\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}


\entetalice{Fonction exponentielle}{T$^{\text{ale}}$ STL2 - 2005/2006}


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

.

\vspace{-2cm}

\begin{center}

\textcolor{bleu_f}{\bfseries\huge\floweroneleft \ \ T$^{\text{ale}}$ STL2  \ \ \'Equations différentielles\ \ \floweroneright}

\end{center}

\bigskip
\bigskip
\bigskip

\section{Petit résumé de cours : résolution de l'équation différentielle $\Mathbold{y'=ay}$}


Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est
une fonction dérivable sur un intervalle de $\bbr$. Elle fait
intervenir la fonction-inconnue notée $y$, ses dérivées
successives notées $y'$, $y''$, $\cdots$ et des fonctions connues.

\sm

Il s'agit donc ici de déterminer $toutes$ les fonctions $f$
dérivables sur $I$ telles que, pour tout $x$ de $I$
$$f'(x)=af(x)$$

\bel
\item Supposons qu'il existe une solution $y$ et posons
$z(x)=e^{-ax}y(x)$. Calculez $z'(x)$. Qu'en déduisez-vous sur
$z$~? sur $y$~?.
\item La démonstration précédente suppose qu'il existe une
solution au problème. Est-on sûr qu'une telle solution existe
(dans le cas contraire, nous serions bien embêtés car notre
démonstration ne vaudrait plus rien)~?

Pouvez-vous trouver une solution particulière au problème~? \el

\bigskip

\ENC{\Thm}{Les fonctions solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ (avec $a$ un réel donné) sont les fonctions $$x\mapsto \la
e^{ax}$$ où $\la$ est une constante arbitraire.}

\bigskip

Vous aurez donc remarqué qu'il existe une infinité de fonctions
vérifiant cette équation différentielle si on ne donne pas d'autre
précision.


\textbf{Exemples}



 \been
 \item Résolvez par exemple l'équation $(E_1) :
3y'+2y=0$ et tracez plusieurs solutions sur l'écran de votre
calculette.

\item  Résolvez cette même équation sachant maintenant que
$y(0)=32$.


\een \sm

 Donnez également une solution (non identiquement nulle...) pour chacune des équations différentielles suivantes :

$$ (E_2)~:~y'=32y\qquad (E_3)~:~y'=-32y\qquad
(E_4)~:~y'=32$$

\sm

\VF
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\bbr$ telle que
$4f'-3f=0$ et $f(0)=1$.

\been
\item La courbe représentative de $f$ passe par le point $A$ de
coordonnées $(1,3/4)$.
\item La courbe représentative de $f$ a, au point d'abscisse 0,
une tangente de coefficient directeur 1.

\item La fonction $f$ est croissante sur $\bbr$.
\een

\section{Exercices de Bac}
\Exot{}
\noindent \textbf{\gray Partie A  Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle $y' = 0,12 y$.

\begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ cette équation différentielle.

\item Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle prenant 
la valeur 3,5 pour la valeur 0 de la variable.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B \'Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ appartenant à $[0~;~ + \infty[$ par 

\[\colorbox{yellow}{$f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}.$}\]

 On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère 
 orthonormal \oij (unité 1 cm sur chaque axe).

\begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f.$

\begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~ + \infty[$

\item \'Etudier le signe de $f'(t)$. 

\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\end{enumerate}

\item Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point de ($\mathcal{C}$)  d'abscisse 0.

\item Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera les résultats à 
$10^{-2}$ près.

\[ \begin{array}{|l | *{11}{c|}}\hline
t& ~0~& ~1~& ~2~&	~3~& ~4~&	~5~& ~6~ &	~7~&	~8~&	~9~& 	~10~\\ \hline
f(t)&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{array}\]

\item Construire la tangente (T) et la courbe ($\mathcal{C}$) sur 
l'intervalle [0 ; 10].

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie C Application}

Dans un milieu biologique donné, on appelle $N$ le nombre de cellules d'une population 
en développement. $N$ varie en fonction du temps $t$ selon la relation
$N = f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}$, où $N$ est exprimé en millions de cellules 
et $t$ en heures.

\begin{enumerate} \item Calculer l'instant $t$ (arrondi au centième) où le milieu donné contiendra
une population de 6 millions de cellules.

\item Retrouver ce résultat graphiquement. On fera apparaître les traits de 
construction sur le dessin.

\end{enumerate}










\Exot{}


\textit{Après la prise d'une boisson alcoolisée par une personne, on procède à l'étude de l'évolution de la quantité d'alcool présente dans son tube digestif} (\textit{exercice} I) \textit{puis dans les liquides du corps} (\textit{exercice} II).\textit{ Ces deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre.}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice I} \hfill 5 points}

À l'instant $t$, on note $u(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif avec
$t$ exprimé en minutes et $u(t)$ en moles d'alcool. On a relevé les résultats 
suivants :

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c |c | c | c | c |}\hline
$t_{i}$ (en min)&	0&	1,5&	4,5&	9&	15&	18\\ \hline
$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&	1,2&	0,94&	0,56&	0,26&	0,10&0,06\\\hline
\end{tabular} \end{center}

\noindent On pose $v_{i} = \ln (u_{i})$.

\begin{enumerate} \item	Recopier et compléter, avec des valeurs arrondies 
à $10^{-2}$ près, le tableau suivant :

\[\begin{array}{| c | c | c |c | c | c | c |}\hline
t_{i}&	~0~&	~1,5~&	~4,5~&	~9~&	~15~&	~18~\\ \hline
v_{i} & & & & & & \\ \hline
\end{array} \]

\item Représenter le nuage de points $M_{i}(t_{i}~;~v_{i})$ dans un repère
orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées).
Que remarque-t-on ?

\item On désigne par G$_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage
et par G$_{2}$ celui des trois derniers.

\begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ et tracer 
la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.

\item Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous 
la forme $v = mt + p$.

\end{enumerate}

\noindent \textit{On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points}
$M_{i}$.

\item À partir de cet ajustement, déterminer la quantité d'alcool encore présente
dans le tube digestif de cette personne à l'instant $t = 20$.

\item On admet désormais que la fonction $u$ est dérivable et vérifie
l'équation différentielle :

\[\colorbox{yellow}{$u'= - 0,17u \qquad \text{avec}\quad u(0) = 1,2.$}\]

\begin{enumerate} \item Résoudre sur l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$ cette équation différentielle.

\item Calculer $u(20)$ et comparer avec le résultat obtenu expérimentalement 
à la question \textbf{4.} précédente.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice II} \hfill 10 points}

\textit{Après absorption, l'alcool se répartit dans les liquides du corps, en particulier dans le sang,
où il est dégradé et évacué.}

\noindent À l'instant $t$, on note $q(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans les liquides
du corps avec $t$ exprimé en minutes et $q(t)$ en moles d'alcool.

\noindent On admet que sur l'intervalle [0 ; 400], l'expression de 
$q(t)$ en fonction de $t$ est :

\[\colorbox{yellow}{$q(t) =  1,2 - 2,9 . 10^{-3}t - 1,2\text{e}^{-0,17t}.$}\]

\begin{enumerate} \item Vérifier que $q(0) = 0$.

\item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $q'$ dérivée de $q$ vérifie

\[\colorbox{yellow}{$q'(t) = 0,204\text{e}^{-0,17t} -2,9.10^{-3}.$}\]

\item Montrer que l'équation $q'(t) = 0$ admet une unique 
solution $t_{0}$ . Calculer une valeur approchée, au centième près, de 
$t_{0}$ et de $q(t_{0})$.

\item Résoudre sur l'intervalle [0 ; 400] l'inéquation $q'(t) 
\geqslant t_{0}$. En déduire les variations de la fonction $q$ sur cet intervalle et dresser
son tableau de variations.

\end{enumerate}

\item Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction
$q$ (unités graphiques 1 cm pour 20 minutes sur l'axe des abscisses et 10 cm pour une unité sur
l'axe des ordonnées).

\item Déterminer graphiquement l'instant $t$, à partir duquel la quantité
d'alcool redevient inférieure à 0,44 mole (cette quantité correspond pour cette personne à
un taux d'alcoolémie de 0,5 g d'alcool par litre).

\end{enumerate}















\Exot{}


L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui
 diminue régulièrement par désintégration.

\begin{enumerate} \item Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout 
échantillon d'iode 131 diminue de $8,3\:\%$ chaque jour.

\noindent On dispose d'un échantillon de masse initiale M$_0$ = 100 g.

\begin{enumerate} \item Calculer, arrondie au dixième, la masse M$_1$ de l'échantillon au bout d'une journée puis sa masse M$_2$ au bout de deux jours.

\item On note $M_n$ la masse de l'échantillon au bout de $n$ jours. Démontrer que la
 suite $\left(M_n\right)$ est une suite géométrique.

\item Calculer la masse M$_{10}$ de l'échantillon au bout de 10 jours, arrondie au
 dixième.
 
\end{enumerate}

\item Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon
 d'iode 131 est une fonction du temps, $M : t \longmapsto M(t)$ qui est solution de 
l'équation différentielle : 

\[\colorbox{yellow}{$M'(t) = \lambda  \cdot M(t)\qquad (\text{E})$}\]

\noindent où $t$ est le temps exprimé en jours et $\lambda$ une constante réelle.

\begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E).

\item Sachant que lorsque $t = 0$, la masse de l'échantillon est de 100 g, 
exprimer $M(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$.

\item Calculer M(1) en fonction de $\lambda$. Pour quelle valeur de $\lambda$
 a-t-on M(l) = 91,7 ? 

On donnera une valeur approchée de $\lambda$ arrondie au dix-millième.

\end{enumerate}
 
\end{enumerate}









\Exot{}

Au cours d'une réaction chimique, on appelle $C(t)$ la concentration
 du réactif (en moles par litre) à l'instant $t$ (en minutes). On
 admet que la fonction $C : t \mapsto C(t)$ définie sur l'intervalle I
 = [0 ; ~$+ \infty[$ est solution de l'équation différentielle (E) : 

\[\colorbox{yellow}{$C'(t) = - a C(t).$}\]

\noindent où $a$ est une constante donnée liée à la réaction. 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E).

\item Déterminer la solution de (E) vérifiant : $C(0)=0,1$ 
mol.L$^{- 1} (C(0)$ est la concentration initiale à l'instant $t = 0$).

\end{enumerate}

\item On donne $a = 9,9 \times 10^{-3}$ min'$^{- 1}$
et on suppose désormais que la fonction $C$ est définie sur  par :

\[\colorbox{yellow}{$C(t) = 0,1 \times \text{e}^{- 9,9 \times 10^{-1}t}.$}\] 

\begin{enumerate} \item Déterminer le temps de demi-réaction noté $t_{1/2}$ , c'est à
 dire la valeur de $t$ pour laquelle la concentration est égale à la moitié 
 de la concentration initiale $C(0)$. On donnera d'abord la valeur exacte
 de $t$ puis celle arrondie à la minute. 

\item La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en
 annexe. L'axe des abscisses est graduée en minutes. Déterminer
 graphiquement la valeur de $t$ pour laquelle la concentration 
est égale à $10\:\%$ de la concentration initiale.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\vfill

.

\break

\begin{center} 
Courbe représentative de la fonction $C$
    
\psset{xunit=0.5mm,yunit=165cm} 
\begin{pspicture}(0,0)(310,0.11)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(310,0)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.11)
\MesAxes[.6pt,Dx=50,Dy=.01]{0}{0}{310}{0.11}
%\MaGrille{0}{0}{300}{.1}
\psplot{0}{310}{ .1 2.72818 0.0099 x mul neg exp mul}

\uput[d](315,0){$t$} \uput[l](0,0.11){$C(t)$}
%\uput[dl](0,0){0} \uput[l](0,0.1){0.1}  
\end{pspicture}
\end{center}





\end{document} 