%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{DScomMai2007.mp}
input newcourbes;
%input couleur;
input geometriesyr16;
%input TEX;
input tableauVariation;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex


 
figure(0,0,6cm,6cm);
pair M,N,P,O;
path cc;

O:=(3cm,3cm);

drawarrow (3cm,0)--(3cm,6cm);drawarrow (0,3cm)--(6cm,3cm);

cc:=cercles(O,2cm);
trace grille(0.5) withcolor .5white;

trace cc withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;

M:=pointarc(cc,135);
N:=pointarc(cc,210);
P:=pointarc(cc,120);

dotlabel.ulft(btex M etex,M );
dotlabel.top(btex P etex,P );
dotlabel.llft(btex N etex,N );
label.lrt(btex O etex,O );
label.bot(btex {\footnotesize $\cos\pa{\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}$} etex,(2cm,3cm) );
label.rt(btex {\footnotesize $\sin\pa{-\frac{5\pi}{6}}=-\frac{1}{2}$} etex,(3cm,2cm) );

draw O--M dashed evenly;
draw P--(2cm,3cm) dashed evenly;
draw N--(3cm,2cm) dashed evenly;
fin;






figure(0,0,6cm,6cm);
pair M,N,P,O;
path cc;

O:=(3cm,3cm);

drawarrow (3cm,0)--(3cm,6cm);drawarrow (0,3cm)--(6cm,3cm);

cc:=cercles(O,2cm);
trace grille(0.5) withcolor .5white;

trace cc withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;


N:=pointarc(cc,240);
P:=pointarc(cc,120);

dotlabel.ulft(btex $\frac{2\pi}{3}$ etex,P );
dotlabel.llft(btex $\frac{4\pi}{3}$ etex,N );
%label.lrt(btex O etex,O );
dotlabel.lrt(btex {\footnotesize $-\frac{1}{2}$} etex,(2cm,3cm) );
%label.rt(btex {\footnotesize $\sin\pa{-\frac{5\pi}{6}}=-\frac{1}{2}$} etex,(3cm,2cm) );

draw N--P dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor red;

fin;





figure(0,0,6cm,6cm);
pair M,N,P,O;
path cc,aa;

O:=(3cm,3cm);

drawarrow (3cm,0)--(3cm,6cm);drawarrow (0,3cm)--(6cm,3cm);

cc:=cercles(O,2cm);
trace grille(0.5) withcolor .5white;

trace cc withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;

M:=pointarc(cc,135);
N:=pointarc(cc,45);




fillcolor:=jaune;
aa:=M--arccercle(M,N,O)--cycle;
transparence aa;
trace arccercle(M,N,O)  withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor orange;

dotlabel.ulft(btex $\frac{3\pi}{4}$ etex,M );
dotlabel.urt(btex $\frac{\pi}{4}$ etex,N );
dotlabel.urt(btex {\footnotesize $\frac{\sqrt{2}}{2}$} etex,(3cm,4.414cm) );
dotlabel.ulft(btex $\pi$ etex, (1cm,3cm) );
dotlabel.llft(btex $-\pi$ etex, (1cm,3cm) );

draw O--M dashed evenly;
draw O--N dashed evenly;
draw M--N withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor orange dashed evenly;
fin;









typerepre:="persp";


figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 Initialisation(5,35,40,400);
 color D,A,B,C,M,N,P,K,R,L,J;
 A=(0,0,1/2);
 B=(1/2,0,0);
 D=(0,1/2,0);
 C=(1/2,1/4,0);
 M=(1/8,1/6,5/24);
 N=1/4[C,A];
 R=1/2[D,C];
 K=IntersectionDroite(N,R,A,D);
 J=IntersectionDroite(K,M,B,A);
 L=IntersectionDroite(K,M,B,D);
 
 path section, face, fond, prolongesection;
 fond=polygone(A,B,D);
 face=polygone(A,C,R,K);
 section=polygone(N,J,L,R);
 prolongesection=polygone(L,R,K);
 fillcolor:=jaune;
 transparence fond;
 fillcolor:=ciel;
 transparence face;
 fillcolor:=rouge;
 transparence section;
 fillcolor:=orange;
 transparence prolongesection;
 
