\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{picins}
\usepackage{fancyvrb,amsmath}
\usepackage[encapsulated]{CJK}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\eme}{\textsuperscript{e}}

\usepackage[greek,frenchb]{babel}
\usepackage{athnum}
\usepackage{fancyhdr,bclogo}
\usepackage{listings}

\usepackage[french]{varioref}

\usepackage[super,idem=strict,ibidem=name]{jurabib}
\usepackage{url}
\bibliographystyle{jurabib}


\usepackage{manfnt,marvosym,bbding,ifsym}

\newcommand{\entetano}[3]{
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{  #3 }}}
 \fancyhead[RO,LE]{} \fancyhead[RE,LO]{ }
 \fancyhead[CO]{  #1 } \fancyhead[CE]{\textbf{#2 } }
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
 \pagestyle{fancy}
}

\usepackage{xcolor}
\definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
\definecolor{0.8white}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\usepackage{sectsty}


\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
\subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }
\subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}}
\renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsection}. }

\newcommand{\xcas}{\lstset{numbers=none,language=mupad,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,
    backgroundcolor=\color{0.8white},breaklines=true}
}


\newcommand{\NoLecon}{}
\newcommand{\NomSection}{}
\newcommand{\NomChap}{}
\newcommand{\NomLecon}{}
\newcommand{\NumLecon}{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%NUL
%%%   LECOND{numero}{ecrire  trucieme}{titre}{suite   du  titre   en  dessous}{titre   en   un  seul
%%% morceau}{image sur le côté}


\newcommand{\LECOND}[6]{
%\setcounter{pb}{0}\setcounter{sec}{0}\setcounter{num}{0}\setcounter{solnum}{0}
%\setcounter{Def}{0}\setcounter{Prop}{0}\setcounter{Th}{0}
\renewcommand{\NomLecon}{#5}
\renewcommand{\NumLecon}{#1}\renewcommand{\NoLecon}{#2}
%\thispagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0cm}
\begin{center}
%\pscharpath[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=black,gradend=bleu,gradmidpoint=0.5]
\textcolor{0.4white}{\LARGE\textsc{#2 Le\c con}}\\
\bigskip\bigskip\bigskip
\textcolor{0.4white}{\bfseries \Huge{ #3}} \\ 
\textcolor{0.4white}{\bfseries\Huge{ #4}}   
%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \textcolor{bleu}{\textsc{#2\ \ Leçon} : \ #5}} \ \sm}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}\vspace{0cm}      % ï¿½rajouter si on veut une illustration
\hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=\textwidth]{#6}
\end{minipage}
}

\newcommand{\Mathbold}[1]{\mbox{\boldmath$#1$\unboldmath}}

\newcommand{\sm}{\smallskip} 



% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}



\newcommand{\ie}{\leqslant}  % infï¿½ieur ou ï¿½al
\newcommand{\se}{\geqslant}  % supï¿½ieur ou ï¿½al



\newcommand\ath[1]{\foreignlanguage{greek}{\athnum{#1}}}







\entetano{LES NOMBRES}{LES NOMBRES}{2nde - Lycée Jean \textsc{Perrin} - 2008/2009}



\usepackage{mathabx}
\newcommand{\mathbfont}{\usefont{U}{mathb}{m}{n}}


\usepackage{akkadian}
\newcommand{\babun}{{\AKK\dish}}
\newcommand{\babdeux}{{\AKK\min}}
\newcommand{\babtrois}{{\AKK\eshV}}
\newcommand{\babquatre}{{\AKK\shaII}}
\newcommand{\babcinq}{{\AKK\iaII}}
\newcommand{\babsix}{{\AKK\ashIII}}
\newcommand{\babsept}{{\AKK\imin}}
\newcommand{\babhuit}{{\AKK\ussu}}
\newcommand{\babneuf}{{\AKK\geshilimmu}}
\newcommand{\babdix}{{\AKK\AKKu}}
\newcommand{\babvingt}{{\AKK\man}}
\newcommand{\babtrente}{{\AKK\esh}}
\newcommand{\babquarante}{{\AKK\ninV}}
\newcommand{\babcinquante}{{\AKK\ninnu}}

\usepackage{hieroglf}
\newcommand{\hun}{{\LARGE\pmglyph{\Hone}}}
\newcommand{\hdix}{{\LARGE\pmglyph{\Hten}}}
\newcommand{\hcent}{{\LARGE\pmglyph{\Hhundred}}}
\newcommand{\hmil}{{\LARGE\pmglyph{\Hthousand}}}
\newcommand{\hdixmil}{{\LARGE\pmglyph{\HXthousand}}}
\newcommand{\hcentmil}{{\LARGE\pmglyph{\HCthousand}}}
\newcommand{\hmillion}{{\LARGE\pmglyph{\Hmillion}}}



\usepackage{CJK}
\newcommand\japonais[1]{\begin{CJK}{UTF8}{song}#1\end{CJK}}
\newcommand{\jzero}{\japonais{〇}}
\newcommand{\jun}{\japonais{一}}
\newcommand{\jdeux}{\japonais{二}}
\newcommand{\jtrois}{\japonais{三}}
\newcommand{\jquatre}{\japonais{四}}
\newcommand{\jcinq}{\japonais{五}}
\newcommand{\jsix}{\japonais{六}}
\newcommand{\jsept}{\japonais{七}}
\newcommand{\jhuit}{\japonais{八}}
\newcommand{\jneuf}{\japonais{九}}
\newcommand{\jdix}{\japonais{十}}
\newcommand{\jcent}{\japonais{百}}
\newcommand{\jmil}{\japonais{千}}
\newcommand{\jdixmil}{\japonais{万}}
\newcommand{\jdixiem}{\japonais{割}}
\newcommand{\jcentiem}{\japonais{分}}
\newcommand{\jmiliem}{\japonais{厘}}
\newcommand{\jcentmillion}{\japonais{おく}}
\newcommand{\jgiga}{\japonais{ちょお}}


%%%% un peu de giac/xcas

\makeatletter
\newcommand{\executGiacmp}[1]{
\immediate\write18{giac  <#1 } }
\makeatother

\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.cxx}
testjap(n):={
ifte(n=="0","zero",
ifte(n=="1","\\jun",ifte(n=="2","\\jdeux",ifte(n=="3","\\jtrois",ifte(n=="4","\\jquatre",ifte(n=="5","\\jcinq",ifte(n=="6","\\jsix",ifte(n=="7","\\jsept",ifte(n=="8","\\jhuit","\\jneuf"))))))))
)
}:;

japtex(n):={
puis:=["","\\jdix","\\jcent","\\jmil","\\jdixmil","\\jcentmil","\\jmillion","\\jdixmillion","\\jcentmillion","\\jmilliard","\\jdixmilliard","\\jcentmilliard","\\jgiga"]
n:=string(n);
N:=NULL;for(j:=0;j<size(n);j++){N:=N,n[j]};N:=[N];
NN:=NULL;for(k:=0;k<size(N);k++){NN:=NN,ifte(testjap(N[k])=="zero","",concat(testjap(N[k]),puis[size(N)-k-1]))};
L:="":;for(k:=0;k<size(NN);k++){L:=concat(L,NN[k])};
return(L);
}:;

japop(L):={
local r,n,m,opp;
n:=L[0];m:=L[1];opp:=L[2];
r:=expr(n+opp+m);
return(japtex(n)+"  "+opp+"  "+japtex(m)+"  =  "+japtex(r));
}

\end{VerbatimOut}



\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjaptex.tex");
donnees:=read("XCASjaptex.user");
donnees:=donnees[0];
Resultat:=cat("japtex(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japtex}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjaptex.giac}

\input{XCASjaptex}
}



\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjapop.tex");
donnees:=read("XCASjapop.user");
Resultat:=cat("japop(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japop}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjapop.giac}

\input{XCASjapop}
}







\usepackage{tabularx}

%%%%%%% Colonne épaisse
\newcolumntype{I}{!{\vrule width 2pt}}

%%%%%%%%%%%%%%% ligne épaisse
\newlength\savedwidth
\newcommand\whline{\noalign{\global\savedwidth\arrayrulewidth
                                             \global\arrayrulewidth 2pt}%
                                 \hline
                                 \noalign{\global\arrayrulewidth\savedwidth}}




%%%%%%%%%%%%% entete tableau normal
\newcolumntype{N}[1]{  I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}*#1{|@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}}I  }

\setlength\extrarowheight{4pt}

\renewcommand\tabularxcolumn[1]{m{#1}}  % pour centrer verticalement
\newcolumntype{Z}{>{\centering\arraybackslash}X} % pour centrer horizontalement
\newcolumntype{Y}[1]{IcIZ*{#1}{|Z} I}


\newcommand{\vtabb}{\rule[-1.3em]{0pt}{4em}}







\newcommand\frbal[3]{\  {\Large{\textifsym{#1}}}\!\!\!
\raisebox{1ex}{\resizebox{8pt}{9pt}{$\frac{{\rm \textifsym{#2}}}{{\rm \textifsym{#3}}}$}}\,}

\usepackage{casio,ti83font,keystroke,xlop} 


\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/20078/}{/home/moi/Photos/Maths/}}


\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%     FIN DU PREAMBULE

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\xcas

\LECOND{I}{Première}{LES NOMBRES}{}{Les nombres}{cartoon-pi.pdf}


%\section{LA NUMÉRATION À TRAVERS LE TEMPS ET LA PLANÈTE}



\section{L'Égypte antique}
\subsection{Le système de numération de l'Égypte antique}

Les Égyptiens avaient très peu de signes (hiéroglyphes) pour compter ~:

\hun :~représente 1

\hdix :~représente 10

\hcent :~représente 100

\hmil :~représente 1000

\hdixmil :~représente 10000

\hcentmil :~représente 100000

\hmillion :~représente 1000000

\medskip

Leur système est dit «~additif~», comme les grecs et les romains~:~on «~additionne les signes~» pour
obtenir le nombre désiré. Par exemple, que représente~:
\begin{center}
 \hmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix
 \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun\hun\hun\hun\hun\hun
\end{center}

Écrivez en égyptien~: 2008, 37612, 354.


\subsection{L'addition égyptienne}


Calculez :  \hcentmil \hcentmil \hcentmil \hcentmil  \hmil \hmil \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent
\hcent \hcent \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun + \hmillion \hmillion \hmillion \hcentmil \hcentmil \hdixmil \hdixmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun

puis lisez-le en français.

Inventez d'autres additions et faites-les calculer à votre voisin.


\subsection{La multiplication égyptienne}


Ce système n'est pas très pratique pour  multiplier les nombres. Les Égyptiens utilisaient une table
contenant une série de nombres : 

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{9}{|c}|}
	     \hline
             \hun & \hun \hun& \hun \hun \hun \hun & \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun
             \hun \hun & \hcent \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \\
           %  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hun \hun & \hmil \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Par exemple, pour multiplier 235 par 53, ils écrivaient :

\hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun = \hdix \hdix \hdix \hun \hun + \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun + \hun \hun \hun \hun +\hun.

Ensuite ils dessinaient le tableau suivant : 

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
             \XSolidBrush & \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun\\
                   & \hun \hun & \hcent \hcent\hcent \hcent\hdix \hdix \hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush   &   \hun   \hun\hun   \hun&   \hcent   \hcent\hcent\hcent   \hcent\hcent\hcent
              \hcent\hcent\hdix \hdix \hdix\hdix\\
                   &  \hun \hun\hun  \hun\hun \hun\hun  \hun& \hmil  \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush & \hdix \hun \hun\hun\hun \hun\hun&\hmil\hmil\hmil \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix\\
              \XSolidBrush     &    \hdix\hdix\hdix  \hun\hun   &     \hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil    \hcent
              \hcent\hcent\hcent\hcent\hdix\hdix\\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Il suffit alors d'additionner les cases marquées d'un \XSolidBrush. Pouvez-vous dire pourquoi ?
Posez d'autres multiplication à votre voisin.

Est-ce un moyen très efficace de multiplier ?



\subsection{La division égyptienne}

Observez la division posée de 65 par 5~:

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
              & \hdix \hdix\hdix \hdix\hdix \hdix \hun\hun\hun \hun\hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              \hline
 \XSolidBrush & \hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              & \hun \hun & \hdix \\
 \XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\\
\XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun\hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\hdix\hdix\\

\hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Expliquez la méthode et proposez des divisions à votre voisin (pas trop compliquées...).


\subsection{les fractions égyptiennes}

D'après la religion égyptienne, le dieu Horus (à tête de Faucon) se battit contre son oncle Seth. Au
cours du  combat, Seth arracha un  \oe il à Horus,  le coupa en six  et jeta les  morceaux à travers
l'Égypte. Le  dieu Toth (à tête  d'ibis) se chargea de  récupérer les morceaux et  de les rassembler
pour former le schéma suivant~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4.5cm]{oeilhorus.pdf}
\end{center}


Y a-t-il un problème~?

Les fractions avec dénominateur 64 étaient utilisées pour mesurer les volumes.

Les Égyptiens utilisaient d'autres fractions, mais toujours  avec un numérateur égal à 1 en écrivant
les dénominateurs sous une sorte d'\oe il.

\medskip

Tout ça est un peu compliqué...

\section{Numération athénienne}


Plus tard, de l'autre côté de la Méditerranée, les Grecs avaient adopté un système du même type :

\begin{itemize}
\item 2 se note \ath{2}
\item 5 se note \ath{5}
\item 9 se note \ath{9}
\item 17 se note \ath{17}
\item 43 se note \ath{43}
\item 438 se note \ath{438}
\item 782 se note \ath{782}
\item 1997 se note \ath{1997}
\item 6284 se note \ath{6284}
\end{itemize}



Arrivez-vous à en percer le secret~? À quel autre système cela vous fait-il penser~?

Ménélas a gagné 286 mines au jeu de l'oie : écrivez ce nombre... à la manière de Ménélas.

Écrivez votre date de naissance en Athénien.

%Proposez des nombres à vos voisins.

\section{Babylone}

\subsection{La numération babylonienne}

Tout à côté de l'Égypte, à la même époque, à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme, d'abord, était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il y avait principalement deux caractères~:~\babun et \babdix.

Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants~:~\babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 

.
\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois~ ?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose~?


\smallskip

Les Babyloniens étaient confrontés  à une petite ambiguité~:~le nombre
\babtrois \ \babvingt\babtrois  qu'on peut noter $[3;23]$ représentait
à la fois 
\begin{itemize}
\item $3\times60+23$~;
\item $3\times60^2+23\times 60$~;
\item $3+23\times\frac{1}{60}$~;
\item etc.
\end{itemize}

En  fait,  cela fait  penser  aux  «~multiplications  à virgules~»  de
l'école primaire où vous «~décaliez~» la virgule quitte à rajouter des
zéros~:~pourquoi~?






\subsection{Multiplication babylonienne}
Les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ce
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=5cm]{tablebab1.pdf}
% \end{center}
% et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 
% Voici un
«~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{tablebab2.pdf}
\end{center}

Ils disposaient également d'une  table des carrés~; complétez la table
suivante~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{Y{19}}
	     \whline
             $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
             \hline
             $n^2$&1&4&9&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



Pour multiplier 14 par 22, ils avaient ce petit dessin en tête~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{numbab.1}
\end{center}

et il ne restait plus qu'à additionner~:~$14\times22=14^2+8^2+6^2+2^2+2^2+2^2$

Multipliez de la même manière 17 par 31.





\subsection{Division babylonienne}


Pour effectuer des divisions,  les Babyloniens utilisaient le fait que
diviser par un nombre, c'est multiplier par... Ils disposaient d'une table
d'inverses mais  attention à  la définition d'un  inverse babylonien~!
C'est 60 le nombre magique. L'inverse  babylonien de 2 est donc 30 car
$2\times30=60$ ou encore $\frac{60}{2}=30$.

Pour trouver l'inverse de 8, on écrit~:

\[\frac{60}{8}=\frac{56}{8}+\frac{4}{8}=7+\frac{1}{2}=[7;30]=\text{\babsept\
\babtrente}\]

Complétez alors le tableau suivant~:
\small
\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{16}}
	     \whline
             2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&27&30&32&36\\
\hline
             30&20&15&12&10&[7;30]&[6;40]&6&5&4&[3;45]&&&&&&&\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
\normalsize

\section{Les Mayas}

\subsection{Numération}

Les Mayas ont vécu en Amérique centrale depuis  la nuit des temps jusqu'à la conquête espagnole. Ils
ont été parmi les premiers  (si ce n'est les premiers) à utiliser un zéro  à partir du IV\eme siècle
après JC, 1100 ans avant les Européens~! Leur système de numération était totalement «~positionnel~»
est ressemble  donc au  nôtre mais  leur nombre de  «~base~» était  vingt au lieu  de dix  pour nous
(peut-être parce qu'ils n'avaient pas oublié leurs dix doigts de pied...).

