big(1~;~1~;~-5 \big)$, \hfill D\,$\big(1~;~0~;~-4 \big)$, \hfill E\,$\big(-1~;~2~;~-3 \big)$;

\item la droite $\mathcal D$ définie par le système d'équations paramétriques:

\hfill
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x & -3+k\\
y & k\\
z & -5+k
\end{array}
\right., \text{ avec } k \in \R$;
\hfill{}

\item le plan $\mathcal{P}_1$ d'équation cartésienne: $x+2z+7=0$.
\end{list}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_1}$ au plan $\mathcal{P}_1$.
\item Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que I appartient au plan $\mathcal{P}_1$.
\item Montrer que la droite (AB) est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$.
\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{P}_2$ le plan d'équation cartésienne: $x-y+d=0$, où $d$ désigne un réel.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n_2}$ au plan $\mathcal{P}_2$.
\item Soit J le point de coordonnées $\left ( -\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~-5\right )$.\\
Déterminer $d$ pour que J appartienne au plan $\mathcal{P}_2$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CD}}$.
\item Calculer les coordonnées du  milieu K du segment [CD]. 
\item Soit $\mathcal{P}_3$ le plan passant par K et orthogonal à la droite (CD).\\
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_3$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item Le but de cette question est de prouver que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ ont comme seul point commun, le point E.

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont sécants et que leur droite d'intersection est la droite $\mathcal{D}$.
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}_1$ au point E. 
\end{enumerate}

\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{EA}}$, $\vect{\text{EB}}$, $\vect{\text{EC}}$ et $\vect{\text{ED}}$.
\item Donner les distances EA, EB, EC et ED. Détailler le calcul pour ED.
\item En déduire que A, B, C et D appartiennent à une sphère $\mathcal{S}$ dont on précisera le centre et le rayon $R$. Justifier la réponse.
\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[ENI-GEIPI 2018]
  
\textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\emph{À chaque question, une affirmation vous est proposée et vous devez indiquer si elle est vraie ou
fausse dans le cadre prévu. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse incorrecte sera pénalisée, une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}

\medskip

Dans les parties A, B, C et D, l'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ donnés par leur équation cartésienne :

\[\mathcal{P}_1 :\quad  2x + 3y + 4z - 1 = 0 \qquad \mathcal{P}_2 :\quad x + 2y + z = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\frac{3}{2}~;~2\right)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P_1}$.
\item Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles.
\item Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants et leur intersection est une droite de vecteur directeur $\vect{u}(-5~;~2~;~1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note R, S, T et U les points de coordonnées respectives:

\[\text{R}(2~;~4~;~1)\quad \text{S}(0~;~4~;~-3)\quad \text{T}(3~;~1~;~-3)\quad \text{U}(1~;~0~;~-2)\]

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $2x + 2y - z - 11 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points R, S et T appartiennent à un plan de vecteur normal $\vect{n}2~;~2~;~-1)$.
\item La droite (TU) est orthogonale à la droite (RS) et admet la représentation
paramétrique suivante: $$\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -1 + 2t\\
y& =& -1 + t\\
z&=& \phantom{-}1- t
\end{array}\right.  t \in  \R$$
\item Le point V(3~;~2~;~-1) est le projeté orthogonal du point U sur le plan P.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites données par un système d'équations paramétriques:

\[\mathcal{D}_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x=1 + t \\
y = t\\
z = -5 + t  \end{array}\right., t \in \R \qquad \mathcal{D}_2 :  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&8+k\\
y &=& 4 + k\\
z &=&- 3
\end{array}\right., k \in \R.\]

On note $\mathcal{Q}$ le plan d'équation : $2x - 3y + 2z = 0$.

\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\vect{u}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_1$.
\item La droite $\mathcal{D}_2$ passe par le point de coordonnées (5~;~1~;~-3).
\item Soient $M$ un point de $\mathcal{D}_1$ et $N$ un point de $\mathcal{D}_2$ de coordonnées respectives:
$M (1 + t~;~t~;~- 5 + t)$ et $N (8 + k~;~4 + k~;~- 3)$ .

La droite $(MN)$ est parallèle au plan $\mathcal{Q}$ si et seulement si $t + k = 6$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie D}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH. Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.

On note I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG].

\begin{enumerate}
\item $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2}$.
\item  $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{IJ}}  = \vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{IC}}$.
\item $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{IJ}} = \text{AB} \times \text{IC} \times  \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
\end{enumerate}


\end{exercice}

























\modenormal
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19_Espace"
%%% End:
