\documentclass[12pt,fourier,a4paper]{polymaths}

\entete{BAC OBLIGATOIRE ET SPÉ}{15 juin 2006}{ T$^{\text{ale}}$ S }


\begin{document}

\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \LARGE \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalaur\'eat obligatoire  et spé Juin 2006 \decofourright\\ CORRIGÉ }}
\end{center}



\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item VRAI : on vérifie que les coordonnées des 3 points conviennent (on vérifie aussi que (ABC) est un plan en calculant les coordonnées de $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$ : non colinéaires)
\item FAUX : $\ve{DE}(2\pv 2\pv 1)$ n'est pas colinéaire à un vecteur normal à (ABC) $\ve{n}(2\pv 2\pv -1)$
\item VRAI : $\ve{AB}(-2\pv 0\pv -4)$, $\ve{CD}(-2\pv-1\pv1)$ et $\ps{AB}{CD}=0$
\item FAUX : D n'appartient pas à la droite dont la représentation paramétrique est donnée : $1=-1+2t\ssi t=1$, mais alors $z=1-1=0\neq z_D$
\item VRAI : $\ve{AI}\pa{-\fr{7}{5}\pv 0,\pv-\fr{14}{5}}$ donc $\ve{AI}=\fr{7}{10}\ve{AB}$. 
\end{enumerate}


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\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item $\Lim{-\infty}x^2=+\infty$, $\Lim{-\infty}\E^{1-x}=+\infty$, donc par produit 
\[\Lim{-\infty}f(x)=+\infty)\]

$f(x)=\E\times x^2\E^{-x}$, or $\Lim{+\infty}x^2\E{-x}=0$, donc 
\[\Lim{+\infty}f(x)=0\]

On en déduit que $\CR$ admet l'axe des abscisses comme asymptote au voisinage de $+\infty$
\item f est dérivable sur $\bbr$ comme composée et produit de fonctions dérivables sur $\bbr$.

\[f'(x)=(2-x)x\E^{1-x}\]

\item Donc $f'(x)$ est du signe de $x(2-x)$. On en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & &0& &2& &$+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & &$-$&0&$+$&0&$-$& \\
\hline
 &$+\infty$ & & & & 4/e& & \\
$f(x)$ &   &\dec& &\croi& &\dec & \\
 & & &0& & & &0\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\includegraphics{Juin2006ob.1}

\end{center}




      \end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item  Classique : on effectue une IPP de $I_{n+1}$ 
 \intpp{x^{n+1}}{\E^{1-x}}{(n+1)x^n}{-\E^{1-x}}
et on obtient
\[ I_{n+1}=-1+(n+1)I_n\]
\item On intègre $I_1$ par parties
 \intpp{x}{\E^{1-x}}{1}{-\E^{1-x}}
et on obtient
\[ I_{1}=-1+\int_{0}^{1}\E^{1-x}=-1-1+\E=\E-2\]
puis, \[I_2=-1+2I_1=2\E-5\]
\item $I_2=\ds\int_{0}{1}f(x)\d x$ : c'est donc l'aire du domaine compris entre les droites d'équations $y=0$, $x=0$, $x=1$ et la courbe d'équation $y=f(x)$
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item \begin{arrayl} (I)&:&0\ie x\ie 1\\
                                          &\ssi& 0\ie 1-x\ie 1\\
                                          &\ssi& 1\ie \E^{1-x}\ie \E\\
                                            &\ssi& x^n\ie x^n\E^{1-x}\ie \E x^n
         \end{arrayl}
 
    \item On intègre alors membre à membre la double inégalité précédente et on obtient

\[ \cro{\fr{x^{n+1}}{n+1}}_0^1\ie I_n\ie \E\cro{\fr{x^{n+1}}{n+1}}_0^1\]

c'est à dire

\[ \fr{1}{n+1}\ie I_n\ie \fr{\E}{n+1}\]

Le théorème des gendarmes permet alors de conclure que 

\[\lin{I_n}=0\]

\end{enumerate}\end{enumerate}







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\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 NON SPÉ} \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item Voir cours...
\item \begin{enumerate}
\item $\Arg(z')=-\Arg{\bar{z}}=-\pa{-\Arg{z}}=\Arg{z}$ le reste est immédiat.
\item $f(M)=M\ssi z=1/\bar{z}\ssi z\bar{z}=1\ssi |z|^2=1$, donc l'ensemble des points invariants est le cercle unité.
\item $\fr{z'-1}{z'-\I}=\fr{\fr{1}{\bar{z}}-1}{\fr{1}{\bar{z}}-\I}=\fr{1-\bar{z}}{1-\I\bar{z}}=\fr{1}{\I}\pa{\fr{\bar{z}-1}{\bar{z}+\I}}=-\I\pa{\fr{\bar{z}-1}{\bar{z}+\I}}=-\I\pa{\fr{\bar{z-1}}{\bar{z-\I}}}=$ ce qu'il faut...

Alors $\Arg\pa{\fr{z'-1}{z'-\I}}=\Arg({-\I})+\Arg\bar{\pa{\fr{{z-1}}{{z-\I}}}}=-\fr{\pi}{2}-\Arg\pa{\fr{{z-1}}{{z-\I}}}+2k\pi,\ k\in\bbz$

\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
\item  M est sur la droite (UV) privée de U et V si, et seulement si, il existe un réel $\la$ non nul tel que $\ve{UM}=\la\ve{VM}$, c'est à dire  $(z-z_U)=\la(z-z_V)$ d'où le résultat.
\item D'après la question 2-c, et avec les notations usuelles,  l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie 
\[\Arg\pa{\fr{z'-1}{z'-\I}}=-\fr{\pi}{2}-\Arg\pa{\fr{{z-1}}{{z-\I}}}+2k\pi=-\fr{\pi}{2}-0+k\pi,\ k\in\bbz \]
Ainsi $\ao{VM'}{UM'} =-\fr{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\bbz$, i.e. $(VM')\bot(UM')$. 

$M'$ décrit donc le cercle de diamètre $[U,V]$ privé de U et V.

\end{enumerate}


\end{enumerate}



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\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 SPÉ} \hfill 5 points}


\textbf{Partie A} : cours....

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Ben 19 étant un nombre premier, 19 et 12 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout...

Comme $19u+12v=1$, on a $12v\equiv 1(19)$ donc $13\times 12v\equiv 13(19)$. Or $6\times19u\equiv0(19)$, donc finalement \[N=13\times 12v+6\times 19u\equiv 13(19) \]

La démonstration est similaire pour l'autre congruence de (S).

\item \begin{enumerate}
\item Comme $n\equiv13(19)$ et $n_0\equiv 13(19)$, alors, par transitivité $n\equiv n_0(19)$. 

Ou, si l'on préfère \begin{arrayl}
(E)&:&\begin{cases}
       n\equiv 13(19)\qquad (L_1)\\
       n_0\equiv13(19)\qquad (L_2)
      \end{cases}\\
(E)&\ssi& \begin{cases}
       n\equiv 13(19)\\
       n-n_0\equiv0(19)\qquad (L_2)\leftarrow(L_1)-(L_2)
      \end{cases}\\
(E)&\ssi& \begin{cases}
       n\equiv 13(19)\\
       n\equiv n_0(19)
      \end{cases}

                    \end{arrayl}

La démonstration est similaire pour l'autre congruence.
\item \bel

\item Si $n\equiv n_0(12\times 19)$, alors $n-n_0\equiv 0(12\times 19)$ , donc il existe un entier $k$ tel que  $n-n_0=12\times19\times k$. On en déduit que 12 et 19 divisent $n-n_0$ et donc que  \[n\equiv n_0(12\times 19)\Longrightarrow\begin{cases}
       n\equiv n_0(19)\\
       n\equiv n_0(12)
      \end{cases}\]

\item Si $\begin{cases}
       n\equiv n_0(19)\\
       n\equiv n_0(12)
      \end{cases}$, alors $\begin{cases}
       n-n_0\equiv 0(19)\\
       n-n_0\equiv 0(12)
      \end{cases}$ 19 et 12 divisent $n-n_0$. Comme 19 et 12 sont premiers entre eux, on utilise alors un corrolaire du théorème de Gauss pour conclure. Rappelons sa démonstration. 
Il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $n-n_0=19p$ et $n-n_0=12q$. 

On en déduit que $19p=12q$. Or 12 divise $12q$, donc $19p$. Mais 12 est premier avec 19, donc, d'après le théorème de Gauss, 12 divise $p$. Il existe donc un entier $p'$ tel que $p=12p'$, d'où $n-n_0=19\times(12p')$. La conclusion en découle.
\el

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item On peut utiliser l'algorithme d'Euclide étendu. On peut aussi observer les multiples successifs de 19. De toute façon on obtient $-5\times 19+8\times 12=1$. La valeur de $N$ correspondante est 678.

\item En reprenant les questions et notations précédentes, on obtient $n_0=678$, et donc que toutes les solutions vérifient $n\equiv 678(12\times 19)$ et donc que l'ensemble des solutions de (S) est $\ac{678+228k,\, k\in\bbz}$. Or $678=228\times 2+222$, donc finalement
l'ensemble des solutions est

\[\big\{  222+228p,\, p\in\bbz  \big\} \]


\end{enumerate}

\item Le nombre $n$ est donc solution de (S). Il s'écrit donc sous la forme $n=222+228p$. Or $0\ie 222<228$, donc 222 est bien le reste de la division de $n$ par 228.
\end{enumerate}









\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4} \hfill 5 points}


\begin{enumerate}
\item On fait un arbre et on obtient \begin{enumerate}
\item $\bbp(\bar{C}_2)=0,8^2$
\item $\bbp(C_2)=1-0,8^2$
\item $p_n=\bbp(C_n)=1-0,8^{n}$
\item $p_n>0,99\ssi 0,8^{n}<0,01\ssi n\ln(0,8)<ln(0,01)\ssi n>20,63 $
Il faut donc attendre 21 tirs.
\end{enumerate}

\item \begin{arrayl}\bbp&=&\fr{1}{4}p_1+\fr{1}{4}p_2+\fr{1}{4}p_3+\fr{1}{4}p_4\\
                                            &=& \fr{1}{4}\pa{4-\pa{0,8+0,8^2+0,8^3+0,8^4}}\\
                                            &=& 1-\fr{1}{4}\pa{0,8\fr{1-0,8^4}{1-0,8}}\\
                                            &=& 1-(1-0,8^4)\\
                                            &=& 0,8^4=0,4096

      \end{arrayl}

\item On obtient $d^2=\fr{3}{800}=0,00375$, donc $d^2<D_9$. On ne peut ni répondre à cette mauvaise question, ni  rejeter l'hypothèse d'un dé équilibré avec un risque inférieur à 10\% de l'avoir fait à tort.
\end{enumerate}

\end{document}