\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\usepackage[upright]{fourier}

\entete{Les fonctions}{Exercices}{Jean Perrin - 2\textsuperscript{nde}8}%g,d,b

\usepackage{tableau}


\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/20078/}}

\begin{document}



 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
\vspace{-6cm}


\ENC{}{\begin{center}
{\huge \ \  2\textsuperscript{nde} 8  \ \ Exercices sur les fonctions  }
\end{center}
}


\entete{Fonctions }{ Exercices sur les fonctions}{Lycée Jean Perrin - 2\textsuperscript{nde}8 }

\vspace{1cm}


\exot{Les Syldaves et leurs Schritzz\^n\`otschhs à poil vert}


Les Syldaves aiment les animaux et ceux-ci le leur rendent bien. Le Schritzz\^n\`otschh à poil vert est d'ailleurs comme vous le savez l'animal préféré des Syldaves.

Si vous allez en Syldavie, une question que ne manqueront pas de vous poser les indigènes est~:~\og
entre votre Schritzz\^n\`otschh à poil vert et vous, qui est le plus jeune ?\fg.

Pour ne pas vous laisser surprendre, mieux vaut jeter un coup d'\oe il sur le tableau suivant :

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{22}{c|}}\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 &
17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline
$y$ & 0 & 16 & 23 & 28 & 32 & 36 & 40 & 44 & 48 & 52 & 56 & 60 & 64 & 68 & 72 &
76 & 80 & 84 & 88 & 92 & 96 \\ \hline 
\end{tabular}
\caption{L'âge d'un Schritzz\^n\`otschh à poil vert ramené à l'échelle humaine}
\end{center}
\end{table}




$x$ est l'\^age du Schritzz\^n\`otschh à poil vert (en années) et $y$ est l'\^age humain correspondant
(en années).

\begin{enumerate}
 
\item Représenter dans un repère orthogonal $\oij$ les points de coordonnées
$(x;y)$ correspondant aux différentes valeurs du tableau ci-dessus
(échelle: 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 mm pour une année sur
l'axe des ordonnées). Que remarque-t-on ?


\item \begin{enumerate} %
	\item On appelle $D$ la droite à laquelle appartiennent la majorité
	des points du graphique. 
	
	Déterminer une équation de $D$. 
	
	\item  Adolf a 4 ans et demi; à quel \^age humain cela correspond-il ?
	\item  Quel sera l'\^age de Grossertaleruntersturmenfeldenfühlenratschweintöte lorsque son \^age humain
		correspondant sera 89 ans ?
	\item Stalishnaïa a 9 mois; peut-on estimer avec précision, en utilisant la
		droite $D$, l'\^age humain correspondant ? 
	
	\end{enumerate}

\item On propose de compléter la formule précédente pour 
$0\leqslant x\leqslant 2$. 

	\begin{enumerate}
	\item Tracer les trois segments de droites $[OA]$, $[AB]$ et $[BC]$ avec
	$A(1;16)$, $B(2;23)$ et $C(2;28)$.
	
	Si l'on respecte le graphique, quelle est la formule liant $x$ et $y$ pour :
	\begin{multicols}{3}
	\begin{listerd}
	\item $0\leqslant x\leqslant 1$
	\item $1\leqslant x\leqslant 2$
	\item $2\leqslant x\leqslant 3$
	\end{listerd}
	\end{multicols}
	
	Dans ces conditions, quel est l'\^age humain correspondant à l'\^age du Schritzz\^n\`otschh à poil vert
	Stalishnaïa ?
	
	\item On envisage de chercher une formule conduisant à une courbe
	au tracé \og plus régulier\fg  entre les trois premiers points $O$, $A$, $B$.
	
	On propose : $y = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. 
	
	Calculer $a$, $b$ et $c$ sachant que la courbe doit passer par les points $O$,
	$A$ et $B$.
	
	Compléter le tableau suivant à l'aide de la formule obtenue :
	
	\begin{table}[h]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|*{17}{c|}}\hline
	$x$ & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 & 1,2 & 1,4 & 1,6 & 1,8 & 2 
	 & 2,2 & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3 \\ \hline
	\vtab $y$ & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & 
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{table}
	
	Représenter dans un repère orthogonal les points de coordonnées $(x,y)$
	correspondant aux différentes valeurs du tableau ci-dessus (échelle : 5 cm
	pour une année sur l'axe des abscisses, 2 mm pour une année sur l'axe des
	ordonnées). Tracer la courbe qui en résulte.
	
	Placer les points $A$, $B$ et $C$. Cette courbe passe-t-elle par le point $C$.
	
	
	\end{enumerate}

\item Un grand savant syldave propose de décrire la correspondance entre l'\^age d'un
Schritzz\^n\`otschh à poil vert et celui d'un \^etre humain par une formule unique pour :
$0\leqslant x\leqslant 10$ :
$$y = 4( x + 4 ) - 4^{(2-x)}$$ 

	\begin{enumerate}
	\item Calculer $y$ pour chacun des entiers 0, 1, 2. Cette formule vous
	para\^it-elle satisfaisante ?
	
	\item En utilisant une calculatrice, calculer $y$ pour 
	\begin{listerd}
	\item $x$ variant de 0 à 1 au pas de 0,1;
	\item $x$ variant de 1 à 2 au pas de 0,2;
	\item $x$ variant de 2 à 10 au pas de 0,5.
	\end{listerd}
	Représenter sur le m\^eme graphique qu'au \textbf{3.2.} 1es points de
	coordonnées $(x;y)$ pour $0\leqslant x\leqslant 10$
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


















\exot{\'Evolution de la population des Schritzz\^n\`otschhs à poil vert}


L'évolution de la  population des Schritzz\^n\`otschhs à poil vert d'une année à l'année suivante a,
dans certains cas, été modélisée par des écologistes syldaves de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item soit $x$ la population, en milliers d'individus, d'une année donnée;
\item la population $x'$ l'année suivante, toujours en milliers d'individus,
est : $$x'=f(x)=\lambda x(1-x)$$
\end{itemize}

On se propose d'étudier une telle évolution dans le cas particulier où :
$x'=f(x)=1,6 x(1-x)$ et $x\in[0,1]$.

Sur le graphique \vref{pop},
on a représenté $\mathcal{C}$ la courbe représentative
de la fonction $f$ ainsi que la droite $D$ d'équation $y=x$.


\partie[\textbf{Exemples d'évolution de la population d'une
	année à l'année suivante}]{A}

\begin{enumerate}
\item La population, une année donnée, est égale à $0,7$.
	Soit $p$ la population de l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
	\begin{enumerate}[\it i.]
	\item $p$ est un antécédent de $0,7$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p=f(0,7)$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est une solution de l'équation $f(x)=0,7$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est l'image de $0,7$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux 
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer $p$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	
	\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $q$ (non nul) et
	s'éteint l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
	\begin{enumerate}[\it i.]
	\item $q$ est un antécédent de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux 
	\item $q$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $q=f(0)$ \hfill Vrai -- Faux \hspace{5cm}  
	\item $q$ est une solution de l'équation $f(x)=0$ \hfill Vrai -- Faux  
	\item $q$ est l'image de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux  
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer $q$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	\item Pourquoi la population s'est-elle éteinte ?
	
	\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $r$ (non nul) et
	reste la même l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
	\begin{enumerate}[\it i.]
	\item $r$ est un antécédent de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r=f(0)$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est une solution de l'équation $f(x)=0$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est l'image de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\end{enumerate}
	
	
	\item Déterminer $r$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\partie[\textbf{Etude de l'évolution d'une population sur plusieurs années}]{B}

En 1990, la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert compte 0,9 milliers d'individus.

On pose $a=0,9$, $b=f(a)$, $c=f(b)$, $d=f(c)$, $e=f(d)$, $g=f(e)$, $h=f(g)$ et
$i=f(h)$,  

\begin{enumerate}
\item Que représentent les nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $g$, $h$
	et $i$ par rapport à la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert ?

\item \textbf{Etude graphique}
	\begin{enumerate}
	\item En s'aidant de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ et
		de la droite $D$, placer successivement $a$ sur l'axe des abscisses,
		puis $b$ sur l'axe des ordonnées, puis $b$ sur l'axe des abscisses,
		puis $c$ sur l'axe des ordonnées, etc ...
	
	\item Déterminer graphiquement l'évolution à long terme de la
		population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert.
	
	\end{enumerate}

\item \textbf{Etude algébrique}

	\begin{enumerate}
	\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée
		de chacun de ces 7 nombres à 0,01 près.
	\item Grâce à ces valeurs numériques, vérifier et éventuellement
		corriger les constructions graphiques.
	\item Comment évolue à long terme la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert ?
	
	\end{enumerate}

\item \textbf{Comparaison des méthodes}
	
	Quels avantages peut-on trouver à chacune des méthodes
	algébrique et graphique pour l'étude de l'évolution de cette
	population:
	\begin{enumerate}
	\item du point de vue de la précision des résultats ?
	\item du point de vue de la compréhension des phénomènes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{figure}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(12.5,12.5)

\psset{xunit=1.2,yunit=2.4}

\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10](10,5)
\psaxes[linewidth=0.6pt,Ox=0.0,Dx=0.1,dx=1,Oy=0.0,Dy=0.1,dy=1]%
			{->}(0,0)(0,0)(10.4,5.2)

\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,0)(5,5)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=100]{0}{10}%
	{16 x 10 div mul 1 -1 x 10 div mul add mul}	

\rput[B](9,2){$\mathcal{C}$}
\rput[B](4.2,4.6){$D$}

\end{pspicture}
\end{center}
\label{pop}\caption{\'Evolution de la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert}
\end{figure}


















% \exot{Sauvons le budget syldave}



% Le tableau suivant donne les dimensions, en mm,
% des billets en euros:


% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
% \makebox[2cm]{Valeur} & \makebox[2cm]{Largeur} & \makebox[2cm]{Longueur}
% 														\\\hline\hline
%   5 \eurologo & 62 & 120 \\\hline 
%  10 \eurologo & 67 & 127 \\\hline 
%  20 \eurologo & 72 & 133 \\\hline 
%  50 \eurologo & 77 & 140 \\\hline 
% 100 \eurologo & 82 & 147 \\\hline 
% 200 \eurologo & 82 & 153 \\\hline 
% 500 \eurologo & 82 & 160 \\\hline 
% \end{tabular}
% \end{center}



% Le but de l'exercice est d'aider le gouvernement syldave à  déterminer quelle devrait être la longueur d'un
% billet de $1\;000$~\eurologo{} afin d'en fabriquer en série pour redresser la vaillante économie syldave et permettre ainsi aux habitants de pouvoir nourrir leur Schritzz\^n\`otschh à poil vert.

% \begin{enumerate}

% \item Représenter la longueur des billets en euros en fonction de leur valeur
% 	sur le graphique \ref{normale},
% 	en suivant les instructions suivantes:
% 	\begin{itemize}
% 	\item on prendra $100$~mm comme origine de l'axe des ordonnées;
% 	\item on choisira une échelle qui permet de remplir le graphique;
% 	\item on précisera cette échelle;
% 	\item on renseignera les axes.
% 	\end{itemize}

% \item On décide d'utiliser du papier semi-logarithmique qui permet de mieux
% 	comparer les ordres de grandeur.
	
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Représenter de nouveau la longueur des billets en euros en
% 		fonction de leur valeur sur le graphique \ref{semilog}
% 	\item Quelle remarque peut-on faire?
% 	\item Utiliser cette remarque pour déterminer une valeur approchée
% 		de la longueur du billet de $1\;000$~\eurologo.
	
% 	\end{enumerate}

% \item Suite à la remarque faite dans la question précédente, on décide
% 	représenter la taille des billets en euros en fonction du \og logarithme
% 	décimal\fg  de leurs valeurs.
	
% 	Le logarithme décimal se calcule avec la touche
% 	\fbox{\texttt{LOG}} de votre calculatrice et se note \og$\log$\fg.

	
%        \begin{enumerate}
% 	\item Compléter le tableau suivant:
		
	
%     	\begin{center}
% 		\begin{tabular}{|p{2.5cm}||*{7}{c|}}\hhline{-||-------}
% 		Valeur $x$ en \eurologo &
% 		\makebox[1cm]{5} &
% 		\makebox[1cm]{10} &
% 		\makebox[1cm]{20} &
% 		\makebox[1cm]{50} &
% 		\makebox[1cm]{100} &
% 		\makebox[1cm]{200} &
% 		\makebox[1cm]{500} \\\hhline{-||-------}
% 		$t=\log(x)$\vtab &&&&&&& \\\hhline{-||-------}
% 		Taille $y$ en mm & 120 & 127 & 133 & 140 & 147 & 153 & 160
% 													\\\hhline{-||-------}
% 		\end{tabular}
% 		\end{center}
	
% 	\item Placer les points de de coordonnées $M(t;y)$ sur le graphique
% 		\ref{milli}, en suivant les instructions suivantes:
	
% 	\begin{itemize}
% 		\item on prendra $5$cm comme unité sur l'axe des abscisses et $1$mm
% 			sur l'axe des ordonnées;
% 		\item on prendra $100$~mm comme origine de l'axe des ordonnnées et on renseignera les axes.

% 		\end{itemize}
	

% 	\item On remarque les points semblent alignés.
% 		Tracer une droite, notée $D$, qui \og approxime\fg{} le mieux ce nuage de points.
% 				Donner l'équation réduite, $y=mt+p$, de $D$.
	

% 	\end{enumerate}

% \item On en déduit alors l'expression algébrique de la fonction $f$ qui donne
% 	la taille $y$ d'un billet en euros en fonction de sa valeur $x$:
% 	$$y=f(x)=m\log(x)+p$$
% 	où $m$ et $p$ sont les valeurs que vous avez trouvées précédemment.


% 	\begin{enumerate}
% 	\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur le
% 		graphique \ref{normale}.
		
% 		On programmera sa calculatrice, on calculera $f(5)$ et on tabulera la
% 		fonction $f$:

% 		\begin{itemize}
% 		\item au pas de $10$ pour $10\leqslant x \leqslant 100$;
% 		\item au pas de $100$ pour $100\leqslant x \leqslant 500$.

% 		\end{itemize}
	
% 	\item Déterminer algébriquement la taille que devrait avoir
% 		un billet de $1\;000$~\eurologo.
	

% 	\end{enumerate}


% \end{enumerate}



% \begin{figure}
% \begin{center}
% \caption{\tiny \label{normale}}
% \begin{pspicture}(-.5,-.5)(16.5,6.5)

% \MaGrille[5,xunit=.64,yunit=.5]{0}{0}{25}{12}
% \psset{xunit=.032,yunit=.1}
% \MesAxes[.6pt,%
% 	Dx=100,
% 	dx=5,%
% 	Dy=10,%
% 	dy=2,%
% 	Oy=100,%
% 	labels=none,%
% 	ticks=none]{0}{0}{515.625}{65}


% \end{pspicture}

% \end{center}


% \end{figure}

% \thispagestyle{empty}
% \begin{figure}
% \begin{center}
% \includegraphics{/home/moi/Lycee/1ES/Cours/Fonctions/semi-log.1}
% \caption{\label{semilog}}
% \end{center}


% \end{figure}


% \begin{figure}
% \begin{center}
% \PapierMill{15}{6}
% \caption{\label{milli}}
% \end{center}


% \end{figure}







\exot{Science syldave...}

\subsection*{Chimie}

Au temps $t=0$ on met du Atchtzztscct et du Brtzzscfghj (notés )$A$ et $B$) dans un bécher.
Ils réagissent ensemble de sorte que l'on a constamment $C_A(t)+C_B(t)=1$, où $C_A(t)$~et~$C_B(t)$ 
sont les concentrations respectives des produits $A$ et $B$ au temps $t$.
Sur le graphique~\vref{ch} on a représenté la concentration du produit $A$ en fonction du temps (en heures).
\begin{enumerate}
\item Représenter sur le même graphique la concentration $C_B(t)$ du produit $B$. 
\item Résoudre les équations et inéquations suivantes :  
\begin{enumerate}
\item $C_A(t)=C_B(t)$ 
\item $C_A(t)\geqslant C_B(t)$ 

\item $C_B(t)\geqslant 0,6$ 
\end{enumerate} 
 
\end{enumerate} 
 
%\end{minipage} 
\hfill 
.
\psset{xunit=1cm,yunit=.9cm} 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(9.5,10.5) 
\psgrid[subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10,gridlabels=0](0,0)(0,0)(9,10) 
\pscurve(0,8)(1.2,7)(3.5,6)(5,5.8)(7,5)(9,2) 
\rput(8.5,-1){$t$ (en heures)} 
\rput(1.6,10.4){Concentrations} 
\psset{xunit=1cm,yunit=9cm} 
\psaxes[linewidth=.6pt]{->}(0,0)(-0.5,-.05)(9.5,1.05) 

\end{pspicture} 
 \caption{\label{ch}}
 \end{center}
\vspace{0.2cm} 
 






%\begin{minipage}[b]{7.3cm} 
\subsection*{Électricité} 
 
En électricité, si on mesure l'intensité qui traverse une résistance ainsi que la tension à ses bor
nes, on trouve la relation suivante : 
 $$\fbox{$U=RI$}$$ 
où : 

\begin{itemize} 
\item $U$ est tension (en Volts) 
\item $R$ est la résistance (en Ohms) 

\item $I$ est l'intensité (en Ampères) 
\end{itemize} 
On effectue une expérience au cours de laquelle on fixe la tension $U=400 V$ aux bornes d'un dipôle
 et on augmente petit à petit la valeur de la résistance de ce dipôle. 
La mesure $R(t)$ de cette résistance au cours du temps est donnée par le graphique \vref{ri}. 
 

\begin{enumerate} 
 
\item Représenter dans le même graphique l'intensité $I(t)$ en fonction du temps. 

 
\item Résoudre les équations et inéquations suivantes : 

\begin{enumerate} 
\item $I(t)=20$ 
\item $I(t)\leqslant 10$ 

\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%\end{minipage} 


\vspace{1cm}


\begin{figure}
  \begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,11) 
\psgrid[subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10,gridlabels=0](0,0)(0,0)(9,10) 
\rput(0,11){$R$ (en $\Omega)$} 
\rput(9,11){$I$ (en Amp.)} 
\psline(0,1)(9,10) 
\psline{->}(9,0)(9,10.5) 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm} 
\psaxes[linewidth=.6pt,Dy=20]{->}(0,0)(-0.5,-5)(9.5,210) 
\end{pspicture} 
\caption{\label{ri}}

 \end{center}
\end{figure}



\exot{Résolution graphique}

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{enumerate}
\item On a représenté dans un même repère orthonormal sur l'intervalle $[-4;3]$
\begin{itemize}
\item la fonction $f$ définie sur $\Re$ par $f(x)=(x+2)^2$,
\item la fonction $g$ définie sur $\Re$ par $g(x)=5x+10$.
\end{itemize}
\item Utiliser ces représentations graphiques pour résoudre graphiquement :
  \begin{enumerate}
  \item l'équation $(x+2)^2=5x+10$;
  \item l'inéquation $(x+2)^2\leqslant 5x+10$.
  \end{enumerate}
\item Retrouver les résultats précédents par le calcul.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
  \includegraphics{figsecana.1}
\end{center}
\end{minipage}





\exot{Avec XCAS}



\subsection*{le problème}

OAB est un triangle isocèle en O avec $OA = 6$ cm, $OB = 6$ cm.
On place M sur [OA] et on note $x = OM$.
On place N sur [OB] tel que $BN = OM$.
Quand le point M varie sur [OA], le triangle OMN varie. 
On souhaite étudier l'aire du triangle OMN en fonction de $x$.

\subsection*{Étape 1}

On ouvre une fenêtre de géométrie \Alt + \keystroke{g}

\begin{lstlisting}
  O:=point(0,0)
  A:=point(6,0)
  B:=point(0,-6)
  segment(A,B)
  a:=element(0..6)
  M:=point(a,0)
  N:=point(0,-6+a)
  segment(M,N)
  f:=x->aire(triangle(point(0),point(0,-6+x),point(x,0)))
  P:=point(a,f(a))
  coordonnees(P)
\end{lstlisting}


On modifie a avec le curseur et on observe le déplacement de M sur [OA] et le déplacement de P. 

On conjecture alors le maximum de $f$. 

\subsection*{Étape 2}

On fait apparaître la courbe de $f$

\begin{lstlisting}
  plot(f(x),x=0..6,couleur=vert)
\end{lstlisting}


\subsection*{Étape 3}

On fait apparaître la formule de l'aire

\begin{lstlisting}
  f(x)
\end{lstlisting}



\exot{Résolution graphique}




\begin{center}
%-------------- unités
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}

%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
\def\xmin{-1}
\def\xmax{8}
\def\ymin{-3}
\def\ymax{4}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- découpage de la boîte
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}
%-------------- [graduations]
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- grilles
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- repère Oij
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \f sur [a,b]}
\pscurve[linewidth=.03](1,-2)(3,2)(6,0)(7,1)
\uput{.1}[90](4,2){$(\mathcal{C}_f)$}
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}
\parabola(1,4)(4,-2)
\uput{.1}[90](1.5,3){$(\mathcal{C}_g)$}
%------------- fin du découpage
\endpsclip
\end{pspicture}
\end{center}


On a représenté ci-dessus les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur  $[-1~;~7]$. \\
Résoudre graphiquement les équations ou inéquations suivantes en donnant si besoin des valeurs arrondies au dixième :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=1$
\item $f(x)=g(x)$
\item $f(x)>g(x)$
\item $g(x)\leq 0$
\end{enumerate}


\exot{tableau de variation}




On donne le tableau de variations suivant :\\

\begin{center}
\begin{variations}
x        & -6    &     &   -1  &     &  2    &     & 7\\
%\filet
%f'(x)    &       &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{f(x)} & \h{0} & \d  &  -6   &  \c & \h{5} &  \d & 1 \\
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition ${\cal D}_f$ de la fonction $f$.
\item Comparer $f(3)$ et $f(4)$.
\item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;7]$.
\item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;-1]$.
\item Combien $4$ a-t-il d'antécédents ? Justifier
\end{enumerate}


\exot{Tableau de variation bis}


\parbox[l]{0.5\textwidth}
{\begin{center}
%-------------- unités
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
\begin{pspicture}(-2,-10)(4,4)
%-------------- [graduations](xmin,ymin)(xmax,ymax)
\psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-10)(4,4)
%-------------- grilles
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=5](0,0)(-2,-10)(4,4)
%------------- nom de la courbe
\uput[r](1.5,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
%------------- {xmin}{xmax}{expression de la fonction}
\psplot{-2}{4}{x 4 exp -0.5 mul  x 3 exp 2 mul add x 2 exp add x -6 mul add -2 add}
\end{pspicture} 
\end{center}} \hfill \parbox[l]{0.5\textwidth}
{
\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variations de la fonction $g$ dont on a donné ci-contre la courbe représentative.
\item Combien l'équation $g(x)=0$ a-t-elle de solutions ? Justifier. On ne demande pas les valeurs des solutions.
\item Résoudre l'équation $g(x)=-2$.
\item On donne :
$$ g(x)= -\dfrac{1}{2}x^4+2x^3+x^2-6x-2.$$
Calculer l'image de $3$.

\end{enumerate}
}



\exot{Une ou plusieurs ?}


On appelle $({\cal C}_f)$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-5~;~8]$.\\
On sait que la courbe passe par les points $A(-5~;~1)$, $B(-1~;~3)$, $C(3~;~4)$, $D(6~;~3)$ et $E(8~;~-1)$.
\begin{enumerate}
\item Placer ces points dans un repère du plan.
\item Tracer une courbe pouvant représenter $f$ sachant que :
  \begin{itemize}
  \item $f$ est strictement croissante sur $[-5~;~3]$ ;
  \item $f$ est strictement décroissante sur $[3~;~8]$.
  \end{itemize}
\item Quel est l'image de $3$ ?
\item $3$ a-t-il des antécédents ? Si oui, préciser lesquels.
\item Peut-on tracer une autre courbe respectant les conditions données ?
\end{enumerate}



\exot{Signe et variation}



Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ :\\

\begin{center}
\begin{variations}
x        & -10     &     &  -6   &     &  -1    &     & 4\\
%\filet
%f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{f(x)} & \h{5} & \d  &  -1  &  \c & \h{3} &  \d & -5 \\
\end{variations}
\end{center}



Voici son tableau de signes :\\

\begin{center}
\begin{variations}
x      & -10 &     &  -7 &       & -3 &       &  1 &     &4\\
\filet\filet
f(x)   &     & +~~ &  \z & ~~-~~ & \z & ~~+~~ & \z & ~~- & \\
\end{variations}
\end{center}

Tracer une représentation graphique de cette fonction.




\exot{Prudence}


Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=2x^2-x+1.$$

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide de la calculatrice,  les images des nombres suivants :  $0$ ; $0,5$ ; $1$ ; $1,5$ et $2$.
\item Quelle conjecture peut-on alors faire sur la  fonction $f$  sur l'intervalle $[0;2]$ ?
\item Calculer $f(0,4)$.
\item Que peut-on dire de la conjecture précédente ?
\end{enumerate}



\exot{Tableau de variation encore}

\begin{center}
\begin{variations}
x        & -5     &     &  -2   &     &  0    &     & 3\\
%\filet
%f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
\filet
\m{f(x)} & \h{4} & \d  &  1  &  \c & \h{3} &  \d & -1 \\
\end{variations}
\end{center}

A l'aide du tableau de variations, indiquer si les égalités ou inégalités proposées sont vraies, fausses ou si le tableau des variations ne permet pas de conclure.\\

\begin{center}
\begin{tabular}[l]{|l|l|}
\hline
$f(-1)=0$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-4) > f(-2)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(1) > f(2) \qquad$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-1)= 2$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-3) > 1$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
$f(-1) < f(-5)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}







\exot{Parité}


Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f(x)=8x^3-4x+5$\\

\item[$\bullet$] $g(x)=\dfrac{2x}{|x|}$\\

\item[$\bullet$] $h(x)=x\sqrt{4-x^2}$
 \end{itemize}


\exot{Parité : le retour}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Soit $f$ la fonction impaire définie sur $[-2~;~2]$.\\
Son tableau de variations sur $[0~;~2]$ est donné ci-dessus.\\

Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-2~;~2]$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{variations}
x        & 0     &     &   1   &     & 2\\
%\filet
%f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &    \\
\filet
\m{f(x)} & \h{0} & \d  &  -1   &  \c & \h{4} \\
\end{variations}

\end{center}
\end{minipage}




\exot{Fonction affine}



Soit $f$ la fonction affine tel que $f(1)=2$ et $f(-1)=4$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $f$.
\item Représenter la courbe $({\cal C}_f)$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
\end{enumerate}


\exot{Ensemble de définition}


Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression suivante a un sens, puis réduire l'expression au même dénominateur :\\

$f(x)=\dfrac{2}{x+4}-\dfrac{5}{x-1}+2$


\exot{Fonctions affines}


Dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on définit la droite $(d)$ par son équation réduite $y=-\dfrac{4}{3}x+2$.\\

\begin{enumerate}
\item Donner trois points de coordonnées entières de la droite $(d)$.
\item Tracer la droite $(d)$.
\item Mettre en évidence sur le graphique \textbf{le coefficient directeur} et \textbf{l'ordonnée à l'origine}.
\item Déterminer l'équation réduite de la droite $(d')$ parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $S(-3~;~-1)$.
\end{enumerate}









\exot{Lecture graphique}

\begin{minipage}{0.4\textwidth}

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement, en justifiant aussi précisément que possible, en donnant si besoin les valeurs approchées au dixième :
   \begin{enumerate}
   \item l'équation $f(x)=0$ ;
   \item l'équation $f(x)=2$ ;
   \item l'équation $f(x)=g(x)$ ;
   \item l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
   \end{enumerate}
\item Donner le tableau de variation  de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~2]$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
%-------------- unités
\psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}

%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
\def\xmin{-4}
\def\xmax{6}
\def\ymin{-5}
\def\ymax{6}
%-------------- définition de la fonction \f et \g
\def\f{x 2 exp 2 x mul sub 1 sub}%{x^2-2x-1}
\def\g{ 0 2 x 2 exp mul sub 4 x mul add 1 sub}%{-2x^2+4x-1}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- découpage de la boîte
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}
%-------------- [graduations]
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- grilles
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- repère Oij
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \f sur [a,b]}
\psplot[plotpoints=200]
{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput[r](3,2){$(\mathcal{C}_f)$}
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}
\psplot[plotpoints=200]
{\xmin}{\xmax}{\g}
\uput[u](3,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
%------------- fin du découpage
\endpsclip
\end{pspicture}
\end{center}

\end{minipage}




\end{document}