 trace chemin(J,N,R) withcolor red withpen pencircle scaled 1.2bp ;
 trace segment(J,L)  withcolor red withpen pencircle scaled 1.2bp dashed evenly;
 trace segment(R,L)  withcolor red withpen pencircle scaled 1.2bp dashed evenly;
 trace polygone(C,A,B);
 trace segment(A,D);
 trace chemin(A,C,D);% dashed evenly;
 trace segment(B,D)dashed evenly;
 trace demidroite(A,D);
 trace demidroite(N,R);
 trace segment(K,J) dashed evenly;
 nomme.top(A);
 nomme.lft(B);
 nomme.bot(C);
 nomme.rt(D);
 marque_p:="plein";
 nomme.urt(M);
 nomme.lft(N);
 nomme.bot(R);
 nomme.ulft(J);
 nomme.urt(K);
 nomme.top(L);
 finespace;







beginfig( 5)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           4/(t+1)-3                   % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-9,9,-8,4,1cm,1cm);

fillcolor:=1.1*ciel;
path p;
p:=r_p(-11,-1)--r_p(11,-1)--r_p(11,5)--r_p(-11,5)--cycle;

transparence p;


r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(0.2,0.7white);
quadu_xy(0.3white);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);




draw f_courbe(fx,fy,-0.5,10,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-10,-1.5,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw rx_droite(-1) dashed evenly withcolor 0.2white withpen pencircle scaled 1.5bp ;
draw r_droite(-3,-3,0) dashed evenly withcolor 0.2white withpen pencircle scaled 1.5bp ;
draw r_droite(0,-2,1)  withcolor orange withpen pencircle scaled 1.5bp ;
draw r_droite(0,-1,0)  withcolor blue withpen pencircle scaled 1.5bp ;
label.bot(btex $\HR$ etex, r_p(-8,fy(-8)) ) withcolor red;
label.bot(btex $\Delta$ etex, r_p(5,3) ) withcolor orange;
label.bot(btex $I_1$ etex, r_p(1,fy(1)) ) withcolor red;
label.bot(btex $I_2$ etex, r_p(-3,fy(-3)) ) withcolor red;

r_fin;
endfig;


   
beginfig( 6)


repere(0,0,-7,7,-5,4,1cm,1cm);
r_axes;
%r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
quadu_xy(0.2white);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

dotlabel.top(btex A etex, r_p(2,2) );
dotlabel.ulft(btex B etex, r_p(-4,-1) );
dotlabel.bot(btex C etex, r_p(-3,-3) );
dotlabel.urt(btex E etex, r_p(3,0) );
dotlabel.lrt(btex I etex, r_p(-.5,-.5) );
dotlabel.ulft(btex K etex, r_p(-.5,.75) );
label.llft(btex $\Delta$ etex,r_p(4,-2) ) withcolor blue;

draw r_droite(2,2,0.5) withcolor orange withpen pencircle scaled 1.5bp;

draw r_droite(0,6,-2)withcolor blue withpen pencircle scaled 1.5bp;

draw r_seg(-3,-3,-4,-1)withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;
draw r_seg(-3,-3,2,2)withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;
draw r_seg(-3,-3,3,0)withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;

draw rx_droite(-.5) withcolor red withpen pencircle scaled 1.5bp;

draw codesegments(r_p(2,2),r_p(-.5,-.5),r_p(-.5,-.5),r_p(-3,-3),2)withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white ;

draw codeperp(r_p(-3,-3),r_p(-4,-1),r_p(2,2),8)withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor 0.5white;

r_fin;
endfig;




end
\end{filecontents*}



\begin{filecontents*}{TabVar.mp}

input tableauVariation;


verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex


%%  Tableau de signes produit

beginTableau(4)
newLigneVariables(btex $\Mathbold{x}$ etex);
val(btex $-\infty$ etex);val(btex $-1$ etex);val(btex $1$ etex);val(btex $+\infty$ etex);

  newLigneSignes(btex $\hbox{\bf Signe de }\atop{\displaystyle \Mathbold{1-x}}$ etex);
  plus; barre; plus ;valBarre("0"); moins; 
  newLigneSignes(btex $\hbox{\bf Signe de }\atop{\displaystyle \Mathbold{x+1}}$ etex);
  moins; valBarre("0");plus;barre;plus;
  newLigneSignes(btex $\hbox{\bf Signe de }\atop{\displaystyle \Mathbold{\fr{2(1-x)}{x+1}}}$ etex);
  moins;valBarre("0");plus;valBarre("0");moins;
endTableau;





