
\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}


\entetalice{DS n°3}{SGM 1 - 2005/2006}


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

.

\vspace{-2cm}

\textcolor{bleu_f}{\bfseries\huge\floweroneleft \ \ SGM1  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°3\ \ \floweroneright}

\bigskip

\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\Large  Mardi 18 avril 2006}

\end{center}


\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\LARGE NOM~:\hspace{7cm} GROUPE~:}
\end{center}



\begin{center}
\textsf{\textcolor{bleu_f}{L'usage des calculatrices et de la
copie du (de la) voisin(e) est interdit}}
\end{center}

\bigskip






\begin{exercice}
Calculez les dérivées partielles d'ordre 1 de  la fonction 
\[f(x,y)=\ln\big(x(y-x)\big)\]



\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit $f~:~(x,y)\mapsto \fr{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Montrez que \[x\dr{f}{x}+y\dr{f}{y}=-f\]
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit R la résistance équivalente aux deux résistances $x$ et $y$ montées en parallèle.

Montrez que  $R=\fr{xy}{x+y}$

Calculez la différentielle totale $\d R$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Calculez $\ds\intt_{\DR}\fr{x^2}{1+y^2}\d x\d y$ avec $\DR=\big\{(x,y)\in\bbr^2\,|\, 0\ie x\ie 1, 0\ie y\ie 1\big\}$
\end{exercice}


\begin{exercice}
On rappelle que le moment par rapport à $(Oy)$ d'une plaque homogène $\DR$ de masse surfacique 1 vaut \[I_y=\intt_{\DR}x^2\d x\d y\]

Montrez que  ce moment vaut $\fr{1}{12}$ dans le cas d'une plaque triangulaire de sommets $O(0\pv 0)$, $A(1\pv 0)$ et $B(0\pv 1)$. Vous commencerez par dessiner le domaine.

\end{exercice}


\begin{exercice}
Calculez $\intt_{\DR}{\rm e}^{(x^2+y^2)}\d x\d y$ avec $\DR=\big\{(x,y)\in\bbr^2\,|\, x^2+y^2\ie 1,\, y\se0\big\}$
\end{exercice}

\bigskip\bigskip

\begin{center}
\textbf{RAPPELS}

\bigskip

$\Mathbold{(u^a)'=a\times u'\times u^{a-1}\qquad ({\rm e}^u)'=u'{\rm e}^u\qquad (\ln u)'=\fr{u'}{u}\qquad (\Arctan u)'=\fr{u'}{1+u^2}}$

\end{center}
\end{document}