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\newcommand{\xcas}{\lstset{numbers=none,language=mupad,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,
    backgroundcolor=\color{0.8white},breaklines=true}
}

% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

\newcommand{\NoLecon}{}
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\newcommand{\NomChap}{}
\newcommand{\NomLecon}{}
\newcommand{\NumLecon}{}



%%%%%% TITRE{vide}{intitule chapitre : lecon, chapitre ...}{debut titre}{fin titre}{titre toc}{dessin}
%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\newcounter{NumLecon}
\newcommand{\TITRE}[6]{%
\thispagestyle{empty}
\stepcounter{NumLecon}
% \setcounter{pb}{0}\setcounter{sec}{0}\setcounter{num}{0}\setcounter{solnum}{0}
% \setcounter{Def}{0}\setcounter{Prop}{0}\setcounter{Th}{0}\setcounter{rem}{0}\setcounter{exemp}{0}
\renewcommand{\NomLecon}{#5}
\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0cm}
\begin{center}
\sffamily\textcolor{0.2white}{\huge\textsc{#2 \ \theNumLecon}}\\
\bigskip\bigskip\bigskip
\textcolor{0.2white}{\bfseries\scalebox{1}[2]{ \huge{ #3}}} \\
\vspace{.8cm} 
\textcolor{0.2white}{\bfseries\scalebox{1}[2]{\huge{ #4}} }
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}\vspace{-0.5cm}      % ๏ฟฝrajouter si on veut une illustration
\hspace{-2cm}
\includegraphics[height=6cm]{#6}
\end{minipage}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\textcolor{0.2white}{\large  \textsc{ Chapitre\ \theNumLecon} : \ \textsc{ #5}}} \\ \smallskip}
}




\newcommand{\Mathbold}[1]{\mbox{\boldmath$#1$\unboldmath}}

\newcommand{\sm}{\smallskip} 

\def\bbz{\mathbb{Z}}%
\def\bbn{\mathbb{N}}%
\def\bbr{\mathbb{R}}%
\def\bbq{\mathbb{Q}}%
\def\bbd{\mathbb{D}}%


\newcommand{\AR}{\mathcal{A}}
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% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}



\newcommand{\ie}{\leqslant}  % infï¿½ieur ou ï¿½al
\newcommand{\se}{\geqslant}  % supï¿½ieur ou ï¿½al





\fancyfoot[C]{Page \thepage}
% \fancyhead[RO,LE]{\thepage} \fancyhead[RE,LO]{ }
\fancyhead[R]{{\scriptsize\textsl{  2\textsuperscript{nde}  4  -  Lycée
       Jean \textsc{Perrin} - 2009/2010 }}}
% - \sffamily\MakeLowercase{\rightmark} } 
%  \fancyhead[CO]{\large\textbf{TERRE DES NOMBRES } }
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
 \pagestyle{fancy}



\usepackage{mathabx}
\newcommand{\mathbfont}{\usefont{U}{mathb}{m}{n}}


\usepackage{akkadian}
\newcommand{\babun}{{\AKK\dish}}
\newcommand{\babdeux}{{\AKK\min}}
\newcommand{\babtrois}{{\AKK\eshV}}
\newcommand{\babquatre}{{\AKK\shaII}}
\newcommand{\babcinq}{{\AKK\iaII}}
\newcommand{\babsix}{{\AKK\ashIII}}
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\newcommand{\babvingt}{{\AKK\man}}
\newcommand{\babtrente}{{\AKK\esh}}
\newcommand{\babquarante}{{\AKK\ninV}}
\newcommand{\babcinquante}{{\AKK\ninnu}}





\usepackage{tabularx}

%%%%%%% Colonne épaisse
\newcolumntype{I}{!{\vrule width 2pt}}

%%%%%%%%%%%%%%% ligne épaisse
\newlength\savedwidth
\newcommand\whline{\noalign{\global\savedwidth\arrayrulewidth
                                             \global\arrayrulewidth 2pt}%
                                 \hline
                                 \noalign{\global\arrayrulewidth\savedwidth}}




%%%%%%%%%%%%% entete tableau normal
\newcolumntype{N}[1]{  I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}*#1{|@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}}I  }

