
\input{/home/moi/Lycee/makdevoir}
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\title{\vspace{-4cm}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{   {\huge\bfseries  \white{T\textsuperscript{ale}$\text{S}_6$  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°2}}  } }

\author{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{\white\bfseries{Mardi 8 novembre 2005}}}
\date{}
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%numérotation des pages par rapport à la dernière
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    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
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    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
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%fin de la macro pour numéroter les pages


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}

\vspace{-4cm}
\maketitle



\begin{center}
\textsl{L'usage des calculatrices et de la
copie du (de la) voisin(e) n'est pas autorisé. }
\end{center}




\exot{}





\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.Vous indiquerez sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant \`a la réponse choisie. \\Chaque réponse exacte rapporte} 1 \emph{point, chaque réponse fausse enl\`eve} 0,5 \emph{point. Une absence de réponse est comptée} 0 \emph{point. Si le total est n\'egatif, la note est ramenée à zéro.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\begin{enumerate} \item Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. On a alors :

\[\begin{array}{l l}
\text{A}~ :~  z^{14} =  - 128\sqrt{3} - 128\text{i}.&	\text{C}~ :~ z^{14} =  - 64 + 64\text{i}\sqrt{3}.\\
\text{B}~ :~ z^{14} =  64 - 64\text{i}.&	 \text{D}~:~ z^{14} = -128 + 128\text{i}\sqrt{3}\\
\end{array}\]

\item On consid\`ere, dans le plan complexe rapport\'e à un repère orthonormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe $4\text{i}$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 3| =  |3 - 4\text{i}|$.\\
A : (E) est la m\'ediatrice du segment [ST] ;\\
B : (E) est la droite (ST) ;\\
C : (E) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3 -4\text{i}$, et de rayon 3 ;\\
D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.\\

\item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par $g(x)	 = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}$ ;  soit $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan.\\

A : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y =  -1$.\\
B : $\Gamma$ n'admet pas d'asymptote.\\
C : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = x$.\\
D : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y =  1$.\\



\vspace{0,5cm}

\item Le point M est situé sur le cercle de centre A$(-2~;~ 5)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Son affixe $z$ vérifie :
\[\begin{array}{l l}
\text{A}~ :~ |z - 2 + 5\text{i}|^2 = 3 &	\text{C}~ :~ |z + 2 - 5\text{i}|^2 = 3\\
\text{B}~ :~ |z - 2 + 5\text{i}| = 3 &	 \text{D}~:~ |z - 2 + 5\text{i}| = \sqrt{3} ~\\
\end{array}\]







\end{enumerate}







\exot{}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique 1 cm).

\noindent On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante :

\[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = 0.\]

\noindent \textbf{I.} Résolution de l'équation (E).

\begin{enumerate} \item Montrer que $- \text{i}$ est solution de (E).

\item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que :

\[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = (z+\text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\]

\item Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{II.} À tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{ \text{i}z+10 - 2\text{i}}{z - 2}$.

On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 +\text{i},~ 4 - \text{i}, - \text{i}$.


\begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A',~B',~C'$ associés respectivement aux points A, B et C.

 \item Vérifier que $A',~B',~C'$ appartiennent à un cercle $\mathcal{C}'$ de centre P, d'affixe i.  Déterminer son rayon.

 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}




\exot{}


L'observation de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$
sur l'\'{e}cran graphique d'une calculatrice donne \`{a} penser
que $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline On se
propose d'en donner une valeur approch\'{e}e.\newline Observez
ci-dessous la repr\'{e}sentation graphique de la fonction
$f^{\prime}$, d\'{e}riv\'{e}e de $f$, sur l'intervalle $I=\cro{\fr{1}{2},2}$.\newline

\vspace{0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-4)(8,1)
\psset{xunit=8cm} \psaxes(0,0)(0,-4)(2,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10,subgriddots=10](0,-4)(2,1)
\psplot[linecolor=blue]{0.49}{2}{x 2 sub 2.72828 x exp mul 2 add x
3 exp div}
\end{pspicture}
\vspace{.5cm}

Quels sont les \'{e}l\'{e}ments graphiques concernant $f^{\prime}$
qui vont dans le sens de l'existence d'un minimum de $f$ sur $I$ ?


\'A l'aide de ce graphique donnez un encadrement
d'amplitude 0,2 de l'abscisse de ce minimum.

Donnez UNE allure possible du graphe de $f$.

\exot{}

On considère la fonction $g$ définie sur $I=[0,\pi/2]$ par $$g(x)=2x\cos(2x)-\sin(2x)+\fr{\pi}{2}$$

\been

\item Calculez $g'(x)$.

\item \'Etudiez le signe de $g'(x)$ sur $I$.

\item Dressez le tableau des variations de $g$ sur $I$.

\item Déduisez-en qu'il existe un unique réel $a$ solution de l'équation $g(x)=0$. Vous en donnerez un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

\een



\end{document}