\chapterimage{inverse} %changer
\chaptertext{Juste   quelques   définitions   concernant   les   variations   de
  fonctions. Ces notions seront reprises tout au long de l'année.}

\chapter{Variations de fonctions}


\section{Le programme officiel}

 \textbf{Notions à découvrir} : fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle.

\begin{itemize}
\item  Décrire, avec  un  vocabulaire adapté  ou un  tableau  de variations,  le
  comportement d'une fonction définie par une courbe. 
\item  Dessiner  une représentation  graphique  compatible  avec un  tableau  de
  variations. 

\item Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations:
\begin{itemize}
\item comparer les images de deux nombres d'un intervalle ;
\item     déterminer tous les nombres dont l'image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.
\end{itemize}
\end{itemize}

Les élèves doivent distinguer les  courbes pour lesquelles l'information sur les
variations est exhaustive, de celles obtenues sur un écran graphique.

Les   définitions   formelles   d'une  fonction   croissante,   d'une   fonction
décroissante, sont  progressivement dégagées. Leur  maîtrise est un  objectif de
fin d'année.

Même si  les logiciels  traceurs de courbes  permettent d'obtenir  rapidement la
représentation graphique d'une  fonction définie par une  formule algébrique, il
est intéressant,  notamment pour les  fonctions définies par morceaux,  de faire
écrire aux élèves un algorithme de tracé de courbe.



\section{Définitions}






  \begin{definition}[fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle]
    Soit $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ est
dite \begin{itemize}
\item \emph{croissante} si, et seulement si, quels que soient les réels $t_1$ et $t_2$ dans $I$
vérifiant $t_1\leqslant  t_2$, leurs images par $\varphi$ vérifient aussi
$\varphi(t_1)\leqslant  \varphi(t_2)$ ;
\item \emph{décroissante} si, et seulement si, quels que soient les réels $t_1$ et $t_2$ dans $I$
vérifiant $t_1\leqslant  t_2$, leurs images par $\varphi$ vérifient aussi
$\varphi(t_1)\geqslant  \varphi(t_2)$.
\end{itemize}
    \end{definition}
 

Autrement dit, une fonction croissante est une fonction qui
conserve l'ordre et une fonction décroissante est une fonction qui
l'inverse.\\ On parle de fonction \emph{strictement croissante} si
$t_1<t_2$ implique $\varphi(t_1)<\varphi(t_2)$ et \emph{strictement
décroissante} si $t_1<t_2$ implique $\varphi(t_1)>\varphi(t_2)$.

Graphiquement,  la  courbe   représentative  d'une  fonction  croissante
«~monte~»  de  la  gauche  vers   la  droite  et  celle  d'une  fonction
décroissante «~descend~».

  \begin{exemple}[]
    Déterminer \emph{graphiquement} le sens de variation de la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
  [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
  &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$ étudiée précédemment.
    \end{exemple}





    \vfill
    \eject








  \begin{definition}[fonction constante]
    Une fonction $\varphi$ est \emph{constante} sur un intervalle $I$ de $\R$
    si, et seulement si, 
quels que soient réels $t_1$ et $t_2$ dans $\R$, $\varphi(t_1)=\varphi(t_2)$.
    \end{definition}
  
    \begin{definition}[fonction monotone]
      Une fonction est monotone sur un intervalle I si, et seulement si,
      elle est soit toujours  croissante, soit toujours décroissante sur
      cet intervalle.
      \end{definition}
   




%\pagebreak


  
      \begin{definition}[extremum local]
        Soit $\varphi$ un fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.


Un réel $M$ est un \emph{maximum local} d'une fonction $\varphi$ sur un
intervalle $J$ inclus dans $I$ si pour tout élément $t$ de $J$ on a
$$\varphi(t)\leqslant  M$$
 C'est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe
représentative de $f$ sur l'intervalle $J$.

\smallskip

 Un réel $m$ est un
\emph{minimum local} d'une fonction $\varphi$ sur un intervalle $J$ inclus
dans $I$ si pour tout élément $t$ de $J$ on a $$\varphi(t) \geqslant  m$$ 
 C'est
l'ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de $\varphi$
sur l'intervalle $J$.
        \end{definition}
     

        \begin{exemple}[]
          Déterminez \emph{graphiquement} les extrema locaux de la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
  [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
  &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$ étudiée précédemment.

          \end{exemple}
        

\section{Tableau de variation}

On représente parfois les variations d'une fonction par un
tableau. La première ligne contient les valeurs importantes de la
variable $t$, c'est à dire les bornes de l'intervalle de définition
et les valeurs pour lesquelles le sens de variation change. La
seconde ligne expose les variations de la fonction par des flèches
et les images, si elles existent, des nombres présents dans la
première ligne. En première, on y fera aussi apparaître les
\emph{limites} de la fonctions.