Essayez  de décrire  leur  système de  numération sachant  que~:  6 s'écrit  $\maya{6}$, 13  s'écrit
$\maya{13}$, 24  s'écrit $\maya{24}$,  30 s'écrit $\maya{30}$,  65 s'écrit $\maya{65}$,  232 s'écrit
$\maya{232}$, 400 s'écrit $\maya{400}$, 512 s'écrit $\maya{512}$, 8600 s'écrit $\maya{8600}$.

Proposez des nombres à écrire à vos voisins.


\subsection{Parlons yucatèque}

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{5}{|l}|}
	     \hline
\vtabb  Hun~:  $\maya{1}$&

  Ca~:   $\maya{2}$&

  Ox~:   $\maya{3}$&

  Can~:  $\maya{4}$&

  Ho~:  $\maya{5}$\\

\hline

\vtabb  Uac~:  $\maya{6}$&

  Uuc~:  $\maya{7}$&

  Uaxac~:  $\maya{8}$&

  Bolon~:  $\maya{9}$&

  Lahun~:  $\maya{10}$\\


\hline

\vtabb  Buluc~:  $\maya{11}$&

  Lahca~:  $\maya{12}$&

  Oxlahun~:  $\maya{13}$&

  Canlahun~:  $\maya{14}$&

  Holhun~:  $\maya{15}$\\

\hline 

\vtabb Uaclahun~:  $\maya{16}$&

  Uuclahun~:  $\maya{17}$&

  Uaxaclahun~:  $\maya{18}$&

  Bolonlahun~:  $\maya{19}$&

       

  Hunkal~:  $\maya{20}$\\

\hline

\vtabb  Huntukal~:  $\maya{21}$&

  Catukal~:  $\maya{22}$&

  Oxtukal~:  $\maya{23}$&

  Cantukal~:  $\maya{24}$&

  Hotukal~:  $\maya{25}$\\


\hline

\vtabb  Cakal~:  $\maya{40}$&

  Huntuyoxkal~:  $\maya{41}$&

  Catuyoxkal~:  $\maya{42}$&

  Oxtuyoxkal~:  $\maya{43}$&

  Cantuyoxkal~:  $\maya{44}$\\



\hline


% \vtabb  Hotuyoxkal~:  $\maya{45}$&

  
       
%   Oxkal~:  $\maya{60}$&

%   Huntucankal~:  $\maya{61}$&

%   Catucankal~:  $\maya{62}$&

%   Oxtucankal~:  $\maya{63}$\\


% \hline

% \vtabb  Cantucankal~:  $\maya{64}$&

%   Hotucankal~:  $\maya{65}$&


 
%   Cankal~:  $\maya{80}$&

%   Hutuyokal~:  $\maya{81}$&

%   Catuyokal~:  $\maya{82}$\\


% \hline


% \vtabb  Oxtuyokal~:  $\maya{83}$&

%   Cantuyokal~:  $\maya{84}$&

%   Hotuyokal~:  $\maya{85}$&
 
%   Hokal~:  $\maya{100}$&

%   Huntu uackal~: $\maya{101}$\\

% \hline

   \end{tabular}
             \end{center}


\subsection{La «~cinquième opération~»}

Regardons comment s'écrit 35 : \emph{  holhucakal}.  On peutle décomposer en ho.lahun ti+u-ca-KAL ce
qui se
traduit mot à mot par : «~15 vers 2\eme vingt~».

 Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante).


Appelons-la «~mayation~»~:~que  donne la  mayation de  $\maya{5}$ et $\maya{60}$~?  de $\maya{16}$  et $\maya{120}$~?  Proposez d'autres
opérations à vos voisins.





%\pagebreak

\section{La numération sino-japonaise}


\subsection{Un peu d'Histoire}

La numération  que nous allons découvrir est  née en Chine... il  y a très longtemps,  sûrement à la
même époque  qu'en Égypte.  Cependant, bien avant  tout les autres, ils  ont adopté un système en  base 10 tout à  fait similaire à celui  que nous utilisons
actuellement.  Ils ont  ainsi  découvert  bien avant  nous  bon nombre  de  résultats  grâce à  leur
numération \og moderne\fg.

Les Grecs, quant à  eux, ne disposant que d'un système fort peu pratique,  se sont plutôt concentré sur
la géométrie.  Ce n'est  qu'au XV\eme que  les barrières  religieuses et d'usage  ont été  levées en
Europe pour enfin  adopter une numération décimale  entre temps modernisée par les  Indiens puis les
Arabes à la suite des Chinois.

Il existe deux grands  système de numération en Chine. Nous étudierons le  plus ancien afin de mieux
comprendre notre propre système. Le deuxième est trop proche du nôtre (en utilisant des
bâtons) pour nous permettre une approche différente.

\subsection{Comptons}

Essayez  de deviner  comment  on écrit  les nombres  en  Chine et  au  Japon à  partir des  éléments
suivants :

\begin{itemize}
\item 7 s'écrit \jsept
\item 20 s'écrit \jdeux \jdix
\item 24 s'écrit \jdeux \jdix \jquatre
\item 26 s'écrit \jdeux \jdix \jsix
\item 40 s'écrit \jquatre\jdix
\item 75 s'écrit \jsept\jdix \jcinq
\item 11 s'écrit \jdix \jun
\item 98 s'écrit \jneuf\jdix\jhuit
\item 308 s'écrit \jtrois \jcent \jhuit au Japon et \jtrois \jcent \jzero\jhuit en Chine
\item 3008 s'écrit \jtrois \jmil \jhuit au Japon et \jtrois \jmil \jzero\jhuit en Chine
\item 30008 s'écrit \jtrois \jdixmil \jhuit  au Japon et \jtrois \jdixmil \jzero\jhuit en Chine
\item 0,3 s'écrit \jtrois \jdixiem
\item 0,03 s'écrit \jtrois \jcentiem
\item 0,003 s'écrit \jtrois \jmiliem
\end{itemize}


Proposez des nombres à vos voisins.


Que pensez-vous de ce calcul~:


\begin{japop}
8250,7054,"+"
\end{japop}


et de celui-ci~:

\begin{japop}
8,12,"*"
\end{japop}

ou encore de celui-là~:

\begin{japop}
128,4,"/"
\end{japop}


\section{La numération... des ordinateurs}

Peut-être savez-vous que les ordinateurs parlent en «~binaire~»~:~voyons ce que cela veut dire.

Par exemple, comptons de zéro à six en binaire~:

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 - 110 

Continuez à compter en binaire jusqu'à douze~?

Que pensez-vous de cette phrase~:

«~Le monde se sépare en 10 catégories~:~ceux qui comprennent cette phrase et les autres...~»

\section{Le code bibinaire}

\parpic{\fbox{\includegraphics[height=4cm]{bobybouf.jpg}}}
Boby \textsc{Lapointe},  célèbre chanteur  français, était aussi  mathématicien à ses  heures. Ayant
trouvé le code binaire trop compliqué à utiliser, il  inventa le code... bibinaire (il y a un jeu de
mot caché). Il  suffit de remplacer les chiffres  par des lettres. On commence par  couper le nombre
écrit en  binaire en  paquets de 2.  S'il y a  un nombre impair  de chiffres,  on rajoute un  zéro à
gauche, ce qui ne  modifie pas la valeur de nombre (expliquez pourquoi).  On commence par le premier
groupe de deux chiffres le plus à droite. On remplace 00 par O, 01 par A, 10 par E, 11 par I.\\
Puis on prend le paquet de deux chiffres suivants en se déplaçant de droite à gauche. On remplace 00
par H, 01 par B, 10 par K, 11 par D.\\
Pour le paquet suivant, on recommence avec les  voyelles. S'il y a encore un groupe, on remplace par
une consonne, etc.


\begin{enumerate}

\item Écrivez les nombres de 0 à 31 en bibinaire.\\
\item Récitez la table de multiplication par HI en bibinaire.
\item Quelle est la base du bibinaire~?
\item Pour les curieux : écrivez 1177 en bibinaire.
\item Écrivez KEKIDIBIBI en numération décimale et également KEBOKADO.
\item Pour les très curieux : quel est le plus grand nombre qu'on peut écrire avec six lettres en bibinaire~?

\end{enumerate}
\section{La numération des Mickeys}


Vous savez que Mickey n'a que quatre doigts à  chaque main. Il ne dispose donc que de huit chiffres,
de zéro jusqu'à sept...

Mickey aime pédaler : combien a-t-il de vélos dans son garage~?

{\LARGE \Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle}


Mickey aime jouer au football: combien a-t-il de ballons dans son garage~?

{\LARGE
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football }


\section{Notion de base}

\subsection{Les bases à travers les âges}

Il  est temps  de dresser  un petit  bilan de  toutes ces  activités~:~dans chacune  des numérations
étudiées précisez
\begin{itemize}
\item quelle est la base utilisé~?
\item est-ce que la position des «~chiffres~» est importante~?
\item quelle est l'opération qui permet d'obtenir la valeur du nombre à partir de son écriture~?
\end{itemize}

Effectuez maintenant la multiplication  par 10 puis par 100  des nombres suivants dans
chacune des numérations~:

\begin{itemize}
\item le nombre de vos doigts de pieds et de main;
\item votre année de naissance;
\item le nombre d'habitants de Rezé.
\end{itemize}

Faites de même avec une multiplication par 2, puis avec une multiplication par 20 et enfin par 60.

Quels commentaires cela vous inspire-t-il~?



\subsection{Les billets de banque}

Regardez un billet de 20 euros. Il comporte un numéro... en face du Portugal.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{billeteuro.jpg}
\end{center}

Il y a en fait une lettre et onze chiffres. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet. Ici,
U est la 21\eme lettre. Donc le numéro est en fait \[2\,119\,586\,900\,453\] Il faut savoir que les
numéros des billets conçus par la Banque de France ont un reste dans la division par 9 toujours égal
à 8. Vérifiez le sur ce billet. Connaissez-vous un moyen de le vérifier rapidement~? Sauriez-vous le
prouver~?

\pagebreak 


Regardez cet autre billet~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{billetfaux.pdf}
\end{center}

Que vous inspire-t-il~?


















\section{Les nombres non-entiers}

\begin{enumerate}


\item Écrivez 308; 30,8; 3,08; 0,308 en japonais et de même avec 38; 3,8; 0,38; 0,038;



\item Lisez puis écrivez  ces mêmes nombres avec «~nos chiffres à nous~» sans utiliser de virgule : comment
faire ?

\item Effectuez les calculs suivants «~en japonais~» : 

  \begin{itemize}
  
\item \emph{3 virgule 15 plus 3 virgule 5}
\item \emph{3 virgule zéro quatre plus 3 virgule zéro six}
  \end{itemize}




\item Remplissez le tableau suivant~:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{8}}
	     \whline
             Nombre & Chiffre des  unités & Nombre d'unités & nombre entier  d'unités & chiffres des
             centaines & Nombre de centaines & Nombre entier de centaines & chiffres des
             dixièmes & Nombre de dixièmes & Nombre entier de dixièmes\\

\whline

543,5 &&&&&&&&&\\
\hline
908,72 &&&&&&&&&\\
\hline
7665,093 &&&&&&&&&\\
\hline
20,45 &&&&&&&&&\\
\hline
40000 &&&&&&&&&\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
\item Et celui-ci~:



\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{3}}
	     \whline
             $5,42$&$5+\frac{4}{10}+\frac{2}{100}$&$\frac{542}{100}$&    $5+\frac{42}{100}$&    cinq
             unités et quarante-deux centièmes\\
\whline
$4,518$&&&&\\
\whline
&$16+\frac{7}{100}+\frac{3}{1000}$&&&\\
\whline
&&$\frac{324}{100}$&&\\
\whline
&&&&douze millièmes\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

\end{enumerate}


\section{Les mesures de masse anglo-saxonnes}

L'unité de base anglaise pour mesurer les masses est la livre «~\emph{pound}~»
dont l'abbréviation est en toute logique anglaise \textbf{lb}...

Une  livre correspond  \emph{environ} à  453,49g. Pour  des mesures  plus fines,  on  utilise l'once
«~\emph{ounce}~» (\textbf{oz}) qui vaut $\frac{1}{16}$lb et le dram (\textbf{dr})
qui vaut $\frac{1}{16}$oz.

Pour des  mesures plus importantes, on  utilise les pierres  «~\emph{stone}~» (\textbf{st}) sachant
que 1st$=14$lb.

Combien pesez-vous~?

Vous   pesez   votre    panier   rempli   de   pommes   et    la   balance   indique \frbal{2}{3}{8}lb~:~qu'est-ce que ça signifie~?

Et si vous trouvez \frbal{3}{5}{16}oz de diamant dans votre jardin~?



\section{Des nombres que la calculatrice n'aime pas...}

Si vous tapez \CUn \CDiv \CTrois  \ sur votre calculatrice, vous obtenez \textifsym{0.333333333}. Si
j'utilise un ordinateur avec un logiciel de calcul adapté, j'obtiens~:

\begin{center}
\texttt{
0.333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333}

\end{center}

Qu'est-ce que vous en pensez~?




Vous savez aussi que  la longueur d'un cercle de diamètre 1cm  vaut $\pi$cm. Certaines calculatrices
ont une touche \keystroke{$\pi$}.
 On obtient à l'écran \textifsym{3.141592654}. 
Avec un logiciel de
calcul, on obtient

\begin{center}

\texttt{
\ \ \ \ \ \ \ 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998\\
6280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385\\
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346\\
0348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892\\
5903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051\\
1854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522\\
4737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771\\
3427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219\\
6086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945\\
5346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303\\
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092\\
1642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124\\
9721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060\\
4009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747\\
2684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338\\
2430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182\\
9745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198\\
8183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721\\
4772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983\\
5694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766\\
8145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630\\
6744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478\\
0275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363\\
9443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977\\
2975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695\\
8486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948\\
6855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782\\
3986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893\\
1456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818}%\\
% 9312978482168299894872265880485756401427047755513237964145152374623436454285844479526586782\\
% 1051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310\\
% 5785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781\\
% 9119793995206141966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090718649\\
% 4231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787083039069792077346722182\\
% 5625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863\\
% 3173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043\\
% 9039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579\\
% 1984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353\\
% 9657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851\\
% 7143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064\\
% 2046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335\\
% 7326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734440\\
% 3070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213\\
% 1449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111\\
% 6603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065\\
% 9876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344\\
% 4318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332\\
% 6993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495\\
% 5761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501\\
% 1299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140\\
% 2870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332175182\\
% 9798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146385306736\\
% 0965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921\\
% 3375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222\\
% 2477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326}


\end{center}

Qu'en pensez-vous~?





\section{Famille de nombres}

Comment classer les nombres que l'on connaît en début de 2nde~?





\section{La division euclidienne}


Que vous inspire ce dessin~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{Nombres.pdf}
\end{center}



et celui-ci~:



\opidiv[displayintermediary=all,voperation=top]{37}{4}



\section{À la découverte des nombres premiers}

Dans un carré de côté 10, écrivez les nombres de 1 à 100, puis barrez 1, les multiples de 2, 3, 4, etc. : que reste-t-il ?

Il s'agit du crible d'Ératosthène...



\section{Mesurons la Terre}

Ératosthène remarqua que près de la ville actuelle d'Assouan, le soleil à midi \og~rentarit sans
ombre~\fg dans un puits un certain jour de l'année alors que le même jour à  la même heure, l'ombre
d'un piquet faisait un angle de 7,5° avec le piquet lui-même à Alexandrie, ville située à 800 km du
puits sur le même méridien.

Il en déduit le rayon de la Terre~:~comment a-t-il fait~?



\section{Dessinons des racines}

Il aurait été plus correct d'intituler cette activité : \textbf{construisons des irrationnels à la règle et à l'équerre}.

Quelle est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1~? Déduisez-en une \textit{construction} de $\sqrt{2}$.

Construisez de même $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{11}$.


\sm

Casse-tête en forme d'escargot adepte du cubisme : quelle est la longueur du dixième segment gris de cette spirale\footnote{Je ne vous demande pas de prouver le résultat mais juste de le deviner} ?


\begin{center}
\includegraphics{Nombres.2}
\end{center}


\section{Développement décimal illimité}

\subsection{Curiosité}

Observez ce qu'affiche une calculatrice quand vous effectuez les calculs suivants :

\[ \frac{324-32}{9}\qquad   \frac{3245-32}{99}\qquad   \frac{324510-32}{9999} \]

Sans preuve, essayez d'écrire 57,333333333333333333333\dots sous forme de fraction.

\subsection{Une histoire de \dots}

Par convention, les \dots veulent dire qu'il y a une infinité de 3 à droite de la virgule. C'est un peu vague, nous en reparlerons plus bas. 

À  votre avis, que vaut 1,333\dots $-1$,333 ? 1,333$-$ 1,333 ? $1,333\dots -1,33$ ?

Tout ça reste un peu empirique.

\subsection{L'algèbre au secours de la numération}

Nous aimerions prouver ce que nous avons observé tout à l'heure. Essayons donc d'écrire 32,444\dots sous forme de fraction, puisque la machine nous dit que \textit{ça a l'air} possible. 

Comme c'est embêtant d'écrire 32,444\dots, nous allons lui donner un petit surnom, par exemple \textit{Joe}.

Donc $Joe=32,444\dots$. 

\textbf{LA ruse} : que vaut $10\times Joe -Joe$ ? Déduisez-en  que \textit{Joe} est un nombre rationnel puis retrouvez les résultats précédents.

\subsection{On n'est pas des Mickey}

Contrairement à cette charmante souris, nous avons dix doigts et pas huit. Nous comptons donc en \textbf{base dix} : qu'est-ce que ça veut dire~?

Pour vous aider à avoir des idées, pensez à ce qui se passe après 9, 99, 999, etc. et surtout, pensez \textbf{puissances de 10}.


\subsection{Développement décimal périodique}

Posez la division de 1 par 3, vous obtenez sans cesse le reste 1 et le déloppement décimal est donc 0,33333333333\dots

En fait, il existe une écriture qui évite les \dots : $0,\underline{3}$ signifie de la même manière que le 3 se répète infiniment.

Voyez ce que donne 13/7.

\begin{center}
\opdiv{13}{7}
\end{center}

Donc on écrit \opdiv[period,style=text]{13}{7}

\subsection{Si, et seulement si}

\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé, mais est-ce que \textbf{si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave~?


La première proposition\footnote{\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé} est une \textbf{implication} vraie : nager en maillot de bain dans un lac syldave implique d'être mouillé.

On utilise le symbole  $\Longrightarrow$ pour matérialiser cette implication :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\Rightarrow\text{être mouillé}\]

La deuxième proposition\footnote{\textbf{Si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave} est l'\textbf{implication réciproque}. Dans le cas qui nous occupe, cette implication réciproque  est fausse

\[\text{être mouillé}\nRightarrow\text{nager en maillot dans un lac syldave}\]


On dit que ces deux propositions ne sont pas \textbf{équivalentes} :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\nLeftrightarrow\text{être mouillé}\]



\sm

Revenons à nos nombres.


En pensant à la division posée, expliquer pourquoi un nombre rationnel admet forcément un développement décimal périodique.

Inversement, expliquez pourquoi un nombre admettant un développement rationnel périodique est forcément rationnel.

Comment exprimer ces résultats en termes d'équivalence~?

\subsection{$\Mathbold{\sqrt{2}}$ admet-il un développement décimal périodique~?}

Si vous répondez correctement à cette question, alors vous commencerez à vous débrouiller en logique :-)


\subsection{Les limites du développement décimal}

\'Ecrivez sous forme de fraction le nombre 1,\underline{9}.

Des remarques~?





\section{Valeur absolue}


La valeur absolue d'un nombre, c'est sa distance à zéro.

Par exemple, $-3$ et 3 sont à la même distance de zéro~:~ ${\rm abs}(-3)={\rm abs}(3)=3$


Complétez la phrase suivante~:
\begin{quote}
  Si un nombre $x$ est ......................... ALORS abs$(x)=\dots$ SINON  abs$(x)=\dots$
\end{quote}




\section{Le nombre d'or...}

\subsection*{\'Episode 1}

Soit ABCD un carré de côté 1 . 


\begin{enumerate}
\item Retrouver les étapes de la construction ci-dessous du rectangle ADFE , puis refaire la construction sur votre copie en choisissant pour unité 10 cm . ( C et E  sont sur un cercle de centre I , avec I milieu de [AB] ) . \label{recor}




\begin{center}
  \includegraphics{figsec.1}\caption{Rectangle d'or}
\end{center}






\item En utilisant un théorème bien choisi, prouvez que $AE =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 
\item Donnez une valeur approchée de $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$  à l’aide de votre dessin. Quelle est à votre avis l’ordre de grandeur de la précision~?
\item À l’aide de la calculatrice, donnez une valeur arrondie à $10^{-5}$ près de $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
\end{enumerate}


 Ce nombre est noté $\Phi$   ( lettre grecque appelée « phi » ) et on l’appelle le nombre d’or .
Le rectangle ADFE obtenu par la construction donnée est appelé un rectangle d’or .







\subsection*{Épisode 2}

\subsubsection{Sans calculatrice}

\begin{enumerate}
\item \emph{Sans calculatrice} simplifiez l’écriture de $\Phi$  sans racine carrée au
  dénominateur. Puis simplifiez l'écriture de  $1+\frac{1}{\Phi}$. Que remarquez-vous~?
\item  \emph{Sans calculatrice} simplifiez l’écriture de $\Phi^2$ puis simplifiez l'écriture de
  $1+\Phi$.  Que remarquez-vous~?
\end{enumerate}



\subsubsection{Avec calculatrice}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donnez une approximation de 
\begin{enumerate}
\item $\Phi$
\item $a_1=\sqrt{1+\sqrt{1}}$
\item  $a_2=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}$
\item $a_3=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}$
\item $a_4=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}}$
\end{enumerate}


En continuant le procédé, déterminez à l’aide de la calculatrice, le nombre minimal d’étapes $n$  pour que $\Phi-a_n\ie 10^{-9}$.

\subsubsection{Avec XCAS}

Que veut dire \emph{SQuare RooT} en anglais~?


Analysez le programme suivant~:

\begin{lstlisting}
  a(n):={
A:=1.0;
k:=1;
Phi:=approx(1+sqrt(5))/2)
tantque Phi-A>10^(-n) faire A:=sqrt(1+A);k:=k+1; ftantque;
return(k);
}
\end{lstlisting}


\item  À l'aide de la calculatrice, donnez une approximation de 
  \begin{enumerate}
   \item $b_1=1+\frac{1}{1}$
  \item $b_2=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}$
  \item $b_3=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}$
  \item  $b_4=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}$
  \item $b_5=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}$
  \end{enumerate}


En continuant le procédé, déterminez à l’aide de la calculatrice, le nombre minimal d’étapes $n$
pour que $\Phi-a_n\ie 10^{-9}$.


\subsubsection{Avec XCAS}

Complétez le programme suivant

\begin{lstlisting}
  b(n):={
B:=2.0;
k:=1;
Phi:=approx(1+sqrt(5))/2)
tantque abs(Phi-B)>10^(-n) faire B:=  ?????   ;k:=k+1; ftantque;
return(k);
}
\end{lstlisting}

%\end{enumerate}

\subsection*{Épisode 3~:~le compas d'or}

\parpic{\includegraphics[height=5cm]{compasor.jpg}}
Voici un compas qu'utilisaient les architectes et les peintres pour garder des proportions dorées...

Comment pensez-vous que l'utilisaient ces artistes~?

Vous justifierez votre proposition en faisant une figure et en utilisant un théorème maintes fois
utilisé au collège.

«S’il permet de vérifier rapidement les proportions d’un rectangle pour savoir s’il est un
rectangle d’or , le compas de proportion peut aussi donner les puissances de $\Phi$ ( il multiplie
les longueurs par $\Phi$ ! )» 
Expliquez comment on peut vérifier avec un compas de proportion que le rectangle de votre dessin
de l'épisode~\vref{recor} est un rectangle d’or, puis expliquez comment on obtient  avec un compas d'or
$\Phi^2$, $\ofr{1}{\Phi}$~?.  

\vspace{2cm}
%\pagebreak

% \subsection*{Épisode 4~:~Dali et la proportion dorée}


% Ce tableau du peintre Salvador DALI s’appelle : 
% « demi-tasse volante avec annexe inexplicable de cinq mètres de longueur ».

% Le peintre s’est inspiré de la construction de rectangles d’or.


% À l'aide de papier calque et d'un compas d'or que vous aurez construit, dénombrez le nombre de
% rectangles d'or présents sur ce tableau.

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=\textheight]{dali.jpg}
% \end{center}


\subsection*{\'Episode 4~:~Rezé et le Nombre d'Or...}
\parpic{\includegraphics[height=8cm]{modulor.jpg}} La Maison Radieuse (108m de long, 52m de haut et 19m de large) a été construite  selon le principe du Modulor inventé par Le Corbusier.



Pour obtenir des appartements à taille humaine, l'architecte avait pris pour base un homme d'1m83 qui atteint 2m26 les bras levés: la hauteur des plafonds des appartements.
Tel l'homme de Vitruve de Léonard de Vinci, des gravures au pied de l'immeuble rappellent ce
principe.

Allez mener l'enquête au \emph{Corbu}  et prenez quelques photos pour démasquer le nombre d'or caché
à Rezé...





\vspace{4cm}

\end{enumerate}

\section{Une machine à calculer en légos...}



Voici une machine à calculer entièrement constituée de légos fabriquée
par Andrew \textsc{Carol}~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{lego.jpg}
\end{center}


Par exemple, considérons l'expression~:

\[P(x)=2x^2+3x+5\]

Alors la machine peut calculer  cette expression
en remplaçant $x$ par des nombres entiers.

\subsection{Le principe}

Remplissons le tableau suivant jusqu'à la 4\eme ligne~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{2}}
	     \whline
             $x$&$P(x)$&première différence&deuxième différence\\
             \hline
             1&10&9&4\\
             \hline
             2&19&13&\\
             \hline
             3&&&\\
             \hline
             4&&&\\
             \hline
             5&&&\\
\hline
             6&&&\\
\hline
             7&&&\\
\hline
             8&&&\\
\hline
             9&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

sachant que 9 est obtenu en faisant $19-10$ et 7 en faisant $13-9$.

Qu'observez-vous dans la dernière colonne~?

Finissez  alors  de  remplir   le  tableau  en  n'effectuant  que  des
additions : c'est  tout ce que peut faire la machine  en légo grâce à
ses roues dentées.

\subsection{Un exemple}

Soit $Q(x)=4x^2+5*x+1$

Remplissez un  tableau similaire  au précédent en  n'effectuant aucune
multiplication...

\subsection{Généralisation}

Pourquoi   ça   marche~?   Essayez   de  remplir   un   tableau   avec
$R(x)=ax^2+bx+c$, $a$, $b$ et $c$ étant des nombres quelconques.

\subsection{Un petit brin d'informatique}

Si  vous  fréquentez  l'atelier  d'informatique  du  lycée,  peut-être
serez-vous capable bientôt décrire ce programme~:

\begin{lstlisting}
dif(P,N,C):={
p:=unapply(P,x);
n:=N+1;
D:=[[x,seq(j,j=1..C)],[f(x),seq(p(j),j=1..C)],seq([d[k],"X"$C],k=1..n-1)];
for(k:=2;k<=n;k++){
   for(j:=1;j<C-k+2;j++){
   D[k,j]:=simplifier(D[k-1,j+1]-D[k-1,j]);
   }
}
return(tran(D));
}:;
\end{lstlisting}

qui permet d'obtenir des tableaux rapidement. Par exemple, on tape 

\begin{lstlisting}
dif(x^3+3*x+2,3,10)
\end{lstlisting}
 et on obtient

 \[
   \begin{array}{ccccc}
x & x^{3}+3x+2 & d[1] & d[2] & d[3] \\
1 & 6 & 10 & 12 & 6 \\
2 & 16 & 22 & 18 & 6 \\
3 & 38 & 40 & 24 & 6 \\
4 & 78 & 64 & 30 & 6 \\
5 & 142 & 94 & 36 & 6 \\
6 & 236 & 130 & 42 & 6 \\
7 & 366 & 172 & 48 & 6 \\
8 & 538 & 220 & 54 & X \\
9 & 758 & 274 & X & X \\
10 & 1032 & X & X & X
\end{array}
 \]


% bib

\nocite{*}
\bibliography{athnum}




%\end{enumerate}








%\section{Remerciements}



\end{document}

