

\input{/home/moi/Lycee/makalice}
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\entete{StatoBac}{ Exercices}{Lycée Jean Perrin - T STL 2 }


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{center}
 {\fontsize{36pt}{30pt}\selectfont Stats au Bac} 
\end{center}


\vspace{2cm}



\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1}  \hfill 8 points}

\noindent \textbf{Des résultats expérimentaux}

On peut estimer l'äge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :

$\bullet~$  d'une part, en étudiant les anneaux de croissance;

$\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.

\noindent On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux
 méthodes.

\noindent Voici le tableau des résultats obtenus : 

$t$, est l'äge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de 
croissance ;

 $A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

\[\begin{array}{|*{9}{c |}}\hline
t_i&~~0,5~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6,3~~&~~7,8~~\\ \hline
A_i&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline
\end{array}\]

\begin{enumerate} \item  Recopier et compléter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme 
népérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvées au centième le plus proche.

\[\begin{array}{|*{9}{c |}}\hline
t_i&~~0,5~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6,3~~&~~7,8~~\\ \hline
y_{i} = \ln A_{i}&2,67&&&&&&&1,92\\ \hline
\end{array}\]

\item Tracer le nuage de points $M_i(t_{i}~ ;~y_i)$

\noindent On prendra	en abscisses : 1 cm pour 500 ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.

\item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le 
premier et le dernier point de ce nuage.

\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.

\item Le point $G$ appartient-il à $D$ ?

\item Placer $G$ et $D$ sur le dessin precedent.

\end{enumerate}

\item On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux
de croissance) vieux de 5 700 ans.

\noindent Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant
 la droite $D$ précédente :
 
\begin{enumerate} \item graphiquement, en faisant appara”tre sur le dessin les traits permettant la 
lecture du résultat ;

\item par le calcul, en prenant pour équation de $D : y = -0,1 t + 2,72$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 8 points}

On met en contact des bactéries avec un agent antimicrobien.

\noindent Dans le tableau ci-dessous,

$t_i$ désigne le temps (en minutes) d'exposition des bactéries à l'agent 
antimicrobien,

$y_i$ désigne le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries.

\[\begin{array}{|l|*{8}{c|}}\hline
t_i &  ~15~& ~20~& ~25~& ~30~& ~35~&~40~ & ~45~ &~50~\\ \hline
y_i & 120 & 	67 &  49& 27& 20& 9& 7&	3\\ \hline
z_i = \ln y_i& & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]

\begin{enumerate} \item Recopier le tableau en complétant la dernière ligne
 $z = \ln y_i$.

Donner les résultats arrondis à $10^{-1}$ près.

\item Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(t_i~; 
z_i)$ dans un repère orthogonal (\textsl{unités graphiques 2 cm pour 10 
minutes en abscisse et 2 cm pour une unité en ordonnée}).

\item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$
 associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen
 G$_2$ associé aux quatre derniers points du tableau.

\item Tracer la droite (G$_1$G$_2$).

\item Une équation de la droite (G$_1$G$_2$) est de la forme $z = a t + b$.
 Calculer les nombres réels $a$ et $b$.

On admet que cette droite réalise un bon ajustement du nuage de points.

\end{enumerate}

\item En utilisant l'ajustement précédent sur l'intervalle [15 ; 90],

\begin{enumerate} \item calculer le nombre de survivants sur 106 bactéries
 au bout de 90 minutes  d'exposition,

\item discuter le résultat obtenu.

\end{enumerate}

\end{enumerate}






\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3} \hfill 5 points}


\textsf{Après la prise d'une boisson alcoolisée par une personne, on procède à l'étude de l'évolution de la quantité d'alcool présente dans son tube digestif} 

\vspace{0,5cm}



\`A l'instant $t$, on note $u(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif avec
$t$ exprimé en minutes et $u(t)$ en moles d'alcool. On a relevé les résultats 
suivants :

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c |c | c | c | c |}\hline
$t_{i}$ (en min)&	0&	1,5&	4,5&	9&	15&	18\\ \hline
$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&	1,2&	0,94&	0,56&	0,26&	0,10&0,06\\\hline
\end{tabular} \end{center}

\noindent On pose $v_{i} = \ln (u_{i})$.

\begin{enumerate} \item	Recopier et compléter, avec des valeurs arrondies 
à $10^{-2}$ près, le tableau suivant :

\[\begin{array}{| c | c | c |c | c | c | c |}\hline
t_{i}&	~0~&	~1,5~&	~4,5~&	~9~&	~15~&	~18~\\ \hline
v_{i} & & & & & & \\ \hline
\end{array} \]

\item Représenter le nuage de points $M_{i}(t_{i}~;~v_{i})$ dans un repère
orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées).
Que remarque-t-on ?

\item On désigne par G$_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage
et par G$_{2}$ celui des trois derniers.

\begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ et tracer 
la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.

\item Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous 
la forme $v = mt + p$.

\end{enumerate}

\noindent \textit{On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points}
$M_{i}$.

\item \`A partir de cet ajustement, déterminer la quantité d'alcool encore présente
dans le tube digestif de cette personne à l'instant $t = 20$.
\een

\end{document}