
%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 


\begin{filecontents*}{repere.mp}


beginfig(3);





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                        t*t-3*t-2      % c'est la seule ligne à changer
		      enddef;

		      

vardef gy(expr t)=
                        -2*t*t+t      % c'est la seule ligne à changer
		      enddef;

		      vardef hy(expr t)=
                        0.5*t*t+t+1      % c'est la seule ligne à changer
enddef;
		      
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-5,5.3,-5,5.3,1.75cm,1.5cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(0.25,orange);
quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,-5,5,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,gy,-5,5,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue;
draw f_courbe(fx,hy,-5,5,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.3white;

label.lft(btex $\PR_1$ etex,r_p(-1.5,-3.5) );
label.lft(btex $\PR_2$ etex,r_p(-4,4) );
label.rt(btex $\PR_3$ etex,r_p(4,1) );

r_fin;
endfig;









\end{filecontents*}







% DEBUT DU SOURCE LATEX










\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{filecontents}
\usepackage{preambule}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figures1ES/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}}
\entete{}{}{}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\psshadowbox*[fillcolor=yellow,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries  \begin{center} 1\textsuperscript{ère}ES3  - Devoir  surveillé de  mathématiques \\
    Jeudi 1\er février 2007\quad durée: 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}




\exot{}
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4-2x$ et $g(x)=2x^2-7$.
\begin{enumerate}
	 
			\item Soit $h$ la fonction composée «~$f$ suivie de $g$~». Déterminer l'expression de $h$ (\textit{sous forme développée et réduite}). 
			\item Dresser les tableaux de variations complets de $f$ et de $g$ sur $\mathbb{R}$ (en justifiant succinctement).
			\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur $[2;+\infty[$, puis sur $]-\infty;2]$. (Justifier avec soin: faites attention aux ensembles de définition).
\end{enumerate}

\ \\

\exot{}
On se donne les trois fonctions polynômes du second degré suivantes:\\

\begin{tabular}{c c c c c}
$f(x)=x^2-3x-2$ & & $g(x)=-2x^2+x$ & & $h(x)=\frac{1}{2}x^2+x+1$ \\
\end{tabular}

\begin{enumerate}
	\item Mettre ces trois polynômes sous forme canonique.
	\item Associer à chacune de ces fonctions la parabole qui la représente (voir annexe) (Justifier le plus simplement possible votre réponse).
	\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $f(x)=0$, $g(x)=0$ et $h(x)=0$. (Donner les valeurs exactes des solutions - s'il y en a !)
	\item Déterminer par le calcul les abscisses exactes des points d'intersection des paraboles $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$.
\end{enumerate}

\ \\

\exot{}
Début 2003, Klow, la capitale syldave, comptait  12000 habitants. En Janvier 2004, on s'aperçoit que
Klow  a perdu  un certain  pourcentage (noté  $t$)  de sa  population qui  a fuit  vers la  Bordurie
voisine. Mais l'année suivante, les émigrants se sont  aperçu que la vie étaient pire en Bordurie et
reviennent en fraude avec quelques Bordures et Klow voit ainsi sa population croître de nouveau~:~en Janvier 2005, elle a gagné $(2t)\%$ en population par rapport à Janvier 2004. Elle compte ainsi, en Janvier 2005, 12285 habitants
\begin{enumerate}
	\item Déterminer (en fonction de $t$) le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de population de $t\%$ suivie d'une augmentation de $(2t)\%$.
	\item Expliquer avec soin pourquoi $t$ est solution de l'équation $-2.4t^2+120t-285=0$ (\textit{si vous trouvez une autre équation dont $t$ est solution, vous pouvez bien entendu la donner ici, en justifiant avec soin})
	\item Calculer le pourcentage $t$ sachant que la population de la ville n'est jamais descendue en-dessous des 10000 personnes.
        \item Un syldave mesure 1m88, fume 1 paquet de Zrälùkz par jour~:~calculer le pourcentage de
          mots d'origine bordure dans la phrase «~Czesztot wzryzkar nietz on waghabontz! Czesztot bätczer yhzer kzömmetz noh dascz gendarmaskaïa ~»
\end{enumerate}


