%% Last modified: <TPBankNote.tex modifié par  Guillaume CONNAN le Tuesday 11 December 2018 à 11h 49min 47s>


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\title{MPS TP1: Les clés de détection d'erreur}

\author{Mathématiques} %Guillaume \textsc{Connan} }

\date{2\up{nde} / 2018-2019 }



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\begin{document}

\maketitle


\section{Travail à faire}

Des informations vous sont fournies dans ce document. Il s'agit ensuite d'écrire
un   compte-rendu  donnant   un   maximum  d'informations   et  comportant   des
démonstrations. Libre à vous d'imaginer le  plan de ce compte-rendu et d'ajouter
d'éventuelles  informations complémentaires.  Votre compte-rendu  doit avoir  un
contenu mathématique...

%Vous pouvez imaginer également un outil de détection avec Python ou un tableur.

\section{Billets de banque}

On a retrouvé sur la scène du crime  des planches de faux billets japonais. On a
également retrouvé  des billets  en euros qui  semblent vrais  ce qui
inquiète  les  autorités  françaises.  Est-ce  que les  Yakusas  sont  en  train
d'introduire des faux billets en Europe?

\sm

Regardez ces billets retrouvés due la scène du crime.
Ils comportent un numéro.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{euro20}
\end{center}

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{euro50}
\end{center}

Il y a en  fait une lettre et onze chiffres. On remplace  la lettre par son rang
dans l'alphabet. Pour le billet de 20 euros,
Y est la 25\eme lettre. Donc le numéro est en fait \[2\,500\,309\,901\,015\]

Il faut savoir que \textbf{les
numéros des billets en euros ont un reste dans la division par 9 toujours égal
à 8.}



Comment  le vérifier  sur ces  billets?  Connaissez-vous une  règle simple  pour
démontrer qu'un nombre est divisible par 9? Pourriez-vous le démontrer?


On pourra regarder ce cours de 6\eme sur la division euclidienne:

\href{http://www.educastream.com/division-euclidienne-6eme}{http://www.educastream.com/division-euclidienne-6eme}


On pourra s'aider du fait que l'écriture $2\,119\,586\,900\,453$ signifie que ce
nombre est égal à:

\[2×10^{12}+1×10^{11}+1 ×10^{10}+9×10⁹+5×10⁸+\cdots+4×10²+5×10¹+3×10⁰\]


Réfléchissez  d'abord   sur  des  petits   nombres.  Menez  l'enquete
mathématique sur la règle de divisibilité par  9 et 3 et essayez d'aboutir à une
démonstration.

On pourra se  souvenir que $10 = 9 +  1$ et donc que le reste  de la division de
10 par 9 est 1 :)

Comment utiliser cette règle pour les billets de banque?


On pourra s'aider de la vidéo suivante:

\href{https://fr.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-factors-multiples/pre-algebra-divisibility-tests/v/the-why-of-the-9-divisibility-rule}{https://fr.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-factors-multiples/pre-algebra-divisibility-tests/v/the-why-of-the-9-divisibility-rule}

\sm

On a retrouvé des billets tâchés de sang.  Que manque-t-il?


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{euroIncomplet}
\end{center}

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{euroIncomplet2}
\end{center}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{euroIncomplet3}
\end{center}


Existe-t-il des cas où une erreur de saisie  sur un chiffre du code du billet ne
peut pas être détectée?

Que se passe-t-il si on a interverti deux chiffres?


Depuis 2014 il  y a maintenant deux  lettres suivis de 10  chiffres. On remplace
encore les lettres  par leur rang et on  vérifie que le reste de  la division du
nombre obtenu par 9 vaut 7. Pouvez-vous énoncer une règle de contr^ole commune pour ces deux
familles de billet?

Que va-t-il se passer quand les billets à trois lettres arriveront? L'algorithme
unifié sera-t-il encore valable?




\section{Carte bancaire}

Un numéro de carte bancaire est constitué de 16 chiffres. Le seizième chiffre correspond à la clé qui permet de valider la carte.
C'est  l'algorithme de  \textsc{Luhn} qui  permet  de déterminer  cette clé.  Il
permet de vérifier un numéro mais ne valide pas l'existence de la carte.

En partant de la gauche,
\begin{itemize}
\item multiplier par deux chaque chiffre de rang impair ; si le résultat de cette multiplication par deux est supérieur à 9, lui soustraire 9 ;
\item garder les autres nombres tels qu'ils sont ;
\item additionner ensuite tous les chiffres obtenus : ceux qui ont été multipliés par deux et ceux qui n'ont pas été modifiés ;
\item prendre le reste R de cette somme dans la division par dix.
\end{itemize}
Si ce reste R  est nul, le garder comme clé sinon prendre  son complément à dix,
la clé est donc $10 - R$.

Les chifres de la carte suivante retrouvée sur la scène du crime sont-ils corrects:









Un numéro de carte bancaire est donc de la forme:

\[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\]

où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.

Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.

$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.

L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{r X}
\textbf{Initialisation} :& $I$ prend la valeur $0$\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
$P$ prend la valeur $0$\\
$R$ prend la valeur $0$\\
\end{tabular}\\
\textbf{Traitement} : &Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :\\
&$R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9\\
&$I$ prend la valeur $I + R$\\
&Fin Pour\\
&Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
$P$ prend la valeur $P + a_{2k}$\\
\end{tabular}\\
&Fin Pour\\
&$S$ prend la valeur $I + P + c$\\
\textbf{Sortie} : &Si $S$ est un multiple de 10 alors :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
Afficher \og Le numéro de la carte est correct. \fg\\
\end{tabular}\\
&Sinon :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
Afficher \og Le numéro de la carte n'est pas correct. \fg\\
\end{tabular}\\
&Fin Si\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère le numéro de carte suivant: 5635\: 4002\:9561\:3411.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter  le  tableau suivant  permettant  d'obtenir  la
                  valeur finale de la variable $I$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$2a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$R$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$I$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
                  
		\item Justifier que le numéro de la carte 5635\: 4002\:9561\:3411 est correct.
		\item On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. 
		
Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 

6$a$35\:4002\:9561\:3411 reste correct ?
	\end{enumerate}
\item On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire.
	
Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
\item Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
\item On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.

On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1.
	
Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?
\end{enumerate}


\end{center}







\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{./small/CB}
\end{center}


\section{Autres clés}

Il existe également des clés pour les numéros INSEE, ISBN, les codes barres, les
numéros de compte bancaire. Menez l'enquête.


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%%% End:
