\documentclass[12pt,fourier,a4paper]{polymaths}

\entete{BAC GRIS FONC� }{20 mai 2006}{ T$^{\text{ale}}$ S6 }

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% 
% \def\Oij{$\left(\text{O},~\ve{\imath},~\ve{\jmath}\right)$}
% \def\Oijk{$\left(\text{O},~\ve{\imath},~ \ve{\jmath},~ \ve{k}\right)$}
% \def\Ouv{$\left(\text{O},~\ve{u},~\ve{v}\right)$}
% \makeatletter%graduations d\'ecimales
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\begin{document}

\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \LARGE \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalaur\'eat gris fonc�   \decofourright\\ 20 mai 2006 }}
\end{center}


%%% Pondich\'ery 3 avril 2006


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 4 points}

\noindent \textbf{Commun  \`a tous les candidats}

% Dix affirmations, r\'eparties en trois th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 3. d sont propos\'ees ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
% Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
% \begin{enumerate} \item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.
% 
% \medskip
% 
% \hspace*{-1cm}\begin{tabular}{| l | l|}\hline
% Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
% Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
% Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe repr\'e-\\
% &sentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
% \end{tabular}
% 
% \medskip
% 
% \item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un \'el\'ement de I.
% 
% \medskip
% 
% \hspace*{-1cm}\begin{tabular}{| l | l|}\hline
% Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
% Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
% Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction $h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$\\
% & admet une limite finie en $0$.\\ \hline
% \end{tabular}
% 
% \item On consid\`ere deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ d\'efinies sur $\N$.
% 
% \medskip
% 
% \hspace*{-1cm}\begin{tabular}{| l | l|}\hline
% Affirmation 3. a&	Si $\lim u_{n} = +\infty$  et si $\lim v_{n} = -\infty$ alors $\lim \left(u_{n} + v_{n}\right) =0$.\\ \hline
% Affirmation 3. b&Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un r\'eel non nul et si $\lim v_{n} = +\infty$, \\
% &alors la suite	$\left(u_{n,~} \times v_{n}\right)$ ne converge pas.\\ \hline
% Affirmation 3. c & Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un r\'eel non nul, si $\left(v_{n}\right)$ est positive et \\
% ~&si $\lim v_{n} = 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ ne converge pas.\\ \hline
% Affirmation 3. d&	Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ 	converge.\\ \hline
% \end{tabular}
% 
% \end{enumerate}
Dans une r�serve, on a regroup� dans le m�me parc 15 dromadaires,  10 chameaux et 5 lamas. 

\noindent On rappelle que, parmi ces cam�lid�s, le chameau a  deux bosses, le dromadaire a une bosse et le lama n'a pas de  bosse.

\noindent  \textsl{Dans cet exercice, les deux questions sont  ind�pendantes.}

\begin{enumerate}\item Dix visiteurs prennent chacun en photo un cam�lid� choisi au hasard, de mani�re ind�pendante les uns  des autres (le m�me animal peut donc �tre photographi� par des visiteurs diff�rents). On appelle $X$ la variable al�atoire qui compte le  nombre de photos sans bosse sur les dix photos prises.

\textsl{Dans cette question, les r�sultats seront donn�s sous forme de  valeurs approch�es � 0,01 pr�s.}

\begin{enumerate}\item Calculer la probabilit� qu'il y ait exactement deux  photos sans bosse.

\item Calculer la probabilit� qu'il y ait au moins deux  photos sans bosse.

\item Donner l'esp�rance et la variance de $X$.

\end{enumerate}

\item Un visiteur prend sur la m�me photo trois  cam�lid�s qu'il choisit au hasard.

\textsl{Dans cette question, les r�sultats seront donn�s sous forme de fractions irr�ductibles.}

\begin{enumerate}\item Sachant que tous ces animaux ont la m�me probabilit�  d'�tre photographi�s, �tablir la loi de probabilit� de la variable al�atoire  $Y$ �gale au nombre de bosses photographi�es.

\item Calculer l'esp�rance math�matique de $Y$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}

Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal direct \ouv. On prendra pour unit\'e graphique 5 cm.\\
On pose $z_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $z_{1},~ z_{2},~ z_{3},~ z_{4}$ et v\'erifier que $z_{4}$ est un nombre r\'eel.\\
Placer les points A$_{0}$~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$.\\
 Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique puis \'etablir que, pour tout enfler naturel $n,$
\[u_{n} = 2\pa{\fr{1}{\sqrt{2}}}^n.\]

\item \`A partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
\item \begin{enumerate}
\item �tablir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$.\\
En d\'eduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne bris\'ee\\ $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.\\
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.\\
Exprimer $\ell_{n}$, en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal direct \ouv. On prendra 5 cm pour unit\'e graphique.\\
Soit $f$ la transformation qui, \`a tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ d\'efinie par :
\[ z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z+1.\]

