% \documentclass[10pt,landscape]{report}
% \usepackage{etex}
% \usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}
%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{primif.mp}
input newcourbes;
%input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

 
beginfig( 1)


% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vardef fx(expr t)=
% t
% enddef;

% vardef fy(expr t)=
%                               % c'est la seule ligne à changer
% enddef;
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-.5,4.4,-0.5,3.7,2cm,2cm);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);

r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(0.5,0.8white);
quadu_xy(0.6white);

pair m,n,p,q,r,s;
m:=r_p(0,1.5); n:=r_p(1,3.5); p:=r_p(2,2.5);
q:=r_p(3,1.5); r:=r_p(4,3.5); s:=r_p(3,1);


draw m{dir 70}..tension2.5..{dir0}n{dir0}..tension2.5..{dir300}p{dir300}..tension2.5..{dir0}q{dir0}..tension2.5..r{dir70} withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.7white;

dotlabel.lft(btex M etex,m );
dotlabel.top(btex N etex,n );
dotlabel.llft(btex P etex,p );
dotlabel.top(btex Q etex,q );
dotlabel.top(btex R etex,r );
dotlabel.llft(btex S etex,s );

draw r_droite(2,2.5,-1.5) dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp;
drawdblarrow r_p(0.5,3.5)--r_p(1.5,3.5) withpen pencircle scaled 1.3bp;
drawdblarrow r_p(2.5,1.5)--r_p(3.5,1.5)withpen pencircle scaled 1.3bp;

label.urt(btex (D) etex,r_p(3.3,0.5) );

r_fin;
endfig;



end
\end{filecontents*}



\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}

% \documentclass[10pt,a4paper,twoside]{report}
% \usepackage{etex}
% \usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule-utf8,filecontents}
%\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[boldsans]{ccfonts}
\usepackage{beton,euler,asymptote,picins}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
\usepackage[xcas]{pro-courbes}
\usepackage[xcas]{pro-tablor}
\entete{DS de mathématiques - samedi 6 juin 2009}{DS de
  mathématiques - samedi 6 juin 2009}{Lycée Jean \textsc{Perrin}
  1\up{\`ere} ES1}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
	\setlength{\columnseprule}{0pt}

\newcommand{\syst}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 &=& #2\\#3 &=& #4 \end{array}\right.} %syst�me

\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE \begin{center} 1\up{\`ere} ES1 - D.S.  de
    mathématiques - Samedi 6 juin 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1.5cm}
\setlength{\multicolsep}{0mm}

\pagestyle{empty}

\begin{multicols}{2}

\exot{}

Résolvez les équations suivantes~:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{x}=\dfrac{5}{2}$
\item $2x=\dfrac{3}{5}$
\item $\dfrac{x}{2}-\dfrac{3x}{5}=\dfrac{2}{7}$
\item $\dfrac{3}{x}=\dfrac{x-1}{x+1}$
\item $2x=\dfrac{3x-5}{x-2}$
\item $\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{3x^2+1}{x(x-1)}=-\dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\emph{Vous  essaierez  par  exemple  de  réécrire  les  trois  dernières
  équations  sous la
  forme d'équations du second degré.}

\exot{}


Résolvez chacune des inéquations suivantes~:

\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $-17x^2+x-5>0$
\item$ 9x^2+30x+25>0$
\item $5x^2-15x-140\ie0$
\item $-2x^2+\frac{11}{2}x+\frac{3}{2}<0$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\exot{}
Une entreprise  syldave produit  des matraques à  condensation nucléaire
hyperstatique pour le ministère de la culture de Syldavie. 

On a  représenté ci-dessous  la fonction coût  total $C$ et  la fonction
recette totale $R$.

On sait que  $C(q)=0,2q^2+q+90$ et $R(q)=12q$ avec $q$  la quantité de
matraques fabriquées par jour exprimée  en milliers, les recettes et les
coûts étant exprimés en Mzlrt\v{c}z\ss t\dj.
 
\begin{pro-courbemulti}{1}
 [
 [.2*x^2+x+90,"gris_I"],
 [12*x,"gris_V"]
 ],
 0,80,0,1500, //xmin,xmax,ymin,ymax,
 10,250,10,250,2,50, //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [ // ----------------- debut des options
["grille","plein"]
 ]// ----------------- fin des options
\end{pro-courbemulti}

\begin{enumerate}
\item Exprimez $B(q)$, le bénéfice correspondant en Mzlrt\v{c}z\ss t\dj.
\item Déterminez par le calcul le nombre de matraques qu'il faut fabriquer pour que
  l'entreprise soit rentable.
\item Étudiez le sens de variation de B et dressez son tableau de
  variation. 
\item Déterminez quelle production permet d'obtenir un bénéfice maximum.
\end{enumerate}



\exot{}

Déterminez l'expression de la  fonction dérivée de chacune des fonctions
définies ci-dessous~:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{x^2-2x+7}{4}$
\item $g(t)=t(3-t)$
\item $h(q)=\dfrac{2q+1}{q^2+2}$
\item $k(n)=\dfrac{2}{n^2+n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}


\exot{}

Les fonctions $f$ et $g$ sont respectivement définies sur $\bbr^*$ par 
$f(x)=\frac{1}{x}-2$ et $ g(x)=\frac{x^5+3x+1}{x}
$
\begin{enumerate}

\item Donnez  des équations  des tangentes $(T)$  et $(T')$  aux courbes
  $\CR_f$ et $\CR_g$
 en leurs points d'abscisse 1.
\item Les courbes
  $\CR_f$ et $\CR_g$ admettent-elles des tangentes horizontales~?

\end{enumerate}


\exot{} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle
$[0,4]$ dont la représentation graphique, dans un repère
orthonormal $(O,\ve{i},\ve{j})$ est la courbe $\CR$ ci-contre.


Les points $M$, $N$, $P$, $Q$  et $R$ appartiennent à $\CR$. Les
coordonnées de $M$ sont $(0,3/2)$, celles de $N$ $(1,7/2)$, celles
de $P$ $(2,2/5)$ celles de $Q$ $(3,3/2)$ et celles de $R$
$(4,7/2)$.

La courbe $\CR$ admet en chacun des points $N$ et $Q$ une tangente
parallèle à l'axe des abscisses.

La droite $(D)$ est tangente à la courbe $\CR$ au point $P$; elle
passe par le point $S$ de coordonnées $(3,1)$. 

\begin{enumerate} 

\item Donnez par lecture graphique $f'(1)$, $f'(2)$ et $f'(3)$.
\item Déterminez une équation de la droite $(D)$. 


 \item
Déterminez à l'aide du graphique le nombre de solutions de
l'équation $f(x)=3$ sur l'intervalle $[0,4]$. 
\item
Pour tout $x\in[0;4]$, on admet que $f'(x)=a(x-1)(x-3)$, $a$ étant
une constante réelle.

Déterminer $a$ à l'aide des résultats de la question {\bf 1}.

\end{enumerate}


\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{primif.1}
\end{center}


\exot{}


Début 2007, Klow, la capitale syldave, comptait  12000 habitants. En Janvier 2008, on s'aperçoit que
Klow  a perdu  un certain  pourcentage (noté  $t$)  de sa  population qui  a fuit  vers la  Bordurie
voisine. Mais l'année suivante, les émigrants se sont  aperçu que la vie étaient pire en Bordurie et
reviennent en fraude avec quelques Bordures et Klow voit ainsi sa population croître de nouveau~:~en Janvier 2009, elle a gagné $(2t)\%$ en population par rapport à Janvier 2008. Elle compte ainsi, en Janvier 2009, 12285 habitants
\begin{enumerate}
	\item Déterminer (en fonction de $t$) le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de population de $t\%$ suivie d'une augmentation de $(2t)\%$.
	\item Expliquer avec soin pourquoi $t$ est solution de l'équation $-2.4t^2+120t-285=0$ (\textit{si vous trouvez une autre équation dont $t$ est solution, vous pouvez bien entendu la donner ici, en justifiant avec soin})
	\item Calculer le pourcentage $t$ sachant que la population de la ville n'est jamais descendue en-dessous des 10000 personnes.
        \item Question subsidiaire pour départager les es-\ae quos~:~un syldave mesure 1m88, fume 1 paquet de Zrälùkz par jour~:~calculer le pourcentage de
          mots d'origine bordure dans la phrase «~Czesztot wzryzkar nietz on waghabontz! Czesztot bätczer yhzer kzömmetz noh dascz gendarmaskaïa ~»
\end{enumerate}





\end{multicols}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
