\documentclass[12pt,landscape]{article}
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\usepackage{multicol}
\newcommand{\ie}{\leqslant}  % inferieur ou egal
\newcommand{\se}{\geqslant}  % superieur ou egal




\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{red}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{red},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{0.9white}}


\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{red}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}

\definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
\definecolor{0.8white}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
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\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
%% On redéfinit l'allure des sections en gardant \section, etc.

\usepackage{sectsty}


\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
\subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}. }
\subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection}. }

\title{}

\author{Guillaume CONNAN\\ \href{http://gconnan.free.fr}{http://gconnan.free.fr}}

\begin{document}


\setlength{\parindent}{0mm}

%\maketitle

%\initablor



\begin{center}
  \fbox{ CORRECTION du D.M. n°1\hspace{7cm} 2\up{nde}12}
\end{center}

\begin{multicols}{2}

\fbox{Épisode 1}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item On trace un carré de côté 10 cm.  On place le milieu I de [AB]. On trace
l'arc de cercle de centre I passant par C~:~il coupe la demi-droite [AB)
en E. On trace le rectangle CBEF.
\item Le  triangle IBC  est rectangle  en B. On  peut donc  appliquer le
  théorème de Pythagore~:
\[IC^2=IB^2+BC^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2=\frac{5}{4}\]

On     en     déduit     que    $IC=\frac{\sqrt{5}}{2}$     puis     que
$AE=AI+IE=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

\item   On   mesure   sur    le   dessin   $AE\approx   16,2$~cm,   donc
  $\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx   1,62$.  On   obtient   une  mesure   au
  millimètre  près sur  le dessin,  c'est-à-dire à  $10^{-2}$  près pour
  $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

\item On obtient à la machine une valeur approchée~:
%@Commande-1
\begin{lstlisting}
approx((sqrt(5)+1)/2)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.618034 \]}}



\end{enumerate}

\smallskip
\fbox{Épisode 2}
\smallskip

\subsubsection*{Sans calculatrice}

\begin{enumerate}
\item     $\frac{1}{\Phi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}\times
  \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{2(1-\sqrt{5})}{1^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=\frac{2(1-\sqrt{5})}{1-5}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$1+\frac{1}{\Phi}=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2+\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi$

En   utilisant   un    calculateur   formel   (XCAS   en   l'occurrence,
téléchargeable ici 

\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/%7Eparisse/install_fr#xcaswin}{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/install\_fr\#xcaswin})~:

%@Commande-2
\begin{lstlisting}
Fi:=(1+sqrt(5))/2 // sqrt comme SQuare RooT
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(1+\sqrt{5})}{2} \]}}
%@Commande-3
\begin{lstlisting}
simplifier(1/Fi) 
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(\sqrt{5}-1)}{2} \]}}
%@Commande-4
\begin{lstlisting}
simplifier(1/Fi+1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(\sqrt{5}+1)}{2} \]}}
\item De même~:
%@Commande-5
\begin{lstlisting}
simplifier(Fi^2)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(\sqrt{5}+3)}{2} \]}}
%@Commande-6
\begin{lstlisting}
simplifier(1+Fi)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(\sqrt{5}+3)}{2} \]}}

\end{enumerate}

\subsubsection*{Avec calculatrice}

\begin{enumerate}
\item Cherchons les approximations demandées 

Avec une calculatrice on entre~:

\tisqrt\tideux\tienter
puis une série de~:
\tisqrt\tipao\tiun\tiplus\tians\tipaf\tienter

Sur XCAS~:

%@Commande-7
\begin{lstlisting}
approx(Fi)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.618034 \]}}
%@Commande-8
\begin{lstlisting}
a1:=sqrt(1+sqrt(1));approx(a1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{2},     1.414214 \]}}
%@Commande-9
\begin{lstlisting}
a2:=sqrt(1+a1);approx(a2)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{1+\sqrt{2}},     1.553774 \]}}
%@Commande-10
\begin{lstlisting}
a3:=sqrt(1+a2);approx(a3)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}},     1.598053 \]}}
%@Commande-11
\begin{lstlisting}
a4:=sqrt(1+a3);approx(a4)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}}},     1.611848 \]}}
%@Commande-12
\begin{lstlisting}
a5:=sqrt(1+a4);approx(a5)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}}}},     1.616121 \]}}
%@Commande-13
\begin{lstlisting}
a6:=sqrt(1+a5);approx(a6)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}}}}},     1.617443 \]}}


etc.

On trouve finalement qu'il faut aller jusqu'à $a_{18}$.

%@Commande-14
\begin{lstlisting}
precision(n):={
A:=sqrt(1+sqrt(1.0)); // au depart A vaut a1
k:=1; // le compteur au debut vaut 1
Fi:=approx((1+sqrt(5))/2);
tantque Fi-A>10^(-n) faire A:=sqrt(1+A); // on fabrique un nouveau A
k:=k+1; // un coup de plus au compteur
ftantque; // fin de la boucle
return("Il faut attendre le rang"+k)
}:;
\end{lstlisting}

%@Commande-15
\begin{lstlisting}
precision(9)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{Il faut attendre le rang18}\]}}



%@Commande-16
\begin{lstlisting}
b1:=approx(1+1/1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      2.000000 \]}}
%@Commande-17
\begin{lstlisting}
b2:=1+1/b1
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.500000 \]}}
%@Commande-18
\begin{lstlisting}
b3:=1+1/b2
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.666667 \]}}
%@Commande-19
\begin{lstlisting}
b4:=1+1/b3
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.600000 \]}}
%@Commande-20
\begin{lstlisting}
b5:=1+1/b4
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.625000 \]}}
%@Commande-21
\begin{lstlisting}
b6:=1+1/b5
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      1.615385 \]}}

etc.

On trouve finalement qu'il faut aller jusqu'à $b_{22}$.



Pour plus de précisions sur le nombre d'Or, regardez 

\href{http://www.youtube.com/watch?v=ciwcfXHax9c}{http://www.youtube.com/watch?v=ciwcfXHax9c}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{document}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
