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		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}
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% %%% Fraction en oblique
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\paper{DS-M11} % <- do not include FC, FT etc
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\title{Devoir Surveillé - CORRIGÉ}
\time{cent dix-huit minutes} % <- number of hours: default is three
\semester{Terminale S3}
\annee{1\up{er} Octobre 2018} % <- default is the current year

% %\campus{City}
%\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
%  avec le plus grand soin. 
%  MAY THE FORCE BE WITH YOU!}


\begin{document}



\begin{exercice}[ points]
 On  veut  prouver  que $\displaystyle\lim_{n\to  +\infty}v_n=+\infty$,  donc  on
considère un réel positif A quelconque. 


Puisque $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$, il existe un entier $N$ à
partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont au-dessus de $A$.

Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
a $v_n \geqslant u_n$.


Soit $N_{\max} = \max(N_0,N)$, alors:

$$n \geqslant N_{\max} \Longrightarrow v_n \geqslant u_n \geqslant A$$

ce qui traduit bien que la suite $(v_n)$ diverge vers $+ ∞$ d'après la définition.
\end{exercice}


















\begin{exercice}[ points]

   $f(x)=-x^3-2x^2+4x+5$
  \begin{enumerate}
  \item  Calculons  la  dérivée  de   la  fonction  $f$  dérivable  sur  $\bbr$:
    $f'(x)=-3x^2-4x+4$.

    $\TR$ admet pour  équation réduite $y=f'(1)\times (x-1)  + f(1)$ c'est-à-dire
    $y=-3(x-1)+6=-3x+9$ 

  \item 
    \begin{enumerate}
    \item $P(-4)=64-32-28-4=0$.
      \item
        $(x+4)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx+4ax^2+4bx+4c=ax^3+(b+4a)x^2+(c+4b)x+4c$.

        On cherche $a$, $b$ et $c$ pour que $(x+4)(ax^2+bx+c)=P(x)$

        Par identification on obtient $
        \begin{cases}
          a=-1\\
          b-4=-2 \Longrightarrow b=2\\
          c+8 = 7  \Longrightarrow c=-1
        \end{cases}$

        Finalement $P(x)=(x+4)(-x^2+2x-1)$
        \item Étudions  l'intersection de  $\CR$ avec $\TR$.  On cherche  donc à
          résoudre l'équation $(E):f(x)=-3x+9$
          \begin{eqnarray*}
            (E)&\Longleftrightarrow& -x^3-2x^2+4x+5=-3x+9\\
            (E)&\Longleftrightarrow& -x^3-2x^2+7x-4=0\\
            (E)&\Longleftrightarrow&P(x)=0\\
            (E)&\Longleftrightarrow&(x+4)(-x^2+2x-1)=0\\
            (E)&\Longleftrightarrow&-(x+4)(x^2-2x+1)=0\\
            (E)&\Longleftrightarrow& -(x+4)(x-1)^2=0\\
            (E)&\Longleftrightarrow& x= -4 \text{ ou } x=1
          \end{eqnarray*}
        $\TR$ coupe donc $\CR$  au point d'abscisse 1, ce qui  est normal, et au
        point d'abscisse $-4$.

        Comme   $f(x)-(-3x+9)=-(x+4)(x-1)^2$,   $f(x)-(-3x+9)$  est   du   signe
        contraire  de  $x+4$ donc  positif  sur  $]-\infty,-4]$ et  négatif  sur
        $[4,+\infty[$.

        Ainsi $\CR$ est  au-dessus de sa tangente sur $]-\infty,  4]$ puis reste
        au-dessus ailleurs.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[ points]
  $\forall n\in\bbn, -1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1$ donc

  $$4+ 3\times \frac{-1}{n^2}\leqslant u_n \leqslant 4 + 3\times \frac{1}{n^2}$$

  Or $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0$ (limite de référence)

  Donc par somme et produit de limites finies:

  $   \displaystyle\lim_{n\to   +\infty}4+   3\times  \frac{-1}{n^2}=4$   et   $
  \displaystyle\lim_{n\to +\infty}4+ 3\times \frac{1}{n^2}=4$

  Ainsi,   d'après  le   théorème  des   gendarmes  $$   \displaystyle\lim_{n\to
    +\infty}u_n=4$$


  \bigskip

  $w_n=\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+2}=\frac{n^2\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\frac{2}{n^2}\right)}=\frac{2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{2}{n^2}}$

  Or les  limites en $+\infty$  de $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^2}$  sont nulles
  comme limites  de référence  donc par  somme et produit  de limites  finies on
  obtient que $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}=2$ et
  $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}3+\frac{2}{n^2}=3$.

  Ainsi par quotient de limites finies $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}w_n=\frac{2}{3}$.