\setlength\extrarowheight{4pt}

\renewcommand\tabularxcolumn[1]{m{#1}}  % pour centrer verticalement
\newcolumntype{Z}{>{\centering\arraybackslash}X} % pour centrer horizontalement
\newcolumntype{Y}[1]{IcIZ*{#1}{|Z} I}


\newcommand{\vtabb}{\rule[-1.3em]{0pt}{4em}}



\usepackage[tikz]{bclogo}

\newcounter{pbm}

\newenvironment{Probleme}[1][]{%
\refstepcounter{pbm}
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{bclogo}[ombre=true,logo=\bcsmbh,arrondi=0.1,couleur=0.9white]{Exploration \thepbm\ : #1}}
{\end{bclogo}
\end{minipage}
\vspace{0.35cm}
}





\newcommand\frbal[3]{\  {\Large{\textifsym{#1}}}\!\!\!
\raisebox{1ex}{\resizebox{8pt}{9pt}{$\frac{{\rm \textifsym{#2}}}{{\rm \textifsym{#3}}}$}}\,}

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%\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}


\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.25pt} 
\newcounter{num}
\newcounter{tete}
\newcommand{\exop}[1]{\refstepcounter{num}
\setcounter{tete}{\thenum-1}
\vspace{.8cm}

  \fbox{\textbf{\textsf{{{\Large\bcdanger}\ \ {\large Exercice  \thenum\ \  #1}}} \\  }  }\par\nobreak 

\normalsize
 \vspace{0.5cm} }







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%     FIN DU PREAMBULE

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


















\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



\TITRE{I}{Thème }{TERRE DES NOMBRES}{}{}{cartoon-pi}


\begin{multicols}{2}

\section{Explorons l'horizon}


%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[souvenir de vacances]
    Je suis au bord d'une falaise de la côte bretonne et je contemple
l'horizon, là-bas, au loin. La Terre  semble être un disque plat dont je
suis le centre. Au fait, \emph{à quelle distance se trouve l'horizon~?}
    \end{Probleme}
%  \end{figure}




Un petit dessin s'impose...et d'autres problèmes apparaissent...


Comme nous, Ératosthène, directeur de la bibliothèque d'Alexandrie vers $-240$,
    se doutant que la Terre était une sphère, voulut calculer son rayon.


Il  observa  l'ombre  de  deux   objets  situés  en  deux  lieux,  Syène
(aujourd'hui Assouan) et Alexandrie, le 21 juin (solstice d'été) au midi
solaire local. C'est à ce moment précis de l'année que dans l'hémisphère
nord   le  Soleil   détient  la   plus  haute   position   au-dessus  de
l'horizon. Or, Ératosthène remarqua qu'il n'y avait aucune ombre dans un
puits à  Syène (ville  située à peu  près sur  le tropique du  Cancer) ;
ainsi,  à ce  moment  précis, le  Soleil  était vertical  et sa  lumière
éclairait directement  le fond du puits.  Ératosthène remarqua cependant
que  le même  jour à  la  même heure,  un obélisque  situé à  Alexandrie
formait  une ombre  ; le  Soleil  n'était donc  plus à  la verticale  et
l'obélisque avait une ombre décentrée. Il mesura que l'ombre était $7,2$
fois plus petite que l'obélisque.

Ératosthène évalua  ensuite la distance  entre Syène et Alexandrie  : la
distance obtenue était de 
5000 stades, mesure très proche de  la réalité, un stade
(longueur  utilisée dans  les  stades d'Olympie  ou  de Delphes)  valant
environ 157,5 m.




%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[rayon de la Terre]
   En utilisant les mesures  d'Ératosthène, peut-on calculer le rayon
  de la Terre~?
    \end{Probleme}




%  \end{figure}


Un nouveau dessin s'impose...et d'autres problèmes apparaissent...



%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[une approximation géométrique de $\pi$]
Il   n'est  pas  trop   compliqué  de   déterminer  le   périmètre  d'un
hexagone.  \og Coinçons\fg{}  alors  un  cercle de  rayon  $\frac{1}{2}$ entre  deux
hexagones  bien   choisis~:~ça  nous  permettra   d'avoir  une  première
approximation du périmètre du cercle. 

   \end{Probleme}
%  \end{figure}


Des dessins s'imposent... 

Et si on  coinçait notre cercle entre deux  dodécagones~? Puis entre deux
tétraicosagones~?