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $f$ est une similitude directe dont on pr\'ecisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), le rapport $k$ et l'angle $\theta$.
\item On note $A_{0}$ le point O et, pour tout entier naturel $n$, on pose $A_{n+1} = f(A_{n})$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les affixes des points $A_{1}~A_{2},~A_{3}$ puis placer les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$ et $A_{3}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \Omega A_{n}$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique puis \'etablir que, pour tout entier naturel $n,$
\[ u_{n} = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]
\item \`A partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon $0,1$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle est  la nature du triangle O$A_{0}A_{1}$ ?\\
En d\'eduire, pour tout entier naturel $n$, la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne bris\'ee \\
$A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.
Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3} \hfill 4 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
L'espace est muni d'un rep\`ere orthonormal \oijk.

\begin{center} \textbf{Partie A} \\
(cette partie constitue une restitution organis\'ee de connaissances)\end{center}
Soit $a, b, c$ et $d$ des r\'eels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$.\\
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'\'equation $ax + by + cz + d = 0$.\\
On consid\`ere le point $I$ de coordonn\'ees $\left(x_{1},~ y_{1} ,~z_{1}\right)$ et le vecteur $\ve{n}$ de coordonn\'ees $(a,~b,~c)$.\\
Le but de cette partie est de d\'emontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est \'egale \`a $\dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.\\
D\'eterminer, en fonction de $a,~ b,~ c,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$, un syst\`eme d'\'equations param\'etriques de $\Delta$.
\item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe un r\'eel $k$ tel que $\ve{IH} = k\ve{n}$.
\item D\'eterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~  c,~ d,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$.
\item En d\'eduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Le plan $\mathcal{Q}$ d'\'equation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent \`a une sph\`ere $\mathcal{S}$ de centre le point $\Omega$ de coordonn\'ees $(1,~-1,~3)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer le rayon de la sph\`ere $\mathcal{S}$.
\item D\'eterminer un syst\`eme d'\'equations param\'etriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathcal{Q}$
\item En d\'eduire les coordonn\'ees du point d'intersection de la sph\`ere $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{Q}$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4} \hfill 7 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\

\noindent \textbf{Partie A}\\
On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $\R$ par
\[ f(x) = \text{e}^{-x^2} \quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x^2}.\]

On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes repr\'esentatives de $f$ et $g$ dans un rep\`ere orthogonal \oij, dont les trac\'es se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera compl\'et\'ee et rendue avec la copie.

\begin{enumerate}
\item  Identifier $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la figure fournie. (Justifier la r\'eponse apport\'ee).
\item �tudier la parit\'e des fonctions $f$ et $g$.
\item �tudier le sens de variation de $f$ et de $g$. �tudier les limites \'eventuelles de $f$ et de $g$ en $+\infty$.
\item �tudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
On consid\`ere la fonction $G$ d\'efinie sur $\R$ par 
 \[G(x) = \displaystyle\int_{0}^x  t^2\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Que repr\'esente $G$ pour la fonction $g$ ?
\item Donner, pour $x > 0$, une interpr\'etation de $G(x)$ en termes d'aires.
\item �tudier le sens de variations de $G$ sur $\R$.\\
\emph{On d\'efinit la fonction} $F$ \emph{sur} R \emph{par : pour tout r\'eel} $x,~ F(x) = \displaystyle\int_{0}^x  \text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$\\ 
\item D\'emontrer, que, pour tout r\'eel $x,~ G(x) = \dfrac{1}{2}\left[F(x)  - x\text{e}^{-x^2}\right]$ ;  (on pourra commencer par comparer les fonctions d\'eriv\'ees de $G$ et de $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\left[F(x)  - x\text{e}^{-x^2}\right]$.

\noindent \emph{On admet que la fonction $F$ admet une limite finie} $\ell$ \emph{en} $+\infty$, \emph{et que cette limite} $\ell$ \emph{est \'egale \`a l'aire, en unit\'es d'aire, du domaine} $\mathcal{A}$ \emph{limit\'e par la courbe} $\mathcal{C}_{f}$ \emph{et les demi-droites} $\left[\text{O}~;~\ve{\imath}\right)$ \emph{et} $\left[\text{O}~;~\ve{\jmath}\right)$.

\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la fonction $G$ admet une limite en $+\infty$ que l'on pr\'ecisera.
\item Interpr\'eter en termes d'aires le r\'eel N $= \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 -  t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$
\item En admettant que la limite de $G$ en $+\infty$ repr\'esente l'aire $\mathcal{P}$ en unit\'es d'aire du domaine $\mathcal{D}$ limit\'e par la demi-droite $\left[\text{O}~;~\ve{\imath}\right)$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$  justifier graphiquement que :
\[ \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 -  t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t \geqslant \dfrac{\ell}{2}.\]
(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie)
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Document \`a rendre avec la copie - Annexe}
\vspace{1cm}
\end{center}

\noindent \textbf{Exercice 4}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2.25cm,yunit=9cm}\begin{pspicture}(-3.5,-0.25)(3.5,1.25)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-0.25)(3.5,1.25)
\multido{\n=-3.5+0.5}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,-0.25)(\n,1.25)}
\multido{\n=-0.25+0.25}{7}{\psline[linestyle=dotted](-3.5,\n)(3.5,\n)}
\uput[d](0.5,0){$\ve{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\ve{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=500]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psplot[plotpoints=500]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp x dup mul mul}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}
%Lyc\'ee Fran�ais de Pondich\'ery	Mise \`a disposition Dimitri Jacquier-roux

 