\documentclass[fourier]{Polymaths}

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\begin{document}

\Large

 \setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}
\vspace{-6cm}

\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\LARGE \ \  T\textsuperscript{ale} STI GE  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°1  }

\textcolor{bleu_f}{Mercredi 11 octobre 2006}

\end{center}


\vspace{4cm}


\Large

\exot{}

Déterminez les dérivées de fonctions suivantes en factorisant au maximum les résultats trouvés :

\begin{nliste}{3}
\item $f(t)=\cos^3\pa{5t+\fr{\pi}{4}}$ 
\item$ g(\o)=\fr{(\o+1)^2}{\o^2+\o+1}$
\item $h(\theta)=-2\theta+3-\fr{1}{\theta}$
\end{nliste}





\exot{}


Déterminez une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la courbe représentative $\CR$ de la fonction $f$ définie par 

\[f~:~t\mapsto \fr{4t^2}{t^2+1}\qquad a=2\]





\exot{}





Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\oij$, on considère la courbe $\CR$ 
représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3;3]$. 
La droite $\Delta$ est tangente à $\CR$ au point $A(-2;0)$ (voir figure ci-dessous). 
 
 
 
\begin{minipage}{8cm} 
\begin{enumerate}[1.] 
\item Par lecture graphique, déterminer: 
 
 \begin{enumerate}[a)] 
 \item $f(1)$, $f(3)$, $f'(-2)$, $f'(1)$; 
 \item le signe de $f'(2)$ puis le signe de $f'(0)$. 
 \end{enumerate} 
 
\item Dresser le tableau de signe: 
 \begin{multicols}{2} 
 \begin{enumerate}[a)] 
 \item de $f$; 
 \item de $f'$. 
 \end{enumerate} 
 \end{multicols} 
 
\item Dresser le tableau de variations de $f$. 
 
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{7cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,5) 
 
{\psset{showpoints=false,linewidth=1pt} 
\psbezier{*-*}(-2,0)(-2.2,0.6)(-2.8,3)(-3,4) 
\psbezier(-2,0)(-1.8,-0.6)(-1.5,-1.5)(-1,-1.5) 
\psbezier(-1,-1.5)(-0.2,-1.5)(0.2,1.5)(1,1.5) 
\psbezier(1,1.5)(1.5,1.5)(1.8,0.6)(2,0) 
\psbezier{-*}(2,0)(2.2,-0.6)(2.8,-3)(3,-4)} 
 
\MaGrille{-3}{-4}{3}{4} 
\MesAxes[.6pt,labels=none]{-3.5}{-4.5}{3.5}{4.5} 
 
 \uput{.2}[225](0,0){$O$} 
 \uput{.2}[45](-2,0){$A$} 
 \uput{.2}[0](2.3,-1.5){$\CR$} 
 
 \psline[arrowsize=3pt 3,linewidth=1.2pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1) 
 \uput{.2cm}[270](0.5,0){$\vec{\imath}$} 
 \uput{.2cm}[180](0,0.5){$\vec{\jmath}$} 
 
 \psline{<->}(0.5,1.5)(1.5,1.5) 
 \psline{<->}(-1.5,-1.5)(-0.5,-1.5) 
 
 \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](0.5,1.5)(0,1.5) 
 \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-0.5,-1.5)(0,-1.5) 
 \uput{0.2}[180](0,1.5){\footnotesize{$1,5$}} 
 \uput{0.2}[0](0,-1.5){\footnotesize{$-1,5$}} 
 
 \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.5pt]{-3}{-.667}{x -3 mul -6 add } 
 
 \psdots(-1,-3) 
 \uput{0.2}[225](-1.333,-2){$\Delta$} 
 
\end{pspicture} 
\end{minipage} 



\break








\exot{}

Soit $f$ la fonction définie sur $I=\cro{\ofr{1}{2}\pv 2}$ par 

\[f(t)=-3t+5-\fr{3}{2t^2}\]

\begin{enumerate}
\item\label{a} Montrez que pour tout élément $t$ de I
\[t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\]
\item Déterminez la dérivée de $f$ et la mettre sous forme d'un quotient.

\item À l'aide de la question \ref{a}, étudiez le signe de $f'$ et dressez le tableau des variations de $f$.

\item Déduisez-en que l'équation $f(t)=0$ admet exactement deux solutions dans I.

\item Déterminez une valeur approchée à $10^{-3}$ près de chacune de ces solutions.

\end{enumerate}


\vspace{2cm}


\begin{center}
{\Large \gray F O R M U L A I R E}
\end{center}

\vspace{1cm}




\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{0}}%{|c|b{5cm}|}
\whline
\textbf{$f(x)=$}& \textbf{$f'(x)= $}\\
 \whline $u+v$&$u'+v'$ \\
 \hline$\lambda u, \ \ \lambda \in\bbr$&$\la u'$ \\
 \hline$uv$&$u'v+uv'$ \\
 \hline$\fr{u}{v}$&\vtabplus$\fr{u'v-uv'}{v^2}$ \\
 %\hline$u\circ v$&$v'\times u'\circ v$  \\
 %\hline$e^u$&$u'e^u$ \\
 \hline$\sin u$&$u'\cos u$ \\
\hline$\cos u$&$-u'\sin u$ \\
%\hline$\tan u$&$u'(1+\tan^2 u)=\ofr{u'}{\cos^2 u}$ \\ 
%\hline$\ln|u|$&\vtabplus$\fr{u'}{u}$ \\
 \hline$u^k$ $k\in\bbq$&$ku^{k-1}u'$ \\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}





\end{document}