\documentclass[10pt,landscape]{report}
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\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
\entete{\large \bfseries DS 2}{DS 2}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - 2\up{e}4}%g,d,b

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries   \begin{center}  Devoir  surveillé   de  mathématiques
    n\textdegree 2 - 2\up{e}4 - Samedi 14 novembre 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}

\exot{}

\begin{enumerate}
\item Développez $A=5x(x-1)(7x-2)$.
\item Factorisez
  \begin{enumerate}
  \item $B=5x^3+3x^2-7x$
   \item $C=9x^2-6x+1$
   \item $D=(3x+2)^2-16x^2$
  \end{enumerate}
\item Traduisez en langage usuel~:
  \begin{enumerate}
  \item $(2x+5)^2=7$
  \item $3x^2=\frac{1}{x}$
  \end{enumerate}
\item
  Résoudre  les  problèmes   suivants  après  les  avoir  mis  en
        équation~:
        \begin{enumerate}
        \item \og  En ajoutant  5 au double  du nombre $x$  j'obtiens la
              moitié de $x$\fg{}. Déterminez $x$.
         \item Déterminez les nombres dont l'inverse est égal à leur double.
        \end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{}

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ de l'intervalle $[-7;5]$ par \[f(t)=1-3t^2\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminez les  valeurs  exactes  sous la  forme  la plus  simple
      possible des images des nombres suivants~:
      \[
        -12~;~\frac{3}{\sqrt{2}}~;~\sqrt{7}~;~\sqrt{(-7)^2}~;~7\times 10^{-15}
      \]

%\item   Calculez  l'image   de  $(u+3)$   sous  forme   développée  avec
    %  $u\in[-10;2]$.

\item Factorisez $f(t)$.

\item Déterminez les éventuels antécédents de $7$, $-7$, $0$ et $1$.



\item Résolvez sur $[-7;5]$ l'équation $f(z)=0$.

\item Résolvez sur $[-7;5]$ l'inéquation $f(T)>1$.

\end{enumerate}


\exot{}

Soit $f$  une fonction définie  sur l'intervalle $[-10;9]$  et vérifiant
les conditions suivantes~:

\begin{itemize}
\item $f(0)=1$~;
\item  l'équation $f(x)=0$ admet  trois solutions  sur $[-10;9]$~:~$-3$,
      $\frac{3}{2}$ et $5$.
\item son tableau de variations est le suivant~:

  \begin{center}
    \begin{TVS}
TVS([-10,-2,3,9],[-2,5,-4,3],[],"f","x",\tv) 
\end{TVS}
  \end{center}
\end{itemize}

  Tracez une courbe  représentant la  fonction $f$  compatible avec
      toutes les conditions précédentes.
%Dressez le tableau de signe de $f$.

\exot{}

ABCD est un trapèze rectangle tel que 
$AB=6\qquad CD=2\qquad AD=4$.

M est un point de $[AD]$. On pose $AM=x$. On construit le rectangle AMNP
inscrit dans ABCD comme sur la figure~:


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{trapeze.1}
\end{center}
\end{figure}


\begin{enumerate}
\item Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB). Que vaut HB~? Calculez
      HC. Démontrez que le
      triangle BCH est isocèle rectangle.
Déduisez-en  que  le  triangle   BPN  est  isocèle  rectangle  puis  que
$AM=BP$ On notera $x$ la distance BP.

\item À quel intervalle I appartient $x$~?
\item Démontrez que l'aire du rectangle $AMNP$ vaut $6x-x^2$.

 On \textbf{admettra} que l'aire de $CMB$ est $12-2x$.

\item On donne ci-dessous la courbe d'équation $y=6x-x^2$ pour $x$
      décrivant l'intervalle I~:

  \begin{center}
    \begin{pro-courbefn}{1}
 [6*x-x^2,"bleu",[0,4,"ff"]],  // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
 -1,5,-1,10,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
 1,2,1,1,1,1,      //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [ // ----------------- debut des options
["grille","plein"]
 //["base"] // pour avoir les vecteurs de base
 ]               // ----------------- fin des options
\end{pro-courbefn}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Tracez sur le repère précédent la représentation graphique de la
        fonction $x\mapsto 12-2x$ pour $x$ élément de I.
\item Lisez  sur le graphique  les coordonnées du point  K, intersection
      des deux courbes. Quels renseignements les coordonnées de ce point
      donnent-elles à propos des aires de AMNP et de CMB~?
  \end{enumerate}
\item On  se propose de déterminer par  le calcul la valeur  de $x$ pour
      laquelle les aires de AMNP et de CMB sont égales.
      \begin{enumerate}
      \item Développez $(x-4)^2-4$.
\item Écrivez  l'équation permettant de  calculer $x$ pour que  les deux
      aires soient égales.
\item À l'aide  de la réponse obtenue au a),  résolvez cette équation et
      concluez.
      \end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{}

Voici la représentation graphique de la fonction $x\mapsto x^2-\frac{10}{7}x
-\frac{8}{7}$~:

 \begin{center}
    \begin{pro-courbefn}{2}
 [x^2-10*x/7-8/7,"bleu",[-2,4,"ff"]],  // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
 -2,3,-2,2,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
 0.5,0.75,1,1,0.5,0.5,      //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [ // ----------------- debut des options
["grille","plein"]
 //["base"] // pour avoir les vecteurs de base
 ]               // ----------------- fin des options
\end{pro-courbefn}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item  Déterminez  graphiquement  les  solutions  $x_1$  et  $x_2$  de
        l'équation $f(x)=0$.
\item Calculez  $f(x_1)$ et $f(x_2)$ à  l'aide des résultats  lus sur le
      graphique dans la question précédente. Qu'en pensez-vous~?
\item       Déterminez      un       nombre       $a$      tel       que
      $x^2-\frac{10}{7}x-\frac{8}{7}=(x-2)(x+a)$.
\item  Déterminez  alors les  valeurs  \emph{exactes}  des solutions  de
      l'équation $f(x)=0$.
   \end{enumerate}



\exot{}

Soit  $f$  définie  par  $f~:~x\longmapsto  3x+2$  et  $\mathscr{C}$  sa  courbe
représentative dans un certain repère.

En utilisant des termes parmi \emph{une équation, une fonction, un nombre, 
un ensemble  de nombre,  un ensemble de  points, un film  de gladiateur,
une  prison  turque,  un  lombric,  une inconnue,  un  super-héros,  une
nullité }, complétez les phrases
suivantes~:

\begin{itemize}
\item $f$ est \dotfill
\item $f(x)$ est \dotfill
\item $f(x)=3$ est \dotfill
\item Dans $f(x)=3$, $x$ est \dotfill
\item Un antécédent de 3 par $f$ est \dotfill
\item $\mathscr{C}$ est \dotfill
\item L'image de 5 par $f$ est \dotfill
\item Les solutions de $f(x)>0$ forment \dotfill
\item Ma voisine est \dotfill
\item J'aime regarder \dotfill
\item Mon prof de maths est \dotfill
\end{itemize}


\end{multicols}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