Et si on allait jusqu'à 96  côtés comme Archimède~? Et si on allait plus
loin grâce à un ordinateur~?

Ou bien, on peut utiliser un autre résultat qui semble étonnant~:


%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[une approximation étrange de $\pi$]

En  1735, Leonard  \textsc{Euler} découvre  au cours  de  ses nombreuses
recherche le résultat suivant~:

\[\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots\]

Le problème, c'est ces $\cdots$

   \end{Probleme}
%  \end{figure}

Notons     $S(1)=\frac{1}{1^2}$,     $S(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}$,
$S(3)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$ et plus généralement~:

\[S(n)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\]


Calculons  $S(1)$,  $S(2)$,  $S(3)$,  $S(4)$.  Des  remarques~?  Comment
faire appel à un ordinateur pour nous aider à aller plus loin~?






\section{Expéditions scientifiques}


\subsection{Voyage à Babylone}


\subsubsection{Numération babylonienne}

Tout à côté  de l'Égypte, au cours du  deuxième millénaire avant Astérix
et Obélix, à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme, d'abord, était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il y avait principalement deux caractères~:~\babun et \babdix.

Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants~:~\babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 

.
\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois~ ?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose~?


\smallskip

Les Babyloniens étaient confrontés  à une petite ambiguité~:~le nombre
\babtrois \ \babvingt\babtrois  qu'on peut noter $[3;23]$ représentait
à la fois 
\begin{itemize}
\item $3\times60+23$~;
\item $3\times60^2+23\times 60$~;
\item $3+23\times\frac{1}{60}$~;
\item etc.
\end{itemize}

En  fait,  cela fait  penser  aux  «~multiplications  à virgules~»  de
l'école primaire où vous «~décaliez~» la virgule quitte à rajouter des
zéros~:~pourquoi~?






\subsubsection{Multiplication babylonienne}
Les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ce
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=5cm]{tablebab1.pdf}
% \end{center}
% et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 
% Voici un
«~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{tablebab2}
\end{center}

Ils disposaient également d'une  table des carrés~; complétez la table
suivante~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{Y{19}}
	     \whline
             $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
             \hline
             $n^2$&1&4&9&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



Pour multiplier 14 par 22, ils avaient ce petit dessin en tête~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{numbab.1}
\end{center}

et il ne restait plus qu'à additionner~:~$14\times22=14^2+8^2+6^2+2^2+2^2+2^2$

Multipliez de la même manière 17 par 31.




\subsection{Voyage en Angleterre}

L'unité de base anglaise pour mesurer les masses est la livre «~\emph{pound}~»
dont l'abbréviation est en toute logique anglaise \textbf{lb}...

Une  livre correspond  \emph{environ} à  453,49g. Pour  des mesures  plus fines,  on  utilise l'once
«~\emph{ounce}~» (\textbf{oz}) qui vaut $\frac{1}{16}$lb et le dram (\textbf{dr})
qui vaut $\frac{1}{16}$oz.

Pour des  mesures plus importantes, on  utilise les pierres  «~\emph{stone}~» (\textbf{st}) sachant
que 1st$=14$lb.

Combien pesez-vous~? Quelle est votre masse en pierre et livre~?

Vous  pesez  votre panier  rempli  de  pommes  et la  balance  indique
\frbal{2}{3}{8}lb~:~qu'est-ce  que ça signifie~?  Quelle est  la masse
correspondant en grammes~?

Et si vous trouvez \frbal{3}{5}{16}oz de diamant dans votre jardin~?








\subsection{Vers nos racines}

Il aurait été plus correct d'intituler cette activité : \textbf{construisons des irrationnels à la règle et à l'équerre}.

Quelle est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1~? Déduisez-en une \textit{construction} de $\sqrt{2}$.

Construisez de même $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{11}$.


\sm

Casse-tête en forme d'escargot adepte du cubisme : quelle est la longueur du dixième segment gris de cette spirale\footnote{Je ne vous demande pas de prouver le résultat mais juste de le deviner} ?


\begin{center}
\includegraphics{Nombres.2}
\end{center}



\subsection{Vers l'infini et au-delà...}

\subsubsection{Curiosité}

Observez ce qu'affiche une calculatrice quand vous effectuez les calculs suivants :

\[ \frac{324-32}{9}\qquad   \frac{3245-32}{99}\qquad   \frac{324510-32}{9999} \]

Sans preuve, essayez d'écrire 57,333333333333333333333\dots sous forme de fraction.