%% Tableau variation hyperbole

beginTableau(5)
  newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $-\infty$ etex);
  val(btex $-1$ etex );
  val(btex $+\infty$ etex);
 newLigneVariations(btex $\hbox{\bf Variations de }\atop{\displaystyle \Mathbold{f}}$ etex);
  valPos(btex $-3$ etex ,.5);
  limGauche(btex $-\infty$ etex,0)
  nonDefBarre;
  limDroite(btex $+\infty$ etex,1)
  valPos(btex $-3$ etex ,.5);
endTableau;

end

\end{filecontents*}




\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/TabVar/}}
\entete{}{}{}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Corrigé DS commun 2\textsuperscript{nde} - 9 mai 2007\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}

\exot{}

\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.5}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
\item Voir graphique. 
\item \begin{arrayl}
       4-(x+1)^2&=&4-(x^2+2x+1)\\
                &=&4-x^2-2x-1\\
                &=&3-x^2-2x
       \end{arrayl}
\item \begin{arrayl}
       (E)&:&\frac{4}{x+1}-3=x-2\\
        (E)&\ssi&\frac{4}{x+1}=x+1\\
        (E)&\ssi&4=(x+1)^2 \ \text{ et }\ x\neq 1\\
        (E)&\ssi&x+1=2 \text{ ou } x+1=-2\\
        (E)&\ssi&x=1 \text{ ou } x=-3 
 \end{arrayl}


$\SR=\bigl\{-3\pv 1\bigr\}$


\item Nous venons de résoudre l'équation $f(x)=h(x)$, c'est-à-dire que nous venons de déterminer les
  abscisses des points communs à $(\HR)$ et $\Delta$. 

Comme ces points appartiennent à $\Delta$,  leurs coordonnées vérifient l'équation $y=x-2$ et donc les
coordonnées des points sont 

\[ I_1(-3,-5)\qquad I_2(1,-1)\]

\end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Voir graphique
  \item Résolvons l'inéquation $(I)~:~f(x)\se-1$
    \begin{center}
      
\begin{arrayl}
       (I)&\ssi&\frac{4}{x+1}-3\se-1\\
        (I)&\ssi&\frac{4}{x+1}-2\se0\\
        (I)&\ssi&\frac{4}{x+1}-\frac{2(x+1)}{x+1}\se0\\
        (I)&\ssi&\frac{4-2x-2}{x+1}\se0\\
        (I)&\ssi&\frac{2(1-x)}{x+1}\se0 
 \end{arrayl}
\end{center}

Nous sommes  donc amenés à  étudier le  signe de $\frac{2(1-x)}{x+1}$.  Étudions le signe  de chaque
facteur :

\begin{DeuxCols}[2]

$x+1\se0$

$x\se-1$

$1-x\se0$

$1\se x$

\end{DeuxCols}

Regroupons les résultats dans un tableau de signes

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.4}
\end{center}



  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Par lecture graphique nous obtenons
\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.5}
\end{center}
  \end{enumerate}

\item  Considérons deux nombres  distincts $a$  et $b$  de l'intervalle  $]-1\pv +\infty[]$,  alors on
  obtient successivement

  \begin{center}
    
\begin{arrayl}
-1<a&<&b\\
0<a+1&<&b+1\\
\frac{1}{a+1}&>&\frac{1}{b+1} \qquad\text{car  la fonction  inverse inverse le  sens de  comparaison des
  nombres positifs}\\
\frac{4}{a+1}&>&\frac{4}{b+1} \\
\frac{4}{a+1}-3&>&\frac{4}{b+1}-3 \\
f(a)&>&f(b)
\end{arrayl}

\end{center}

\smallskip

La fonction $f$  inversant le sens de  comparaison sur $]-1\pv +\infty[$, elle  est décroissante sur
cet intervalle.




\end{enumerate}

\exot{}


\begin{enumerate}
\item  Soit M  un point  de coordonnées  $(x\pv y)$.  Alors M  appartient à  la droite  (AB)  si, et
  seulement si, les vecteurs $\ve{AM}$ et $\ve{AB}$ sont colinéaires, c'est-à-dire

\[ \begin{vmatrix} x-2 & -6 \\
                   y-2 & -3
                   \end{vmatrix}=0\]

Nous obtenons $-3(x-2)-(-6)(y-2)=0$ et finalement (AB) admet pour équation réduite $y=\frac{1}{2}x+1$. 