\exot{}
Dans une urne, on a placé 12 boules de couleur et portant chacune un numéro. Les boules sont indiscernables au toucher et réparties comme suit :
\begin{itemize}
\item 4 boules blanches portant les numéros 1, 2, 3 et 4.
\item 3 boules rouges portant les numéros 1, 2 et 3.
\item 5 boules vertes portant les numéros 1, 2, 3, 4 et 5.
\end{itemize}
On tire au hasard une boule de l'urne. On notera chaque éventualité par l'initiale de la couleur de la boule suivie du numéro de la boule.
\begin{enumerate}
\item Écrire l'univers sous la forme d'un ensemble ($\Omega=\{\dots;\dots\dots\})$.
\item Calculer la probabilité des événements suivants (on commencera par écrire les événements sous forme d'ensembles) :
  \begin{itemize}
  \item A : \og la boule tirée porte un numéro pair\fg.
  \item B : \og la boule tirée n'est pas blanche\fg.
  \item C : \og la boule tirée porte un numéro strictement plus grand que 2\fg.
  \end{itemize}
\end{enumerate}



\exot{}


\noindent Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes, en détaillant toutes les étapes de la résolution:\\
a) $-2x^2+3x-5>0$ \qquad \qquad b) $(2x+3)^2\leq4$ \qquad \qquad c) $\displaystyle{\frac{-x^2+5x+14}{x-1}<0}$
\ \\



\exot{}

\noindent Une \'epid\'emie  due au virus \'L\v{o}zkt\r{e}kh s\'evit dans la  r\'egion de Zräjdzs, en
Syldavie, qui compte 125\,000 habitants. On estime que 18\,750 personnes sont contamin\'ees par ce virus. 

\noindent  Une strat\'egie  de d\'epistage,  \`a I'aide  d'un test  biologique mis  au point  par le
docteur Klow est mise en place. Les personnes déclarées contaminées seront ensuite envoyée en barque
en Bordurie. On observe les r\'esultats suivants :

$\bullet~$	quand la personne est contamin\'ee par le virus \'L\v{o}zkt\r{e}kh, le test est positif dans 99,6\,\% des cas.

$\bullet~$ quand la personne n'est pas contamin\'ee parce virus, le test est n\'egatif dans 97,6\,\%
des cas. 

\begin{center}
  \figpara{paysageSyldave}{SyldavePolice}
\end{center}

\begin{enumerate}\item Reproduire et compl\'eter le tableau suivant :

\begin{center}\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de personnes& Nombre de personnes&\\
\multicolumn{1}{c|}{}&contamin\'ees & non contamin\'ees& Total\\ \hline
Test positif && & \\ \hline
Test n\'egatif & & & \\\hline
Total & & & 125\,000\\\hline
\end{tabular}\end{center}

Dans les questions suivantes, les probabilit\'es seront donn\'ees \`a $10^{-4}$ pr\`es.

\item On choisit an hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la m\^eme probabilit\'e d'\^etre choisies.

On considere les \'ev\`enements :

 A \og La personne est contamin\'ee par le virus \'L\v{o}zkt\r{e}kh \fg{}
 
  B \og  La personne a un test positif \fg{}.
  
\begin{enumerate}\item	Calculer la probabilit\'e de chacun des \'ev\`enements A et B.

\item \'Ecrire \`a laide d'une phrase l'\'ev\`enement A~$\cap$~B et calculer sa probabilit\'e.

\'Ecrire \`a l'aide des \'ev\`enements A et B l'\'ev\`enement :  \og la personne est contamin\'ee par le virus \'L\v{o}zkt\r{e}kh ou a un test positif. \fg{} et calculer sa probabilit\'e.

\item Calculer la probabilit\'e $p_{1}$ que la personne ait un test positif et ne soit pas contamin\'ee par le virus  \'L\v{o}zkt\r{e}kh.

 Calculer la probabilit\'e $p_{2}$ que la personne ait un test n\'egatif et soit contamin\'ee par le virils  \'L\v{o}zkt\r{e}kh.
 
  Calculer la probabilit\'e $p_{3}$ que le test donne un r\'esultat faux.

\end{enumerate}

\item on choisit maintenant au hasard une personne ayant un test n\'egatif, toutes les personnes ayant la m\^eme probabilit\'e d'\^etre choisies.

Quelle est la probabilit\'e qu'elle soit contamin\'ee par le virus \'L\v{o}zkt\r{e}kh ? 

\item Vous rencontrez un Bordure dans la rue  : quelle est la probabilité que son arrière grand-mère
  ait discuté avec le ministre syldave de la santé~?

\end{enumerate}







\begin{center}
  \includegraphics{repere.3}
\end{center}











\end{document}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
