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\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{\rightmark}{BTS Domotique 2 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
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}

\renewcommand\lstlistingname{Programme}


\setcounter{NumLecon}{5}

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{V}{Dernière}{Statistiques}{Inférentielles}{Statistiques
  inférentielles}{sondage}

\vspace{2cm}

Ce chapitre vous introduit dans le monde des \textsl{Statistiques inférentielles} (\textbf{Inférer} : tirer une conséquence de quelque proposition, de quelque fait, etc.) auquel vous êtes en fait constamment confronté(e) en tant que citoyen(ne) d'une société hautement médiatisée. 

La statistique inférentielle  est en effet la science qui permet  de <<~\textit{modéliser une partie
  observable du réel  comme résultant d'un phénomène  aléatoire pour lequel on envisage  non pas une
  mais toute une famille de lois de probabilités possibles}~>> (J.P. Raoult - dossier APMEP statistique inférentielle - Déc 2005)

C'est un sujet très intéressant, exigeant une réflexion approfondie en classe sur les notions abordées, les conclusions à émettre, entraînant un débat intéressant, permettant d'avoir une démarche scientifique partant d'une expérimentation.

Malheureusement, nous sommes loin de disposer du temps nécessaire. Nous nous contenterons donc d'une préparation pure et simple aux exercices d'examen qui sont tous identiques, mis à part le contexte expérimental proposé.

\section{Un exemple pour découvrir}


Une population est constituée de  5 étudiants de BTS. Leur professeur de
mathématiques adoré  et vénéré veut estimer le  temps moyen hebdomadaire
consacré au travail personnel.


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.4\textwidth}{Y{0}}
	     \whline
             Étudiant & Temps de travail (secondes)\\
             \whline
             Albert & 7 \\
             Bernard & 3 \\
             Charles-Henri & 6 \\
             Dolf & 10 \\
             Évariste & 4 \\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Calculez        moyenne        et       écart-type~:~$\mu=\hspace{1cm}$,
$\sigma=\hspace{1cm}$.


Le problème, c'est qu'on n'a pas  souvent accès à toute la population et
on se contente d'échantillons.

Voyons ce  qui se passe  en prenant des  échantillons de taille 3  de la
population précédente. 

Tout d'abord, combien y a-t-il d'échantillons de taille 3~? 


Remplissez le tableau suivant~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.7\textwidth}{Y{2}}
	     \whline
             Échantillons&Données&Moyennes       échantillonnales      &
             Écarts-type échantillonaux\\
\whline
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Calculez la moyenne des moyennes échantillonnales~:~$\mu_{\bar{x}}=$

Pour les écart-types~:~$\sigma_{\bar{x}}=$


Et alors~?  En fait, en  réalité, on n'a  pas souvent accès  aux données
concernant  la   population  entière~:  on  se   contente  d'étudier  un
échantillon (sondage...) On voudrait alors savoir dans quelle mesure les
résultats   relevés   sur   un   échantillon  peuvent   nous   permettre
d'\emph{inférer} les résultats de toute la population.

Il existe un beau théorème en probabilités, le \emph{Théorème de la 
  Limite Centrale}, que  le Russe Lyapounov a démontré  en 1900. Il peut
être  appliqué  dans le  cas  particulier  de  notre échantillonage.  Il
confirme que  $\mu_{\overline{x}}=\mu$, il affirme  que si la  taille de
l'échantillon est suffisamment grand  ($n\se30$), alors les moyennes des
échantillons   suivent   une  distribution   qui   se  rapproche   d'une
distribution     normale $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$    et    que     $\sigma_{\overline{x}}\approx
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ pour de grandes valeurs de $n$.

Le problème, c'est qu'on ne connaît ni $\mu$, ni $\mu_{\overline{x}}$ et
idem   pour   les  écarts-type.    Il   va   donc   falloir  faire   des
\emph{estimations}.

\section{Estimation ponctuelle}


On ne  considère qu'une seule  mesure. On ne  cherche pas à  calculer le
risque d'erreur.

Dans ce cas 

\begin{center}
  \fbox{$\mu_{\overline{x}}$ est une estimation ponctuelle de
la moyenne}
\end{center}




 et on admettra que 

 \begin{center}
 \centering\fbox{$\sigma_{\overline{x}}\sqrt{\frac{n}{n-1}}$    est   une
  estimation ponctuelle de l'écart-type $\sigma$}  
 \end{center}



\section{Estimation de la moyenne par intervalle de confiance}

On  va cette  fois  essayer  de déterminer  un  intervalle qui  pourrait
contenir la véritable  valeur de $\mu$ avec un  risque d'erreur décédé à
l'avance.

Pour  des  échantillons de  taille  assez  grande,  la distribution  des
moyennes      des     échantillons      suit     la      loi     normale
$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$.

On       introduit        comme       d'habitude       la       variable
$T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$.

On fixe à l'avance une probabilité $\alpha$ que $T$ n'appartienne pas à un
intervalle inconnu $[-t;t]$. Alors on a

\[1-P(-t\ie T\ie t)=\alpha\]

c'est-à-dire~:

\[1-\bigl(2\Pi(t)-1\bigr)=\alpha\]

ou encore 

\[\Pi(t)=\frac{2-\alpha}{2}\]

On cherche $t$ dans notre table et nous saurons encadrer $\mu$.


En général, $\alpha$ vaut $1\%$, $5\%$ ou $10\%$.

On a alors~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.4\textwidth}{Y{2}}
	     \whline
             $\alpha$&$1\%$&$5\%$&$10\%$\\
\whline
             $t$&&&\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

\subsection*{Un exemple !}


À  partir  de  la  moyenne  $\overline{x}$  d'un  échantillon,  on  veut
déterminer un intervalle qui contient la vraie valeur de la moyenne avec
$5\%$ de chance de se tromper.



Pour $\alpha=0,05$, on a $t=1,96$.

On a donc

\[P\left(-1,96\ie\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \ie 1,96\right)=0,95\]

et après calculs~:


\[P\left(\overline{x}-1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ie\mu                    \ie
\overline{x}+1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0,95\]


\section{Estimation de la fréquence par intervalle de confiance}


On peut montrer comme pour les moyennes qu'un intervalle de confiance de
la fréquence $p$ au seuil de $\alpha$ est~:

\begin{center}
  \fbox{$\left[f-t \sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}},f+t \sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}\right]$}
\end{center}

\subsection*{Un exemple}


\emph{Un sondage dans  un lycée relève que sur  les 500 personnes interrogées,
$42\%$ sont mécontentes du menu de la cantine.\\
Déterminez, au seuil  de risque de $1\%$, un  intervalle de confiance du
pourcentage $p$ de personnes mécontentes dans le lycée.
}

\bigskip

$f=0,42$, $n=500$, $\alpha=0,01$ donc $t=$

Un intervalle de confiance de $p$ à $1\%$ est ~:

\vspace{2cm}



\section{Test de validité d'hypothèse}


\subsection{De quoi s'agit-il~?}

Depuis quelques décennies, on assiste à une \og entrée en force \fg\
des méthodes statistiques dans le domaine règlementaire, lequel
conduit à la {\bf prise de décision}~: on a ou on n'a pas le droit
de~\dots

En particulier, l'augmentation des échanges commerciaux et des liens
économiques entre les pays s'accompagne d'accords destinés à fixer les
règles communes. Les statistiques inférentielles trouvent là un
immense champ d'applications.

Cela se traduit par des règlementations définissant dans chaque cas
particulier une procédure destinée à préciser sans ambiguïté~:

\begin{itemize}

\item comment un ou plusieurs échantillons doîvent être prélevés
dans la population étudiée~;

\item quelles mesures doîvent être effectuées sur ce ou ces échantillon(s)~;

\item quelle décision doît être prise à propos de l'ensemble de la
population.


\end{itemize}
Une telle procédure s'appelle, en statistique, un {\sl test de
validité d'hypothèse}.

De manière plus générale, il s'agit, à partir de l'étude d'un ou
plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant l'ensemble
de la population.



\subsection{Comparaison d'une moyenne à un nombre fixé~:~un exemple}


{\bfseries Le problème~:~une moyenne est fixée et représente la norme. On prélève un échantillon d'une population censée
suivre cette norme~:~doit-on, oui ou non, accepter la livraison~?
}
\medskip

\emph{Examinons  le problème  suivant (BTS  2001)~:~un client  réceptionne une
commande. Il prélève un échantillon  de 125 billes choisies au hasard et
avec remise dans le lot reçu  et constate que le diamètre moyen est égal
à 25,1.  On rappelle que pour les billes fabriquées par l’entreprise, la
variable aléatoire X qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi
normale  d’écart  type  0,44.   L’entreprise  s’est  engagée  à  ce  que
la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25.  Le client
décide  de   construire  un  test    permettant  de  vérifier
l’hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25.
}


\subsubsection{Hypothèse nulle}

On    note    $H_0$     et    on    appelle    \emph{hypothèse    nulle}
l'affirmation~:~$\mu=25$.

Alors,  la variable  aléatoire  $\overline{X}$ qui,  à tout  échantillon
aléatoire de taille  $n=125$ associe la moyenne de  cet échantillon suit
approximativement       la      loi       normale       $\mathcal      N
\left(25;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, c'est-à-dire $\mathcal      N
\left(25;0,039\right)$.