\subsubsection{Une histoire de \dots}

Par convention, les \dots veulent dire qu'il y a une infinité de 3 à droite de la virgule. C'est un peu vague, nous en reparlerons plus bas. 

À  votre avis, que vaut 1,333\dots $-1$,333 ? 1,333$-$ 1,333 ? $1,333\dots -1,33$ ?

Tout ça reste un peu empirique.

\subsubsection{L'algèbre au secours de la numération}

Nous aimerions prouver ce que nous avons observé tout à l'heure. Essayons donc d'écrire 32,444\dots sous forme de fraction, puisque la machine nous dit que \textit{ça a l'air} possible. 

Comme c'est embêtant d'écrire 32,444\dots, nous allons lui donner un petit surnom, par exemple \textit{Joe}.

Donc $Joe=32,444\dots$. 

\textbf{LA ruse} : que vaut $10\times Joe -Joe$ ? Déduisez-en  que \textit{Joe} est un nombre rationnel puis retrouvez les résultats précédents.



\subsubsection{Développement décimal périodique}

Posez la division de 1 par 3, vous obtenez sans cesse le reste 1 et le développement décimal est donc 0,33333333333\dots

En fait, il existe une écriture qui évite les \dots : $0,\underline{3}$ signifie de la même manière que le 3 se répète infiniment.

Voyez ce que donne 13/7.

\begin{center}
\opdiv{13}{7}
\end{center}

Donc on écrit \opdiv[period,style=text]{13}{7}

\subsubsection{Si, et seulement si}

\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé, mais est-ce que \textbf{si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave~?


La première proposition\footnote{\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé} est une \textbf{implication} vraie : nager en maillot de bain dans un lac syldave implique d'être mouillé.

On utilise le symbole  $\Longrightarrow$ pour matérialiser cette implication :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\Rightarrow\text{être mouillé}\]

La deuxième proposition\footnote{\textbf{Si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave} est l'\textbf{implication réciproque}. Dans le cas qui nous occupe, cette implication réciproque  est fausse

\[\text{être mouillé}\nRightarrow\text{nager en maillot dans un lac syldave}\]


On dit que ces deux propositions ne sont pas \textbf{équivalentes} :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\nLeftrightarrow\text{être mouillé}\]



\sm


Que pensez-vous de  l'affirmation~:~\emph{Un quadrilatère est un carré
si, et seulement si, c'est un rectangle}~?


\sm


Et  celle-ci~:~\emph{Un  quadrilatère est  un  parallélogramme si,  et
seulement si, il a deux côtés opposés et de même longueur}




\sm




Revenons à nos nombres.


En pensant à la division posée, expliquer pourquoi un nombre rationnel admet forcément un développement décimal périodique.

Inversement, expliquez pourquoi un nombre admettant un développement rationnel périodique est forcément rationnel.

Comment exprimer ces résultats en termes d'équivalence~?



\subsubsection{Les limites du développement décimal}

\'Ecrivez sous forme de fraction le nombre 1,\underline{9}.

Des remarques~?






























\section{Des algorithmes...}


\subsection{Valeur absolue}


La valeur absolue d'un nombre est égale à sa distance à zéro...

\subsection{Jardinage et grattage}


Avec le réchauffement de la planète, Rezé est devenu une oasis au milieu
d'un désert de sable. Seule végétation à avoir résisté, un alignement de
50 palmiers espacés de 1 mètre  sont l'objet de toutes les attentions du
dernier jardinier encore  en exercice. Il dispose d'un  arrosoir dont la
capacité correspond aux besoin d'un palmier et d'un point d'eau situé au
pied du premier palmier. Combien  de mètres parcourt-il pour arroser tous
les palmiers~?

\smallskip

Autre problème~:~vous avez  gagné au grand tirage au  sort des abonnés à
\emph{Voilà}. La  direction du  magazine vous offre  de vous  verser sur
votre compte en banque 1 euro  après un mois d'abonnement, 2 euros après
2 mois, 3 euros après 3 mois,  etc. Si vous ne dépensez rien, de combien
disposerez-vous après 50 mois d'abonnement~?




\subsection{Héron d'Alexandrie}

Contemporain de l'empereur Auguste,  Héron d'Alexandrie est célèbre pour
avoir déterminé un moyen  d'obtenir une approximation de $\sqrt{2}$ mais
les Babyloniens connaissait cette technique bien avant lui.

 Le secret de  la méthode part de la  constatation suivante~:~si $x$ est
 un nombre plus grand que  $\sqrt{2}$ alors $\frac{2}{x}$ est plus petit
 que $\sqrt{2}$. Pouvez-vous le prouver~?

\smallskip

Si  on  part de  $x=2$,  qu'est-ce  que  cela prouve~?  Mmmmmmmm...  pas
terrible.

Prenons le milieu entre $x$ et $\frac{2}{x}$~:~est-il plus grand ou plus
petit que $\sqrt{2}$~? Comment en être toujours sûr~?


\subsection{François Viète}



En 1593,  entre deux  poules au  pot dégustées en  l'honneur du  bon roi
Henri IV, François Viète prouva la formule suivante~:

\[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\times \cdots\]

Utilisez cette formule pour obtenir une bonne approximation de $\pi$.















\section{Exercices techniques}

\exop{} 

 

Répondre par vrai ou faux en justifiant vos réponses~:
\begin{enumerate}
\item  Un entier est positif.
\item  Un entier n'est pas un décimal.
\item  Un décimal est un rationnel.
\item  Un quotient de deux nombres est un rationnel.
\item  Un nombre peut être à la fois un entier naturel et un entier relatif.
\item  3 est un nombre rationnel.
\end{enumerate}


\sm

 

\exop{} 

 
 On considère tous les nombres compris entre -4 et 3 inclus.
\begin{enumerate}
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbn$ ~?
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbz$ ~?
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbq$ ~?
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit entier non naturel.
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit un rationnel non décimal.
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit un réel mais pas un rationnel.
\end{enumerate}




 

\exop{} 

 

				On donne un rectangle STUV dont les dimensions exactes en centimètres sont : 	
				$$ST = L = 16 + 4\sqrt2 ~\textrm{ et } ~TU = l = 16 - 4\sqrt2.$$
				Calculer, en détaillant et en donnant les valeurs exactes des résultats :
				\begin{enumerate}
				\item Le périmètre $\PR$ du rectangle $STUV$ en centimètres.
				\item L'aire $\AR$ ~du rectangle $STUV$ en centimètres carrés.
				\item La longueur $d$ de la diagonale du rectangle $STUV$ en centimètres.
				\end{enumerate}




 
\vspace{1cm}

\exop{} 


 

 Compléter toutes les cases du tableau suivant par le symbole $\in$ ou $\notin$\\



	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
  &\rotatebox{90}{$\cfrac{35}{7}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{27}{100}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$}& 
  \rotatebox{90}{$1+ 2\sqrt{3}$} &
  \rotatebox{90}{$-\cfrac{1+ 2}{3}$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{12}{7+ 5}$} &
	\rotatebox{90}{$\sqrt{5^2-4^2}$} &
	\rotatebox{90}{$(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{3 + 2\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{341}{19}$} 
  \\\hline
	$\bbn$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbz$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbd$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbq$ & & & & & & & & & & \\ \hline
        $\bbr$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	\end{tabular} 
	\end{center}


 

\exop{} 

 

	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\sqrt{1+\frac{3}{5}}\times\sqrt{1-\frac{3}{5}}$ est rationnel.
	\item Montrer que $\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$ et $\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)^2$ sont des entiers.
	\item Montrer que $\left(\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2$  est un rationnel.


\item  Plus généralement,montrer que les nombres  $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ et $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ le sont aussi.
	\end{enumerate}


 

\exop{} 
	
 

Un fil de section $S$ comporte $n$ électrons par unité de volume se déplaçant à la vitesse $v$.\\
L'intensité $I$ du courant circulant dans ce fil est donnée en ampère par la formule :
$$ I=nSqv $$
où $q$ désigne une charge électrique.\\

On donne :

\begin{multicols}{2}


$n=6  \times 10^{26}~m^{-3}$\\
$q=1,5  \times 10^{-19}~C$\\
$v=2 \times 10^{-3}~m.s^{-1}$\\
$S=1,2  \times 10^{-6}~m^2$.

\end{multicols}


\begin{enumerate}
\item Faire le calcul de $I$, en ampère, à l'aide de la calculatrice, et donner le résultat.
\item Faire le calcul à la main en détaillant les étapes.
\end{enumerate}


 
\sm

\exop{} 

 


Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : $A=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.


 

\exop{} 

 


Écrire sous forme de fraction irréductible : $B=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}}$.



 


\exop{}

 


Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=\sqrt{8}+\sqrt{2}$, \quad
$AC=\sqrt{3}+2\sqrt{27}$ \quad et \quad $BC=\frac{\nombre{184148}}{\nombre{63217}}$.\\

\begin{enumerate}
\item Donner à l'aide de la calculatrice un encadrement à $10^{-2}$ près
  de chacun des côtés.
\item Donner les valeurs exactes de $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.
\item Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
\end{enumerate}




 

\exop{} 
 

\begin{enumerate}

\item Décomposer le nombre $1\, 008$ en produit de facteurs
premiers.

\item \' Ecrire le nombre $\sqrt {1\, 008}$ sous la forme $a\sqrt
7$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}


 

\exop{} 

 

Soit $x$ un nombre réel. On pose
$$
   A = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1}
      \qquad {\rm et} \qquad
   B = \frac{2x}{\sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}
$$ 

\begin{enumerate}

\item Avec une calculatrice, déterminer des valeurs approchées à
      $10^{-10}$ près de $A$ et $B$ pour~:
$$
   x = 10^4
     \qquad \qquad
    x = 10^{18}
     \qquad \qquad
    x = -3
$$

\item Démontrer par le calcul que $A=B$.

\item Comment peut-on expliquer les résultats de la question {\bf
     1.}~?
\end{enumerate}


 

\exop{} 

 

Pour trouver la nature d'un nombre, on le simplifie au maximum pour trouver le plus petit ensemble auquel il appartient.

  Déterminer la nature des nombres suivants :
\[
A=\frac{-\sqrt{144}}{3}; \qquad
B=\frac{\pi}{314}; \qquad
C=\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{45}; \qquad
D=\left(5\sqrt{3}+2\right)^2-20\sqrt{3} 
\]


\[
E=\frac{\pi}{3} \div \frac{\pi}{11}; \qquad
F=5,3939\overline{39}\textrm{\dots}; \qquad
G=5,37-11,6
\]

%\textcyr{YA lyublyu moi utchelnik a on durak ?        }





 

\exop{} 

 



%  Compléter le tableau suivant :

%   \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}
% \hline
%     valeur exacte & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{2000}{7}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{\pi}{60}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\cos{80^\circ}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{3\sqrt{7}-9}{2}$} \\
% \hline
% Valeur approchée à $10^{-3}$ près & & & & \\
% par défaut & & & & \\
% par excès & & & & \\
% \hline
% valeur arrondie à  $10^{-3}$  & & & & \\ 
% \hline
%   \end{tabular}

\begin{enumerate}
\item  Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
\begin{enumerate}

\item $H = 4,5 \times 10^5 \times 6,4 \times 10^4;$
\item $I = -2,45 \times 10^{-4} +54,7 \times 10^{-4};$
\item $J = \frac{4,8 \times 10^{-11} \times 27 \times 10^5}{1,2 \times 10^{-3}}$
\end{enumerate}

\item La vitesse de la lumière est  d'environ $3\times 10^8$~m/s. La distance moyenne entre la Terre
  et le Soleil est d'environ $149 \times 10^6{\textrm km}$. Calculer le temps mis par un rayon lumineux du Soleil pour atteindre la Terre.

\end{enumerate}



 

\exop{} 

 

\begin{enumerate}
    
    \item Développer et réduire l'expression $(n+1)^2 - n^2$.
    \item En déduire que tout nombre entier impair est la différence de deux carrés.
    
  \item Trouver une différence de deux carrés égale à 13, puis une autre égale à 45.
  \end{enumerate}


 

\exop{} 

 

 Montrer les égalités suivantes :

\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $\frac{\nombre{1000}+\nombre{0,00003}^2-10^3}{6\times 10^{-9}} =
    0,15$
\item   $16   -   \left(\sqrt{3}-5\right)^2  =   \left(9-\sqrt{3}\right)
  \left(\sqrt{3}-1\right)$
\item $\frac{5-\sqrt{2}}{23} = \frac{1}{5+\sqrt{2}}$
\item $\frac{\sqrt{5}+1}{5+\sqrt{5}} + 7\sqrt{5} = \frac{36\sqrt{5}}{5}$
  \end{enumerate}

\end{multicols}




\exop{}

Développer et réduire :\\
$A=(4-\sqrt{5})^2 \qquad B=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$
$C=(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5}) \qquad D=(4\sqrt{3}-2)(3+\sqrt{3})$

\exop{}

Factoriser les expressions suivantes :

\begin{multicols}{2}

$A(x)=64x^2-49$

$B(x)=21x^2-14x$

$C(x)=4x^2-4x+1$

$D(x)=(4x-3)^2-25$


$E(x)=4(x-1)^2-2(x-1)(x+3)$

$F(x)=4(x-2)^2-16$

$G(x)=(5x+3)^2-(6x-2)^2$

\end{multicols}

\exop{}


Déterminer les constantes $a$, $b$ et $c$ tels que : 
$\dfrac{6x^2-x+4}{2x-3}=ax+b+\dfrac{c}{2x-3}$.


\exop{}

Exprimer chacun des nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sous forme d'une
fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul :

\begin{multicols}{2}

$a=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\div\frac{5}{2}$\\


$b=\frac{13\times10^{14}\times10^6}{2\times\left(10^3\right)^7}$\\

$c=\sqrt{\dfrac{49}{100}}+\frac{\left(\sqrt3\right)^2}{10}$\\

$d=\frac{1}{20}\left(\sqrt{14}-1\right)\left(\sqrt{14}+1\right)$
\end{multicols}



\exop{}


Parmi les expressions suivantes, indiquer les sommes, les produits et les quotients.\\

\begin{tabular}[l]{lll}
$A(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+1}$ & $ B(x)=\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{1}{4}$
&
$C(x)=\dfrac{4x}{3}(x-2)$ \\
 $ D(x)=(5x-1)^2$
&
$E(x)=(x-3)2x+7$ & $ F(x)=3x(x+1)$\\ 
\end{tabular}

\vspace {5mm}

NB : on fera des phrases du type : \og{}$G(x)$ est le produit de $(x+7)$ par $(x-3)$.\fg{}

\exop{}


Retrouver parmi les expressions suivantes celles qui correspondent à des développements de carrés :\\

\begin{tabular}[l]{ll}
$A(x)=x^2+2x+1\qquad$ & $\qquad B(x)=4x^2-4x+1$\\
&\\
$C(x)=x^2+3x+9\qquad$ & $\qquad D(x)=4x^2+12x+9$\\
\end{tabular}

\exop{}


Soit l'expression $f(x)=-x^2+\dfrac{6}{x}$.\\

Calculer l'expression pour les valeurs suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x=3$ ;
\item[$\bullet$] $x=-2$ ;

\item[$\bullet$] $x=\sqrt{3}$ ;
\item[$\bullet$] $x=\dfrac{3}{2}$.
.\\
 \end{itemize}
\end{multicols}


\exop{}


Vérifier que  les trois expressions  suivantes correspondent à  une même
expression~:
\[x(2x-1)-3\ ;\qquad (2x-3)(x+1)\ ;\qquad2 \left( x-\dfrac{1}{4} \right)^2-\dfrac{25}{8}\]


\exop{}


\begin{enumerate}
\item Vérifier les égalités suivantes : \quad $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{5}-2$ et \quad $\sqrt{11-6\sqrt{6}}=3-\sqrt{2}$.
\item Calculer : \quad $A=3 \sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}+2 \sqrt{\left(2\sqrt{2}-3\right)^2}-\sqrt{11-6\sqrt{6}}=3-\sqrt{2}$.
\end{enumerate}



%  

% \exop{} 

%  



% Quel calcul effectue-t-on si on tape sur la calculatrice :\\ 

% \begin{center}
% \tisqrt\Cpo\CCinq\CPlus\CQuatre\Cpf\CMult\CTrois\CDiv\CCinq\CPlus\CSix
% \end{center}


\end{multicols}










\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