Par exemple, en reprenant une nouvelle fois la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
  [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
  &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$

% \begin{center}
%   \begin{TV}{100}
%     TV([0,4],[],"f","t",x^3/3-2*x^2+3*x+10,0,n,\tv)
%     \end{TV}
%   \end{center}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{GenFonc_2008.Tab.100}
\end{center}
%\end{figure}

\eject

\modeexercice

  \section{Exercices}



\begin{exercicea}[Lecture d'un tableau de variation]
  
On donne le tableau de variations suivant :\\

\begin{center}
\begin{variations}
Valeurs\ de\ x & -6 & & -1 & & 2 & & 7\\
%\varphiilet
%f'(x)    &       &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{Variations\ de \ f(x)} & \h{0} & \d & -6 & \c & \h{5} & \d & 1 \\
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition ${\cal D}_f$ de la fonction $f$.
\item Comparer $f(3)$ et $f(4)$.
\item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;7]$.
\item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;-1]$.
\item Combien $4$ a-t-il d'antécédents ? Justifier
\end{enumerate}

\end{exercicea}

% \exot{Tableau de variation bis}

\begin{exercicea}[Lecture graphique]
  \parbox[l]{0.45\linewidth}
  {
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{fig51Fonc}
\end{center}
%\caption{Courbe représentative de $g$}
%\label{loulou}
%\end{figure}
  }
% {\begin{center}
% %-------------- unités
% \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
% %-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
% \begin{pspicture}(-2,-10)(4,4)
% %-------------- [graduations](xmin,ymin)(xmax,ymax)
% \psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-10)(4,4)
% %-------------- grilles
% \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=5](0,0)(-2,-10)(4,4)
% %------------- nom de la courbe
% \uput[r](1.5,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
% %------------- {xmin}{xmax}{expression de la fonction}
% \psplot{-2}{4}{x 4 exp -0.5 mul  x 3 exp 2 mul add x 2 exp add x -6 mul add -2 add}
% \end{pspicture} 
% \end{center}}
  \hfill \parbox[l]{0.45\linewidth}
 {
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variations de la fonction $g$ dont on a donné ci-contre la courbe représentative.
\item Combien l'équation $g(x)=0$ a-t-elle de solutions ? Justifier. On ne demande pas les valeurs des solutions.
\item Résoudre l'équation $g(x)=-2$.
\item On donne :
$$ g(x)= -\dfrac{1}{2}x^4+2x^3+x^2-6x-2.$$
Calculer l'image de $3$.

\end{enumerate}
 }


\end{exercicea}



\begin{exercicea}[Tableaux de signe et de variation]

\begin{multicols}{2}
  
Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ :\\

\begin{center}
\begin{variations}
Valeurs\ de\ x & -10 & & -6 & & -1 & & 4\\
%\varphiilet
%f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{Variations\ de\ f(x)} & \h{5} & \d & -1 & \c & \h{3} & \d & -5 \\
\end{variations}
\end{center}



Voici son tableau de signes :\\

\begin{center}
\begin{variations}
Valeurs\ de\ x & -10 & & -7 & & -3 & & 1 & &4\\
\filet\filet
Signe\ de\ f(x) & & +~~ & \z & ~~-~~ & \z & ~~+~~ & \z & ~~- & \\
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

Tracer une représentation graphique de cette fonction.


\end{exercicea}

  

\newpage


\begin{exercicea}[Conjecture trompeuse]
  
Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=2x^2-x+1.$$

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide de la calculatrice,  les images des nombres suivants :  $0$ ; $0,5$ ; $1$ ; $1,5$ et $2$.
\item Quelle conjecture peut-on alors faire sur la  fonction $f$  sur l'intervalle $[0;2]$ ?
\item Calculer $f(0,4)$.
\item Que peut-on dire de la conjecture précédente ?
\end{enumerate}

\end{exercicea}


\begin{exercicea}[À partir d'un tableau de variation]
\begin{center}
\begin{variations}
Valeurs\ de \ x & -5 & & -2 & & 0 & & 3\\
%\varphiilet
%f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{Variations\ de \ f(x)} & \h{4} & \d & 1 & \c & \h{3} & \d & -1 \\
\end{variations}
\end{center}

A l'aide du tableau de variations, indiquer si les égalités ou inégalités proposées sont vraies, fausses ou si le tableau des variations ne permet pas de conclure.\\

\begin{center}
\begin{tabular}[l]{|l|l|}
\hline
$f(-1)=0$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-4) > f(-2)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(1) > f(2) \qquad$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-1)= 2$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-3) > 1$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-1) < f(-5)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[Étude graphique]


\begin{minipage}{0.4\textwidth}

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement, en justifiant aussi précisément que possible, en donnant si besoin les valeurs approchées au dixième :
   \begin{enumerate}
   \item l'équation $f(x)=0$ ;
   \item l'équation $f(x)=2$ ;
   \item l'équation $f(x)=g(x)$ ;
   \item l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
   \end{enumerate}
\item Donner le tableau de variation  de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~2]$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{fig6Fonc}
\end{center}


  
% \begin{center}
% %-------------- unités
% \psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}

% %-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
% \def\xmin{-4}
% \def\xmax{6}
% \def\ymin{-5}
% \def\ymax{6}
% %-------------- définition de la fonction \varphi et \g
% \def\varphi{x 2 exp 2 x mul sub 1 sub}%{x^2-2x-1}
% \def\g{ 0 2 x 2 exp mul sub 4 x mul add 1 sub}%{-2x^2+4x-1}
% \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- découpage de la boîte
% \psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}
% %-------------- [graduations]
% \psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- grilles
% \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- repère Oij
% \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
% \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
% \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
% \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
% %------------- {a}{b}{tracé de la fonction \varphi sur [a,b]}
% \psplot[plotpoints=200]
% {\xmin}{\xmax}{\varphi}
% \uput[r](3,2){$(\mathcal{C}_f)$}
% %------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}
% \psplot[plotpoints=200]
% {\xmin}{\xmax}{\g}
% \uput[u](3,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
% %------------- fin du découpage
% \endpsclip
% \end{pspicture}
% \end{center}

 \end{minipage}



\end{exercicea}











\begin{exerciceb}[Variations des fonctions du second degré (1)]
  
En reprenant les théorèmes vus lors de l'étude de l'ordre, essayez de déterminer
quel peut être le sens de variation de la fonction $x\mapsto x^2$
\end{exerciceb}


\newpage


\begin{exercicec}[Variations des fonctions du second degré (2)]
  
  Essayez  d'étudier  le  sens  de  variations  de  fonctions  du  second  degré
  quelconques. Y arrivez-vous tout le temps? Y a-t-il des formes plus adaptées?
\end{exercicec}


\begin{exerciceb}[Lancer de brebis]
  
Un jeune syldave s'entraîne pour le championnat  régional de lancer de brebis. Il s'est inscrit dans
la catégorie «~falaise~»~:~il lance donc sa brebis vers le haut, depuis le sommet d'une falaise
au bord d'un lac tranquille. La hauteur en mètres de la brebis 
par rapport à la surface de l'eau est une fonction $f$ du temps 
en seconde, représentée par la courbe $(P)$ suivante, 
qui est un segment  de parabole.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{foncMeta2.0}
\end{center}
%\end{figure}



\textbf{Partie A : Étude graphique}

Avec la précision permise par la lecture du graphique précédent, 
répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
\item À quelle hauteur se trouve la brebis au moment où le garçon la lance~?
\item  Pendant combien de temps, la brebis reste-t-elle à une hauteur 
supérieure à la hauteur d'où elle a été lancée~?
\item  Au bout de combien de temps la brebis touche-t-elle la surface de 
l'eau avant de s'y enfoncer~?
\item  Quelle est la hauteur maximale atteinte par la brebis et au bout 
de combien de temps cette hauteur est-elle atteinte~?
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Etude théorique}

La fonction $f$ est définie sur $[0;3]$ par $f(x) = - 5 x^2 + 10 x + 15$,
 où $x$ désigne le temps en secondes et $f(x)$ la hauteur de la brebis
 par rapport à la surface de l'eau en mètres. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x)$ peut s'écrire $20-5 {\left( x-1 \right)}^2$.
\item  En justifiant précisément chaque étape de la démarche, démontrer que
 $f$ est croissante sur $[0;1]$.
\item  Factoriser $f(x)$ et résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $[0\pv3]$.\\
Que représente la solution dans l'expérience du lancer de la brebis~?
\item  Résoudre l'inéquation $f(x) > 15$ (Penser à utiliser un tableau 
de signes ).\\
Que représentent les solutions dans l'expérience du lancer de la brebis~?
\item Quel est l'âge de la brebis~?
\end{enumerate}
\end{exerciceb}










\newpage




\begin{exerciceb}[QCM]
  
\rule{0pt}{2.5em}\begin{tabular}{|p{\linewidth - 12.8pt}|}\hline
Cocher les cases correspondant à des affirmations exactes.
Il peut y avoir plusieurs affirmations exactes par question.\\\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\begin{multicols}{2}

  \begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $g$ définie par la courbe ci-dessous:

    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{qcm1}
\end{center}
%\end{figure}

	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item $-1$ n'admet pas d'antécédent par $g$;
	\item $g(0)=3$;
	\item l'image de $2$ par $g$ est négative;
	\item l'équation $g(x)=2$ admet exactement $3$ solutions.
	\end{Pilist}