\item On trace $\Delta$ et la droite (AB) :
\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.6}
\end{center}

\item L'axe des abscisses a pour équation $y=0$. Le point E vérifie donc le système (S) : $\bsys y=-2x+6
  \\ y=0  \esys$. On obtient  alors successivement~:~ $(S)\ssi  \bsys 0=-2x+6\\ y=0  \esys$ $(S)\ssi
  \bsys x=3 \\ y=0\esys $. Le point E donc pour coordonnées $(3\pv 0)$.

\item     Le      repère     étant     orthonormal,     on     peut      utiliser     la     formule
  $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. On obtient alors successivement~:

\bel
\item $AB=\sqrt{(-4-2)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{45}$
\item $AC=\sqrt{(-3-2)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{50}$
\item $BC=\sqrt{(-3+4)^2+(-3+1)^2}=\sqrt{5}$
\el

On vérifie que $AB^2+BC^2=AC^2$, et on en déduit que le triangle ABC est rectangle en B. 

\item   On   calcule   les  coordonnées   des   vecteurs   $\ve{BC}$   et  $\ve{AE}$.   On   obtient
  $\ve{BC}\Co{-3+4}{-3+1}$ et  $\ve{AE}\Co{3-2}{0-2}$. Donc $\ve{BC}=\ve{AE}$.  Le quadrilatère ABCE
  est  donc  un parallélogramme.  Or  un  de  ses angles  étant  droit,  ce parallélogramme  est  un
  rectangle. 

\item Par la méthode du \og petit poisson \fg, on obtient respectivement~:

\bel
\item (BC) : $\begin{vmatrix} x+4 & 1\\ y+1 & -2\end{vmatrix}=0$ c'est-à-dire $y=-2x-9$

\item (CE) : $\begin{vmatrix} x+3 & 6\\ y+3 & 3\end{vmatrix}=0$ c'est-à-dire $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
\el

\item  Le  milieu  I  de  [AC] a  pour  coordonnées  $\left(\frac{2-3}{2}\pv  \frac{2-3}{2}\right)$,
  c'est-à-dire $\left(-\frac{1}{2}\pv-\frac{1}{2}\right)$. 

Le point K  appartenant à une droite parallèle à  l'axe des ordonnées, son abscisse  est la même que
celle de I, donc $x_K=-\frac{1}{2}$. 

Or  K  appartient  aussi  à  la  droite   (AB),  donc  ses  coordonnées  vérifient  son  équation  :
$y_K=\frac{1}{2}x_K+1=\frac{3}{4}$. 

Finalement, K a pour coordonnées $\left(-\frac{1}{2}\pv \frac{3}{4}\right)$.

\end{enumerate}



\pagebreak


\exot{}


\begin{enumerate}
\item Pour P, on remarque que $\frac{26\pi}{3}=3\times2\pi+\frac{2\pi}{3}$

\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.1}
\end{center}


\item    On   sait    que   pour    tout   réel    $x$,   on    a    $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$,   donc
  $\cos^2(x)=1-\pa{\frac{4}{5}}^2=\frac{9}{25}$. 

Nous en déduisons que $\sin(x)=\pm\frac{3}{5}$. Or $x\in\cro{\frac{\pi}{2}\pv \frac{3\pi}{2}}$, donc
$\sin(x)<0$. 

Finalement $\SR=\ac{-\frac{3}{5}}$



\item
  \begin{enumerate}
  \item Observons le cercle trigonométrique :

\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.2}
\end{center}

Nous en déduisons que $\SR=\ac{\frac{2\pi}{3}\pv \frac{4\pi}{3}}$

\item Observons le cercle trigonométrique :

\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.3}
\end{center}

Nous en déduisons que $\SR=\left[-\pi\pv\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{4}\pv \pi\right]$




  \end{enumerate}


\end{enumerate}






\exot{}


Les  points N,R,D  et A  appartiennent à  la face  (ADC) et  les droites  (NR) et  (AD) ne  sont pas
parallèles : elles se coupent donc en un point K appartenant à la droite (AD) donc au plan (BAD). 

Comme K appartient à (NR), il appartient en particulier au plan (MNR).

La droite (KM) passant par deux points de (BAD) coupe (DB) en un point L et (AB) en un point J.

La droite (KM)  passant par deux points  de (MNR), elle est incluse  dans (MNR) : les points  J et L
appartiennent donc aussi au plan (MNR). 

Finalement, la section cherchée est la surface délimitée par le polygone JNRL.



\begin{center}
  \includegraphics{DScomMai2007.4}
\end{center}





\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
