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\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}}

\usepackage{algo}

\renewcommand{\algocommentfont}{\small\ttfamily\itshape}
\newcommand{\DecalV}[2][2pt]{%
	\raisebox{#1}{%
		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}
            \newcommand{\oij}[1][O]{\DecalV[.8pt]{#1;\ve{\imath},\ve{\jmath}\,}\xspace}

            
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\newcommand\nor{\downarrow}
\newcommand\nand{\uparrow}


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\newcommand{\Fonc}[5]{#1~\colon~\begin{array}{rll} #2 &\to &#3\\ #4& \mapsto &#5 \end{array}} % fonction d'une autre variable
\newcommand{\illt}[4]{\begin{minipage}[t]{#3\linewidth}\vspace{0cm}#1\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{#4\linewidth}\vspace{-0.25cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{#2}\end{flushright}\end{minipage}}

\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}
\newcommand{\E}{{\operatorname e}}
\newcommand{\TR}{\mathscr{T}}
\newcommand{\CR}{{\Large \mathscr{{C}}}}


% \usepackage{listing}

% \lstset{
%  language=python,
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%  %     \textcolor{gray!10}{\_}Haskell \textcolor{gray!10}{\_}}}}
% }

% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}


\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}

\newcommand{\I}{{\rm \textbf{i}}\,}

%transposee
\usepackage{fouridx}
\newcommand*{\transp}[1]{\fourIdx{{\rm t}}{}{}{}{#1}}
\newcommand\tr{\vphantom{}^{\rm t}}

\newcommand{\dd}{\text{ d}}


\paper{DS-M11} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé - Mathématiques}
\time{cent dix-huit minutes} % <- number of hours: default is three
\semester{Terminale S3}
\annee{1\up{er} Octobre 2018} % <- default is the current year

% %\campus{City}
\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
  avec le plus grand soin. 
  MAY THE FORCE BE WITH YOU!}


\begin{document}



\begin{exercice}[ points]
  Prérequis: on suppose connue la définition d'une suite tendant vers $+\infty$.

  Démontrer le théorème suivant:

  \begin{quote}
    {\itshape
  Soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
  \item Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
    a $v_n \geqslant u_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$

      }
  \end{quote}
\end{exercice}


\begin{exercice}[ points]

  On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par $f(x)=-x^3-2x^2+4x+5$.
  \begin{enumerate}
  \item  Déterminer  une équation  de  la  tangente  $\TR$  à  la  courbe
    représentative de $f$ au point d'abscisse 1. On notera $\CR$ cette courbe.

  \item On cherche à présent à étudier position relative de la courbe de $f$ et
    de $\TR$.
    \begin{enumerate}
    \item  Soit  la fonction  $P$  définie  par $P(x)=-x^3-2x^2+7x-4$.  Calculer
      $P(-4)$.
      \item   Déterminer    trois   réels   $a$,    $b$   et   $c$    tels   que
        $P(x)=(x+4)(ax^2+bx+c)$.
        \item Conclure quant à la position relative de $\TR$ et $\CR$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[ points]
  Étudier la limite  des suites de terme général $u_n=4  + \dfrac{3\sin(n)}{n^2}$
  et $w_n=\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+2}$
\end{exercice}

\begin{exercice}[ points]
  Écrivez les nombres suivant sous forme algébrique:
  \begin{enumerate}
  \item $z_a=(2+\I)^3$
  \item $z_b=\dfrac{2+\I}{1-2\I}$
  \item $z_c=\dfrac{-1+\I \sqrt{3}}{-1-\I \sqrt{3}}$
 \item $z_d=\I z_1^2+\dfrac{z_2}{\overline{z_3}}$ avec  $z_1=3-\I$,  $z_2=1+2\I$,  $z_3=-2\I$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

 

\begin{exercice}[ points]
  
  Un élève de T\up{ale}S3 a décidé de parcourir 5000\,km à pied.  Il peut
  parcourir  50\,km par  jour mais  chaque jour  la fatigue  s'accumule et  donc
  sa performace diminue de $1\%$ tous les jours.  On note $d_n$ la distance
  parcourue durant le $n$-ième jour. Ainsi $d_1=50$\,km.

  \begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $(d_n)$?
  \item Exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
    \item On  note $L_n$ la  disrtance totale  parcourue en $n$  jours. Exprimer
      $L_n$ en fonction de $n$.
    \item Quand atteindra-t-il son but?
      \item  Au  bout  de combien  de  jours  sera-t-il  à  moins de  100\,km  de
        l'arrivée? À moins de 10\,km? À moins de 100\,m? On pourra s'aider d'une
        calculatrice. 
        \item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche à la fin le plus
          petit entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geqslant n_0$, on ait
          $5000 - L_n \leqslant \text{seuil}$
          
 \begin{algo}
          \ALGO{...à compléter}
          \VAR
          \DECLVAR{n}{entier}
          \DECLVAR{L, u, seuil}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{Afficher("valeur du seuil ?")}
            \STATE{Lire(seuil)}
            \STATE{n \recoit{} ...}
            \STATE{u \recoit{} ...}
            \STATE{L \recoit{} ...}
            \WHILE{...}
               \STATE{... \recoit{}...}
               \STATE{... \recoit{}...}
               \STATE{... \recoit{}...}
            \ENDWHILE
            \STATE{Afficher(...)}
          \END
        \end{algo}

          
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