Cherchons le réel positif $a$ vérifiant~:

\[p(25-a\ie \overline{X}\ie 25+a)=0,95\]


Introduisons $T=\frac{\overline{X}-25}{0,039}$. On  cherche donc $a$ tel
que~:
\[p(-\frac{a}{0,039}\ie T\ie \frac{a}{0,039})=0,95\]


\[2\Pi \left(\frac{a}{0,039}\right)-1=0,95\]

\[\Pi \left(\frac{a}{0,039}\right)=0,975\]

On obtient, à l'aide de la table~:

\[a=0,039\times 1,96\approx 0,08\]

Ainsi~:

\[p \left(24,92\ie \overline{X}\ie 25,08\right)=0,95\]


En  supposant  $\mu=25$,  on  sait,  avant de  prélever  un  échantillon
aléatoire de taille 125, que l'on a $95\%$ de chance que sa moyenne soit
dans l'intervalle $[24,92 ; 25,08]$.

Autrement  dit, dans  ces  conditions, il  n'y  a que  $5\%$ de  chances
d'obtenir une moyenne en dehors de cet intervalle.


\subsubsection{Règle de décision}

\begin{itemize}
\item Si  la moyenne  de  l'échantillon  appartient à  $[24,92  ; 25,08]$,  on
accepte $H_0$~;
\item sinon, on rejette $H_0$
\end{itemize}


Le seuil  de $5\%$ est la  probabilité de rejeter $H_0$  alors que $H_0$
est vraie.

Ici,  on  a  mesuré une  moyenne  de  $25,1$  sur l''échantillon.  On  a
$25,1\not\in[24,92  ; 25,08]$.  On  rejette donc  l'hypothèse $H_0$.  Au
seuil de  $5\%$, on considère que le  stock entier de billes  n'a pas la
moyenne annoncée par le fabricant de 25 et on refuse la livraison.


\subsubsection{Hypothèse alternative}

Dans l'exemple précédent, on a choisi comme \emph{hypothèse alternative} $H_1$
le cas  où $\mu\neq 25$. On  dit alors que le  test est \emph{bilatéral}
car  il existe  deux régions  critiques, à  l'extérieur  de l'intervalle
$[24,92 ; 25,08]$.

On peut plutôt préférer un  test \emph{unilatéral} (ce sera précisé dans
l'énoncé...). Par  exemple, on  peut prendre $\mu>25,08$  comme hypothèse
alternative $H_1$. La région critique  est alors située d'un seul côté de
la région où on accepte $H_0$.



\section{Des exercices}

\exot{}
Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges en plastique de longueur théorique $100$~mm.
Un client reçoit un lot important de tiges de ce type. Il veut vérifier que la moyenne $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en mm, des tiges constituant ce lot est égale à la longueur théorique.\\
On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans le lot, associe sa longueur en mm. La variable aléatoire $L$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $0,16$.\\
On désigne par $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 90~tiges prélevé dans le lot, associe la moyenne des longueurs de ces tiges (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma=\dfrac{0,16}{\sqrt{90}} \approx 0,017$.\\
Le client construit un test d'hypothèse :
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item L'hypothèse nulle est $\textbf{H}_0$ : $\mu=100$.
\item L'hypothèse alternative est $\textbf{H}_1$ : $\mu \neq100$.
\item Le seuil de signification est fixé à 5 \%.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $\textbf{H}_0$ déterminer le réel positif $h$ tel que :
\[P(100 - h < \overline{L} < 100 + h) = 0,95.\]
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Le client prélève un échantillon aléatoire de 90 tiges dans la livraison et il constate que la moyenne des longueurs de l'échantillon est de 100,04 mm. Le client estime que le fournisseur n'a pas respecté ses engagements et renvoie tout le lot.\\
Le client a-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}




\exot{}
Une  entreprise spécialisée  produit des  boules de  forme  sphérique en
grande série.\\
Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure
pour cela le diamètre des boules d'un échantillon (E) de 50~pièces.
	La moyenne  obtenue sur  l'échantillon (E) amène  à se  poser la
question  :  \og  Le  diamètre  moyen $m$  des  boules  fabriquées  est-il
strictement inférieur à 73~mm ?\fg{}.

  Pour cela,  on  construit un  test
d'hypothèse au risque de 5\:\%.\\ 
L'hypothèse  nulle H$_{0}$ est : $ m =73$ ;\\
 L'hypothèse alternative H$_{1}$ est : $m < 73$.\\ 
On admet que la variable aléatoire $\overline{D}$, qui mesure le diamètre moyen sur
un échantillon de 50~boules prélevées au hasard et avec remise, suit une
loi     normale     de      moyenne     $73$     et     d'écart     type
$\dfrac{0,2}{\sqrt{50}}$.
\begin{enumerate}
		\item   Calculer   le    nombre   réel   $a$   tel   que
$p(\overline{D} \geqslant 73 - a) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item Au risque de 5\:\%  et au vu de l'échantillon (E),
que peut-on conclure ?
	\end{enumerate}



\exot{}

	Une   entreprise  fabrique,  en   grande  quantité,   des  tiges
métalliques  cylindriques  pour   l'industrie.  Leur  longueur  et  leur
diamètre sont exprimés en millimètres.

Dans cette  question on  s'intéresse au diamètre  des tiges,  exprimé en
millimètres.\\ On  prélève au  hasard et avec  remise un  échantillon de
50~tiges  dans la  production  d'une journée.\\  Soit $\overline{D}$  la
variable  aléatoire qui,  à tout  échantillon de  50 tiges  prélevées au
hasard  et avec  remise dans  la  production d'une  journée, associe  la
moyenne des  diamètres des  tiges de cet  échantillon.\\ On  suppose que
$\overline{D}$ suit la loi normale  de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart
type   $\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$   avec   $\sigma  =   0,19$.\\   Pour
l'échantillon  prélevé, la  moyenne  obtenue, arrondie  à $10^{-2}$  est
$\overline{x}= 9,99$.

\begin{enumerate}
\item  À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une
estimation  ponctuelle  de la  moyenne  $\mu$  des  diamètres des  tiges
produites dans cette journée.

\item   Déterminer un intervalle  de confiance centré sur $\overline{x}$
de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites pendant la journée
considérée, avec le coefficient de confiance 95\:\%.

\item   On considère  l'affirmation suivante : \og la  moyenne $\mu$ est
obligatoirement  dans l'intervalle  de  confiance obtenu  à la  question
\textbf{2}   \fg{}.\\  Est-elle   vraie  ?   (On  ne   demande   pas  de
justification).

\end{enumerate}




\exot{}

On considère  une grande  quantité de pièces  devant être livrées  à une
chaîne  d'hypermarchés.  On  considère  un échantillon  de  $100$~pièces
prélevées  au  hasard  dans  cette  livraison. La  livraison  est  assez
importante pour  que l'on  puisse assimiler ce  tirage à un  tirage avec
remise.

On constate que $96$~pièces sont sans défaut.

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle  de la fréquence inconnue $p$ des
pièces de cette livraison qui sont sans aucun défaut.
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~pièces
prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence
des pièces de cet échantillon qui sont sans défaut.

On suppose  que $F$ suit la loi  normale de moyenne $p$  et d'écart type
$\sqrt{\dfrac{p(1-  p)}{100}}$, où  $p$  est la  fréquence inconnue  des
pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut.

Déterminer  un intervalle  de  confiance  de la  fréquence  $p$ avec  le
coefficient de confiance de 95\%.
\end{enumerate}



\exot{}


La machine se déréglant dans le temps, on veut tester la moyenne $m$ des
longueurs des barres produites par la  machine. On se demande si on peut
accepter, au  seuil de  risque de 5\:\%,  l'hypothèse selon  laquelle la
moyenne $m$  des longueurs des  barres est encore de  $92,50$~cm.\\ Pour
cela, on  construit un test  d'hypothèse bilatéral.\\ On suppose  que la
variable  aléatoire ~X,  qui à  tout échantillon  de 30~barres  de métal
prélevées au hasard associe la  moyenne des longueurs en centimètres des
barres de l'échantillon, suit une  loi normale de moyenne $m$ et d'écart
type  $0,03$.\\   On  choisit   l'hypothèse  nulle  H$_{0}   :  «   m  =
92,50 »$.

\begin{enumerate}
\item Donner l'hypothèse alternative H$_{1}$.
\item Sous l'hypothèse
H$_{0}$, calculer  le réel $h$  tel que $P(92,5  - h < X  < 92,5 +  h) =
0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.  
\item  On
prélève  un  échantillon  de  30  barres extraites  au  hasard  dans  la
production de la machine, on obtient les résultats suivants : \\

\medskip

\noindent               \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering
        \arraybackslash}X|}}
\hline
Longueurs  (en cm)&  92,1& 92,2&  92,3&  92,4& 92,5&  92,6& 92,7&  92,8&
92,9\\ 
\hline
Nombre de barres& 3& 2& 6& 5& 5& 3& 2& 2& 2\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip
Au vu  des résultats  de cet échantillon,  peut-on admettre au  seuil de
risque de 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs
des barres est encore de 92,50~cm ?
\end{enumerate}








\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