  
\end{exercice}

\begin{exercice}[ points]
  \begin{enumerate}
  \item $z_a=(2+\I)^3=(2+\I)^2(2+\I)=(4+4\I-1)(2+\I)=(3+4\I)(2+\I)=6+3\I+8\I-4=2+11\I$
  \item $z_b=\dfrac{2+\I}{1-2\I}=\dfrac{2+\I}{1-2\I}\times \dfrac{1+2\I}{1+2\I}=\dfrac{2+4\I+\I-2}{1+4}=\I$
  \item  $z_c=\dfrac{-1+\I \sqrt{3}}{-1-\I  \sqrt{3}}=\dfrac{1-\I \sqrt{3}}{1+\I
      \sqrt{3}}= \dfrac{1-\I \sqrt{3}}{1+\I \sqrt{3}}\times \dfrac{1-\I \sqrt{3}}{1-\I \sqrt{3}}=\dfrac{1-2\I\sqrt{3}-3}{1+3}=\dfrac{-1-\I\sqrt{3}}{2}$
  \item $z_d=\I (3-\I)^2+\dfrac{1+2\I}{2\I}=\I(9-6\I-1)+\dfrac{1+2\I}{2\I}\times
    \dfrac{-\I}{-\I}=8\I+6+\dfrac{-\I+2}{2}=\dfrac{12+16\I-\I+2}{2}=\dfrac{14+15\I}{2}$
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[ points]
  

  \begin{enumerate}
  \item Traduisons l'énoncé:
    $$\underbrace{d_{n+1}}_{\text{Distance jour
        suivant}}=\underbrace{1-\frac{1}{100}}_{\text{Baisse                  de
        1\%}}\times\underbrace{d_n}_{\text{Distance jour }n}$$
    On en  déduit que  $(d_n)$ est une  suite géométrique de  raison 0,99  et de
    premier terme $d_1=50$.
  \item On obtient donc que pour tout entier naturel non nul:
    $$d_n=50\times 0,99^{n-1}$$
  \item                                              $L_n=d_1+d_2+\cdots+c_n=d_1
    \frac{1-0,99^n}{1-0,99}=50\frac{1-0,99^n}{0,01}= 5000(1-0,99^n)$
    \item Or  pour tout entier  naturel non nul $n$  on a $0  < 1-0,99^n
      < 1$ donc $L_n<5000$: il n'atteindra jamais son but :(
      \item Pour un seuil donné, il faudra déterminer le plus petit entier $n$ à
        partir duquel $5000-L_n \leqslant \text{seuil}$. On cherche donc $n$ tel
        que $5000-5000(1-0,99^n)\leqslant \text{seuil}$ i.e.

        $$0.99^n \leqslant \frac{\text{seuil}}{5000}$$

        On résout dans l'ordre $0,99^n \leqslant \frac{1}{50}=0,02$ puis
        $0,99^n   \leqslant   \frac{1}{500}=0,002$    puis   $0,99^n   \leqslant
        \frac{0,100}{5000}=0,00002$

        La suite  de terme général  $0,99^n$ étant strictement  décroissante, la
        première valeur passant sous le seuil convient.
        
        À la calculatrice on obtient:

        \begin{itemize}
        \item $0,99^{389}>0,02 $ et $ 0,99^{390}<0,02$ donc il faut attendre 390 jours
          pour être à moins de 100\,km du but.
        \item $0,99^{618}>0,002 $ et $ 0,99^{619}<0,002$ donc il faut attendre 619 jours
          pour être à moins de 10\,km du but.
           \item $0,99^{1076}>0,00002 $ et $ 0,99^{1077}<0,00002$ donc il faut attendre 1077 jours
          pour être à moins de 100\,m du but.
        \end{itemize}

        
        \item 
          
 \begin{algo}
          \ALGO{complété}
          \VAR
          \DECLVAR{n}{entier}
          \DECLVAR{L, u, seuil}{flottant}
          \BEGIN
            \STATE{Afficher("valeur du seuil ?")}
            \STATE{Lire(seuil)}
            \STATE{n \recoit{} 1}
            \STATE{u \recoit{} 50}
            \STATE{L \recoit{} u}
            \WHILE{5000 - L > seuil}
               \STATE{u \recoit{} u*0.99}
               \STATE{L \recoit{} L + u}
               \STATE{n \recoit{} n + 1}
            \ENDWHILE
            \STATE{Afficher(n)}
          \END
        \end{algo}

        \begin{itemize}
        \item  On initialise  $n$ à  1, $u$  à $u_1$  et $L$  à $u_1$:  c'est la
          situation du premier jour.

          Tant  que $L$  est  à plus  de  seuil  de 5000,  on  fait évoluer  les
          variables:
          \begin{itemize}
          \item $u$ valait $u_n$ et vaut maintenant $0,99u_n=u_{n+1}$
          \item  On rajoute  la  nouvelle  distance à  $L$  qui vaut  maintenant
            $L_{n+1$
              \item On incrémente $n$ de 1
              \end{itemize}
              En sortant de la boucle, on vient juste de dépasser le seuil et on
              affiche la valeur de $n$ qui correspond.
        \end{itemize}

          
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}
%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: t
%%% End:
