\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}
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\entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{IUT de Nantes - SGM1}
\renewcommand\thesubsection{}
\renewcommand{\e}{{\rm e}}
%\setcounter{page}{66}

\begin{document}

%\tableofcontents

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECON{VIII}{Huiti�me}{INT\'EGRALES TRIPLES }{  }{Int�grales triples}{}

\SECTION{D�finition}{D�finition}

Ici, les choses se compliquent car nous ne pouvons repr�senter graphiquement des fonctions de 3 variables : il faudrait pouvoir travailler en dimension 4...

Retenons malgr� tout quelques id�es intuitives.
DS
Une int�grale simple se d�finit sur un segment (de dimension 1), une int�grale double sur un domaine plan (de dimension 2), alors on devine qu'une int�grale triple sera d�finie sur un domaine d'un espace de dimension 3.

Cette fois donc, nous allons diviser le domaine $\VR$ en petits pav�s droits de dimension $\Delta x_i$, $\Delta y_j$ et $\Delta z_k$ et consid�rer un point de ce pav� de coordonn�es $(\al_i,\beta_j,\gamma_k)$.

Pour des $\Delta x_i$, $\Delta y_j$ et $Delta z_k$ suffisamment petits et des fonctions $f$ suffisamment r�guli�res, la somme \[\Sum_{i=1}^{n}\Sum_{j=1}^p\Sum_{k=1}^rf(\al_i,\beta_j,\gamma_k)\times\Delta x_i\times \Delta y_j\times\Delta z_k\] converge vers un r�el qu'on appelle int�grale triple de $f$ sur le domaine $\VR$ et qu'on note 

\[\ds\inttt_{\VR}f(x,y,z)\d x\d y\d z\]


\SECTION{Calcul pratique}{Calcul pratique}

On utilisera les m�mes techniques que pour l'int�grale double ... et quelques nouvelles

\SUBSECTION{Sur un  parall l pip de }

Si $\VR=[a\pv b]\times [c\pv d]\times [e\pv h]$, alors $$\ds\inttt_{\VR}f(x,y,z)\d x\d y\d z=\int_a^b\pa{\int_c^d\pa{\int_e^h f(x,y,z) \d z}\d y}\d x$$

\Exot{}
Calculez $I=\ds\inttt_{\VR}\fr{zx^2}{1+x^2}\d x\d y\d z$ avec $\VR=[-1\pv 1]\times[0\pv 3]\times [1\pv 5]$.
 


\Exot{}

Calculez $J=\ds\inttt_{\VR}xyz\d x\d y\d z$ avec 
\been

\item $\VR$ l'int�rieur du t�tra�dre limit� par les plans d'�quations $x=0$, $y=0$, $z=0$, $x+y+z=1$.
\item $\VR=\ac{(x,y,z)\in\bbr^3\,|\, 0\ie x\ie 1,\, 0\ie y\ie 1-x,\, 0\ie z\ie 1-x-y}$

\een

\SUBSECTION{Sur un volume � <<~bords~>> parall�les � $(xOy)$}


Si le domaine $\VR$ est compris entre les cotes $a$ et $b$ et si les sections <<~horizontales~>> de $\VR$ ont une surface $S(z)$ calculable en fonction de la cote $z$, alors \[\ds\inttt_{\VR}f(x,y,z)\d x\d y\d z=\int_a^bS(z)\d z\]

\Exot{}

Calculez le volume de la portion du solide d'�quation $z=x^2+y^2$ situ�e entre le cotes $z=1$ et $z=3$.

\Exot{}

On consid�re la boule de centre O et de rayon 1.
\been
\item  On coupe la boule par un plan d'�quation $z=a$ avec $0\ie a\ie 1$. Calculez le rayon du disque d'intersection en fonction de $a$.
\item Calculez alors le volume de la portion de boule situ�e entre les plans d'�quations $z=0$ et $z=\ofr{1}{2}$.
\een 

\SUBSECTION{Passage en coordonn�es cylindriques}

Le passage en coordonn�es cylindriques est d�fini par $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \\ z=z\end{cases}$ avec $\theta\in[0,2\pi]$ et $r>0$.

On admettra que la formule suivante 

\ENC{\Thm Int�grales triples en coordonn�es cylindriques}{
\[ \inttt_{\VR}f(x,y,z)\d x\d y\d z=\inttt_{V}g(r,\theta,z)r\d r\d \theta \d z\]}


\Exot{}

Calculez $I=\ds\inttt_{\VR}z^2\d x\d y\d z$ avec 
\been
\item $\VR=\ac{(x,y,z)\in\bbr^3\,|\, x^2+y^2\ie 9,\,  0\ie z\ie 4}$
\item $\VR=\ac{(x,y,z)\in\bbr^3\,|\, x^2+y^2\ie z\ie 4}$
\een

\SUBSECTION{Passage en coordonn�es sph�riques}

Le passage en coordonn�es cylindriques est d�fini par $\begin{cases} x=r\cos\f\cos\theta\\ y=r\cos\f\sin\theta \\ z=r\sin\f\end{cases}$ avec $\theta\in[0,2\pi]$, $\f\in\cro{-\ofr{\pi}{2},\ofr{\pi}{2}}$ et $r>0$.

On admettra que la formule suivante 

\ENC{\Thm Int�grales triples en coordonn�es sph�riques}{
\[ \inttt_{\VR}f(x,y,z)\d x\d y\d z=\inttt_{V}h(r,\theta,\f)r^2\cos\f\d r\d \theta \d z\]}


\Exot{}

Calculez le volume d'une sph�re de centre O et de rayon R.

\Exot{}

Calculez $I=\ds\inttt_{\VR}\fr{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\d x\d y\d z$ avec $\VR=\ac{ (x,y,z)\in\bbr^3\,|\, r^2\ie x^2+y^2+z^2\ie R^2}$

\Exot{}

Calculez $I=\ds\inttt_{\VR}\sqrt{1-(x^2+y^2+z^2)}\d x\d y\d z$ avec $\VR=\ac{ (x,y,z)\in\bbr^3\,|\, r^2\ie x^2+y^2+z^2\ie R^2}$










\SECTION{Calcul du moment d'inertie d'un solide}{Calcul du moment d'inertie d'un solide}


\ENC{\Def\ \ Moment d'inertie par rapport � $\Mathbold{(xOy)}$}{
Si $f(x,y,z)$ est la masse volumique du point de coordonn�es $(x,y,z)$ du solide d�fini par le domaine $\VR$, alors 
\[  \inttt_{\VR} z^2f(x,y,z)\d x\d y\d z  \]  
est le moment d'inertie par rapport au plan $(xOy)$} 

On obtient des d�finitions analogues pour les autres plans de coordonn�es.

Pour obtenir le moment d'inertie par rapport � l'axe $(Oy)$, on fait la somme des moments par rapport � $(xOy)$ et $zOy)$.

Pour obtenir le moment d'inertie par rapport � O, on fait la somme des moments par rapport � aux trois axes de coordonn�es.

\begin{description}
\item[Exemple] Quel est le moment d'inertie d'une boule de centre O et de rayon R par rapport � $(xOy)$~?

$I=\ds\intt_{\VR} z^2\d x\d y\d z $

On peut passer en coordonn�es cylindriques ou rester en cart�siennes. On mod�lise la boule en la <<~d�coupant~>> selon des plans parall�les � $(xOy)$ de cote $z$. On obtient des disques de  rayon $r$ avec $r^2=R^2-z^2$ et donc de surface $S(z)=\pi(R^2-z^2)$.

Alors $I=\ds\int_{-R}^Rz^2S(z)\d z=\fr{4\pi R^5}{15}$

\end{description}


\Exot{}

D�montrer que le moment d'inertie par rapport � l'axe de r�volution d'un cylindre creux de rayon int�rieur $r$ et ext�rieur R est �gal � 
 $\fr{\pi h}{2}(R^4-r^4)$.


\Exot{}

D�montrer que le moment d'inertie par rapport au plan de la base  d'un cylindre  de rayon R et de hauteur $h$ est �gal � 
 $\fr{\pi R^2 h^3}{3}$.

\Exot{}

D�terminer les moments d'inertie d'un cube par rapport � une face, une ar�te, un sommet, au centre d'inertie. V�rifier que $I_G=\fr{1}{4}I_O$, $I_{Ox}=\fr{2}{3}I_O$, $I_{xOy}=\fr{1}{3}I_O$.
\end{document}