\item Toujours avec la fonction $g$:

	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item $g$ est croissante sur $[-2;2]$;
	\item $g$ est croissante sur $[-4;0]$;
	\item $g$ est croissante sur $[2;4]$;
	\item $g$ est décroissante sur $[-2;2]$.
	\end{Pilist}

\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $I$ par la courbe ci-dessous:
 
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{qcm2}
\end{center}
%\end{figure}

	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item son ensemble de définition est $I=[-\frac{5}{2};\frac{5}{2}]$;
	\item $h(-3,5)=h(4)$;
	\item le maximum de $h$ sur $I$ est $\frac{5}{2}$;
	\item $1$ est un antécédent de $4$ par $h$.
         \item le minimum de $h$ sur $I$ est atteint pour $x=-2,5$;
	\item $2$ a $2$ images par $h$.

	\end{Pilist}

	\item Soit $k$ une fonction définie sur $J=[-3;6]$ vérifiant le tableau de
          variations suivant:

          
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{qcm3}
\end{center}
%\end{figure}


 \begin{Pilist}{pzd}{114}

\item L'image de $-2$ par $k$ est $3$;  
\item $k(1)>k(0)$;
\item l'équation $k(x)=3$ admet exactement deux solutions; 
\item $k(6)=0$.

 \end{Pilist}

	\item Toujours avec la fonction $k$:

 \begin{Pilist}{pzd}{114}

\item $k$ est croissante sur $[-2;0]$; 
\item $k$ est décroissante sur $[-2;3]$; 
\item le min. de $k$ sur $J$ est atteint pour $x=3$;  
\item le max. de $k$ sur $J$ est atteint pour $x=4$.

 \end{Pilist}

\item Soit $A$, $B$ et $C$ tels que $\vecteur{AB}=-2\vecteur{AC}$.


  

          
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{qcm4}
\end{center}
% \end{figure}


	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item On a $\vecteur{CA}=\frac{1}{3}\vecteur{CB}$;
	\item $A$ est le milieu de $[BC]$;
	\item $A$, $B$ et $C$ sont alignés;
	\item $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$ sont de sens contraires.
	\end{Pilist}

\item Soit $A$, $B$, $C$, $D$ et $M$ tels que: 
		$$\vecteur{AB}=\vecteur{CD} \text{ et }\vecteur{BM}=2\vecteur{BD}$$
	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item $ABCD$ est un parallélogramme;
	\item $\vecteur{AC}=\vecteur{BD}$;
	\item $(AC)$ et $(BM)$ sont parallèles;
	\item $D$ est le milieu de $[BM]$.
	\end{Pilist}

\item Soit $E(x)=(2x+1)(x-3)+(2x+1)^2$.
	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item $E(x)$ est donnée sous la forme d'un produit;
	\item $E(x)=(2x+1)(3x-2)$;
	\item $E(x)=0$ \ssi $x=-\frac{1}{2}$ ou $x=3$.
	\item $E(x)=0$ \ssi $x=-\frac{1}{2}$ ou $x=\frac{2}{3}$.
	\end{Pilist}

\item Dans un repère $\oij$, on donne $A\,(5;-4)$, $B\,(-3;4)$ et $d$ la droite d'équation $y=2x-14$.
	\begin{Pilist}{pzd}{114}
	\item $d$ passe par $A$;
	\item $(AB)$ a pour coefficient directeur $-1$;
	\item $(AB)$ et $d$ sont sécantes;
	\item $\Delta$ d'équation $y=2x+3$ est parallèle à $d$.
	\end{Pilist}



    \end{enumerate}
  
\end{multicols}





\end{exerciceb}





\begin{exerciceb}[Python]
  Que semble faire la fonction suivante? Peut-on s'y fier? Comment l'améliorer?


\begin{pythoncode}
def mystere0():
    x = 0
    f = lambda t: 2*t*t - t + 1 
    for nb_pas in range(5):
        if f(x) > f(x + 0.5):
            return "Elle ne l'est pas"
        else:
            x = x + 0.1
    return "Elle l'est"
\end{pythoncode}


  
\end{exerciceb}



\begin{exercicec}[Python]
  Que semblent faire les fonctions suivantes? Peut-on s'y fier?
  

\begin{pythoncode}

def mystere1(f, début, fin, total_pas):
    x = début
    pas = (fin - début)/total_pas
    for nb_pas in range(total_pas):
        if f(x) > f(x + pas):
            return False
        else:
            x = début + nb_pas*pas
    return True


def mystere2(f, début, fin, pas):
    x = début
    while f(x) <= f(x + pas) and x + pas <= fin:
        x = x + pas
    return x == fin
\end{pythoncode}


  
\end{exercicec}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../Poly2e16_17"
%%% End:
