\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage[height=183mm,width=250mm]{geometry}
\usepackage{preambule}


%\usepackage[upright]{fourier}

%\entete{}{}{}%g,d,b
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Photos/Maths/}}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Exercices TS4 : nombres complexes I
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{2}


\exot{Lignes trigonométriques de $\pi/12$}

\'Ecrivez sous forme trigonométrique $z=\fr{\sqrt{6}-j\sqrt{2}}{2(1-j)}$ puis sous forme algébrique et déduisez-en $\cos\pa{\fr{\pi}{12}}$ et $\sin\pa{\fr{\pi}{12}}$


\exot{\'Equations du second degré}

Résolvez dans $\bbc$ les équations suivantes :
$$a)\ z^2+1=0\qquad b)\ z^2+z+1=0\qquad c)\ z^2-j\sqrt{2} z-j\fr{\sqrt{3}}{2}=0$$
$$d)\ z^2+5(1-j)z-4(3+4j)=0 \qquad e)\ z^4+(1-2j)z^2-2j=0$$

$$ f)\ (z-1)^6+(z-1)^3+1=0$$

\exot{\' Equation dans $\bbc$}

Déterminer la solution complexe $z_0$ de l'équation
$$
   {z+1 \over z-1} = 1+i.
$$

\exot{Système d'équations dans $\bbc$}

Déterminer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que
$$
   \begin{cases}
      2z_1 + z_2 = 4\\
      -2iz_1 + z_2 = 0
   \end{cases}
$$


\exot{Impédance complexe}

On note $j$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$.

On donne le nombre complexe 
$$
   \underline \alpha = {\underline Z_2\over \underline Z_1 (\underline
   Z_2 + R) + \underline Z_2 R},
$$
avec $R = 900$, $\underline  Z_1 = 1\, 100j$, $\underline Z_2 = -600j$.

Mettre le nombre complexe $\underline \alpha $ sous la forme algébrique
$a + bj$.




\exot{Impédance complexe}

On note $j$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$.

L'impédance complexe d'un circuit est telle que
$$
   \underline Z = {\underline Z_1 \times \underline Z_2\over
   \underline Z_1 + \underline Z_2 + \underline Z_3},
$$
avec $\underline Z_1 = 1+2j$, $\underline Z_2 = -1+3j$ et $\underline
Z_3 = 4+5j$.

Mettre $\underline Z$ sous la forme algébrique $a+bj$.



\exot{\' Ecriture sous forme trigonométrique}

Déterminer les formes trigonométriques des nombres
$$
   z_1 = 3j,
      \qquad
   z_2 = -5,
      \qquad
   z_3 = 2-2j
      \qquad
   z_4 = 1 + j\sqrt3 
$$

\exot{Module et argument d'une puissance}

On considère les nombres complexes~:
$$
   z_1 = \sqrt 3 - j,
      \qquad
   z_2 = 2 - 2j,
      \qquad
   A = {z_1^4 \over z_2^3}
$$
(où $i$ désigne lme nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi
/2$).

\begin{enumerate}

\item Déterminer le module et un argument des nombres
complexes $z_1$, $z_2$, $z_1^4$, $z_2^3$ et $A$.

\item En déduire la forme algébrique des nombres complexes
$z_1^4$, $z_2^3$ et $A$.

\item Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de
$\displaystyle \cos {\pi \over 12}$ et $\displaystyle \sin {\pi \over
12}$. 

\item {} Vérifier les résultats obtenus avec votre calculatrice.

\end{enumerate}


\exot{Racine carrée dans $\bbc$}

Résoudre dans $\bbc$ l'équation
$$
   z^2 = 3 - 4j
$$


\exot{\' Equation  à coefficients dans $\bbr$}

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\bbc$ l'équation
$$
   z^2 - 2\sqrt 2 z + 4  = 0.
$$

\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.

\end{enumerate}

\exot{\' Equation du second degré à coefficients dans $\bbc $}

\begin{enumerate}

\item Calculer $(3-2j)^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 + z - 1 + 3j = 0.
$$

\item Calculer $(5-3i)^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 + (5-i) z + 2 + 5i = 0.
$$


\item Résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 - (5+3i) z + 10 + 5i = 0.
$$


\end{enumerate}


\exot{Ligne de niveau}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan vérifiant
$|z-3| = 2$~?
\item Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan vérifiant
$\arg (z - (3-i)) = \pi /3$~?


\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan tels que
$$
   z = 1 - j {L\over C\omega } 
$$
où $L$ et $C$ sont deux contantes réelles strictement positives et où
$\omega $ est un réel variant dans l'intervalle $]0, +\infty [$.


\end{enumerate}

\exot{Fonction de transfert en électronique}

\def \T {%
   \underline {{\rm T}}}

En électronique, on utilise la \og fonction de transfert\fg \  $\T $
de la pulsation $\omega $, définie quand $\omega $ décrit 
l'intervalle $[0, +\infty [$ par~:
$$
   \T (\omega ) = {1 \over 1+j\omega }.
$$

\begin{enumerate}

\item Montrer que pour tout nombre réel $\omega $ de $[0, +\infty
[$, on a~:
$$
   \T (\omega ) = {1-j\omega \over 1 + \omega ^2}.
$$

\item Le plan complexe est muni du repère orthonormal \ouv, unité 20~cm (ou 20~grands carreaux). Placer les points $A$,
$B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ d'affixes respectives
$$
   \T (0), \qquad
   \T (0, 3), \qquad
   \T (0, 5), \qquad
   \T (1), \qquad
   \T (2), \qquad
   \T (3).
$$

\item Montrer que, pour tout nombre réel $\omega $ de $[0, +\infty
   [$, le point $M$ d'affixe $\T (\omega )$ est situé sur le
   demi-cercle inférieur de diamètre $[OA]$.

\item Quel est l'ensemble des points $m$ d'affixe $1 - j\omega $
   quand $\omega $ varie dans $[0, +\infty [$~?

\end{enumerate}

\exot{Fonction de transfert en électronique bis}

\def \T {%
   \underline {{\rm T}}}
\def \H {%
   \underline {{\rm H}}}

En électronique, sur un montage, on utilise la \og fonction de transfert\fg \  $\T $
de la pulsation $\omega $, définie quand $\omega $ décrit 
l'intervalle $[0, +\infty [$ par~:
$$
   \T (\omega ) = {4 \over (1+j\omega )^3}.
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer 
$$
   \T (0),
      \qquad
   \T \left( {1\over \sqrt 3}\right) ,
      \qquad
   \T (1),
      \qquad
   \T (\sqrt 3).
$$

\item On modifie le montage précédent et on obtient alors la \og
nouvelle fonction de transfert\fg \  $\H $ définie par~:
$$
   \H (\omega ) = {\T (\omega ) \over 1 + \T (\omega )}
$$
Calculer les modules et argument de $\H (0)$, $\H (1)$ et $\H (\sqrt
3)$.

\item Le plan complexe est muni du repère orthonormal \ouv. Soit $A$ le point d'affixe $-1$ et $M$ le point d'affixe $\T
(\omega )$.

\item Montrer que le module de $\H (\omega )$ est égal à
$MO/MA$.
\item Montrer qu'un argument de $\H (\omega )$ est égal à
l'angle $\widehat {(\overrightarrow {MA}, \overrightarrow {MO})}$.

\item Utiliser les questions {\bf 4.} et {\bf 5.} pour retrouver
les résultats du {\bf 2.}

\end{enumerate}






\exot{ROC (Am\'erique du 
Sud, novembre 2006)}



  Le plan complexe est rapport\'e au rep\`ere orthonormal \Ouv. On 
prendra pour unit\'e graphique 1 cm.\\

On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul, d'affixe 
$z$ on a : $|z|= \|\vec{w}\|$ et arg $(z) = 
\left(\vec{u},~\vec{w}\right)$ \fg.\\
Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives 
$m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) 	= 
\left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$.
\item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement le nombre $\left|\dfrac{p - 
m}{n - m} \right|$
 \end{enumerate}




\exot{ROC. (Centres \'etrangers, juin 
2007)}
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer qu' un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si 
et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item  D\'emontrer qu'un nombre complexe $z$ est r\'eel si et 
seulement si $\overline{z}= z$.
\item  D\'emontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a 
l'\'egalit\'e : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}

\exot{ROC (Am\'erique du Nord, juin 2006)}
\emph{Pr\'erequis :  le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, not\'e $|z|$, v\'erifie $|z|^2 =z\overline{z}$ o\`u $\overline{z}$ est le conjugu\'e de $z$.}\\
D\'emontrer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.
\item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{itemize}




\exot{ROC (Métropole 15 juin 2006)}
On prend comme pr\'e-requis les r\'esultats suivants :
\begin{itemize}
\item  Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec k entier relatif
\item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec $k$ entier relatif
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, d\'emontrer que\\ arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$
pr\`es, avec $k$ entier relatif.
\item D\'emontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux \`a deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right)  = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec $k$ entier relatif.
\end{enumerate}




\exot{ROC (Asie 
juin 2006)}
Pr\'erequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : 

\[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\]

\noindent Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. D\'emontrer que :

\[ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\]

\exot{ROC (Centres \'etrangers, juin 2006)}

Pr\'erequis : On rappelle les deux r\'esultats suivants :

\textbf{i.}  Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'\'equivalence suivante :

\[\left\{\begin{array}{l cl}
|z|&=&r\\
\text{arg}~z &=& \theta~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\
r & > & 0\\ \end{array}\right.\]
\textbf{ii.} Pour tous nombres r\'eels $a$ et $b$ :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
\cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\
\end{array}\right.\]



\vspace{2ex}
\noindent Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls. D\'emontrer les relations :

\[\left|z_{1}z_{2}\right|  = \left|z_{1}\right| \times \left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}\]



\section*{Exercices <<~originaux~>>}













\exot{ Problème ouvert~:~calcul de $\cos(\pi/8)$ et
$\sin(\pi/8)$}

En utilisant les racines carr\'ees de $1+i$, trouver une m\'ethode
pour obtenir une formule donnant $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$.


Trouvez au moins deux autres méthodes de calcul en utilisant des
formules trigonométriques.




\exot{Du dessin aux formules}


Caract\'erisez les nombres complexes $z$ appartenant aux ensembles
suivants :

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{complexe1.eps}
\end{center}




\exot{Le crocodile se mord la queue...}



\emph{...ou comment
visualiser une multiplication complexe sur une pauvre bête~?}

\vspace{0.5cm}

\label{croco} On voudrait comprendre <<~quel effet cela fait \`a un nombre complexe de se faire \'elever au carr\'e~>>. Pour \c{c}a, on
cherche \`a dessiner l'image du crocodile par l'application $\f$ :
$$
\begin{array}{rcl}
\bbc & \rightarrow & \bbc \\
 z &  \mapsto  & z^{2}.
\end{array}
$$

% \begin{figure}[ht]
 \begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{complexe2.eps}
% %\par\centerline{\hbox{\psfig{figure=croco.ps,width=6cm}}}
% \par
% \caption{}
% %\label{wsnfig1}
 \end{center}
% \end{figure}
\begin{enumerate}
\item \'Ecrivez les parties r\'eelles et imaginaires de $z^{2}$ en
fonction de celles de $z$, puis le module et l'argument de $z^{2}$
en fonction de ceux de $z$. Commentaire ?


\item Dessinez une demi-droite issue de $0$ et son image par $\f$.

\item Quelle est l'image d'un cercle centr\'e en $0$ ? Placez aussi
les images de quelques points particuliers du cercle.

\item <<~Dessinez l'image du crocodile~>>.
%
%\sq ``Comment voit-on que l'application n'est pas injective ?''
%
%\sq Dessiner l'image r\'eciproque du crocodile (attention, il y a
%un piège...).

\item (plus facile) Dessinez de m\^eme l'image du croco par  $z
\mapsto z+1+2i$, $z \mapsto (\sqrt 3 +i)z$.

\end{enumerate}






\exot{Les fractales}

Les fractales sont des objets irréguliers dont l'étude a débuté il
y a une trentaine d'années. Elles interviennent dans de nombreux
domaines : modélisation des matériaux poreux et des
semi-conducteurs, description mathématique de la surface d'un
nuage, étude des mécanismes financiers, infographie, c'est à dire
création d'algorithmes efficaces pour représenter des objets sur
un écran d'ordinateur (avec un minimum de données transmises).

Nous allons étudier deux fractales simples : le tamis et le tapis
de Sierpinski.



\exot{Dessin du tamis de Sierpinski} \label{serpi}

 Considérons les trois transformations de $\bbc$ dans $\bbc$ suivantes :

$$T_1(z)=\fr{1}{2}z\qquad T_2(z)=\fr{1}{2}z+\fr{1}{2}\qquad
T_3(z)=\fr{1}{2}z+\fr{1}{4}+\fr{1}{2}i$$

Soit $E_0$ le triangle de sommets d'affixes 0, 1 et $1/2+i$.

\begin{enumerate}

\item Dessiner $E_0$.

\item Dessiner $E_1=T_1(E_0)\cup T_2(E_0)\cup T_3(E_0)$

\item Dessiner $E_2=T_1(E_1)\cup T_2(E_1)\cup T_3(E_1)$

      $\qquad \vdots$
\end{enumerate}

Si nous voulons transmettre ces dessins informatiquement, il est
impossible de donner les coordonnées des sommets de tous les
triangles noircis du tamis puisqu'il y en a une infinité. En fait,
il suffit de donner $E_0$, $T_1$, $T_2$ et $T_3$ et le tour est
joué. C'est ce qui est utilisé sur internet.

Un autre problème : quelle est la resistance électrique du tapis~?



\exot{Dessin du tapis de Sierpinski}

$E_0$ est le carré unité.

$$ T_1(z)=\ut z \qquad T_2(z)=\ut z+\ut \qquad T_3(z)=\ut
z+{\rm d}t\qquad T_4(z)=\ut z+{\rm d}t +\ut i$$

$$T_5(z)=\ut z+{\rm d}t +{\rm d}t i \qquad T_6(z)=\ut z+\ut+{\rm d}t i\qquad
T_7(z)=\ut z+{\rm d}t i\qquad T_8(z)= \ut z+\ut i$$




\subsection*{Géométrie, complexes, fonctions, électronique~: qui dit mieux~?}






\exot{ Inversion complexe}

\label{inversion} On considère l'application $f$ du plan complexe dans $\bbc$ qui à tout point $M$ d'affixe non nulle $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $1/z$. On pose $z=x+iy$ la forme algébrique de $z$ et $x'+iy'$ celle de l'affixe $z'$ de $M'$.

\begin{enumerate}

\item Exprimez $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelle est l'image de $M'$ par $f$~? Déduisez-en l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item Soit $D$ une droite d'équation $x=k$ avec $k\in\bbr$. Déterminez une équation de l'image de $D$ par $f$. Déduisez-en la nature de
cette image.
\item Cas particulier : déterminez l'image de la droite $\Delta$ d'équation $x=32$.

\end{enumerate}



\exot{ Un peu d'électronique : étude d'un filtre}



On bidouille un filtre en mettant deux résistances $R$ et deux condensateurs de capacité $C$ de manière rusée. Quand on applique à
l'entrée une certaine tension de pulsation $\omega$, on recueille à la sortie un nouveau signal <<~filtré~>> mais de même pulsation. Ce
filtre est caractérisé par la fonction de transfert $T$ définie par $$T(\omega)=\fr{1}{1+\fr{Z_1(\omega)}{Z_2(\omega)}}\quad
\text{avec}\quad Z_1\omega)=R+\fr{1}{jC\omega}\quad\text{et}\quad Z_2(\omega)=\fr{1}{\fr{1}{R}+jC\omega}$$ 

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics[height=7cm]{filtre.1}\caption{Filtre}
\end{figure}
\end{center}

Justifiez les valeurs trouvées de $Z_1$ et $Z_2$

Les constantes $R$ et $C$ sont
bien sûr strictement positives. En électronique, on note ${\rm j}$ le nombre vérifiant ${\rm j}^2=-1$ pour ne pas faire de confusion avec l'intensité
$i$.

\been

\item Montrez que $T(\omega)=\fr{1}{3+j\pa{RC\omega-\fr{1}{RC\omega}}}$
\item\been
\item On considère la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$h(\omega)=RC\omega-\fr{1}{RC\omega}$$
Dressez le tableau de variation de $h$ sur $]0,+\infty[$. %en précisant les limites.
\item On considère le point $m$ d'affixe
$3+jh(\omega)$. Quel est l'ensemble $(D)$ décrit par le point $m$ lorsque $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$~?
\item Quelle transformation associe au point $m$ le point $M$ d'affixe $Z=T(\omega)$~?
\item Déduisez-en l'ensemble $(E)$ décrit par le point $M$ quand $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$.
\item Tracez sur un même graphique les ensembles $(D)$ et $(E)$. Vous prendrez pour unité 6cm.

Vous représenterez également le point $m_0$ d'affixe $3+{\rm j}$ et son image $M_0$ par la transformation envisagée. \een\een













\section*{Des exercices de Bac}



\exot{\'Equations - systèmes}

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\bbc$ les équations suivantes:
        \begin{enumerate}

        \item $\fr{z+2}{z+2i}=i$

\item $ 2z+i \overline{z} = 5-i$
        \end{enumerate}


\item Résoudre dans $\bbc\times\bbc$ le système suivant: $\left\{
        \begin{array}{rl}
        2iz+z' &=2i\\
        3z-iz' &=1
        \end{array}
        \right.$
\end{enumerate}




%\item[\underline{Exercice 2}]{\small ( 4 points )}





\exot{\'Equations coeff complexes}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
        $ z^2 + 2z + 2 = 0 $
\item Soit l'équation (F) d'inconnue complexe z :
$$\textrm {(F)~:~} z^2 - 2z + 4 + 4i = 0 $$
\item Montrer que (F) admet pour solution un nombre imaginaire pur
que l'on déterminera. \item Résoudre l'équation (F).
\end{enumerate}


% 

\exot{\'Equation de degré 4 - Interprétation géo.}

On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$,
o\`{u} $z$ est un nombre complexe.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que :
\[\mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20).
\]

\item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$.

\item Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, les images M,
N, P et Q des nombres complexes respectifs
$m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$.

\item

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K.

\item En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle
en K.
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}
\item D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L,
quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL.

\item D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.

\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de
centre R. \bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}














\exot{Style Bac}


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\ouv$.


On note A et B les points d'affixes respectives 2i et $-1$.

À tout nombre complexe $z$, distinct de 2i, on associe le nombre complexe $Z = \fr{z+1}{z - 2\text{i}}$.
\begin{enumerate} 
\item Donner une interprétation géométrique de l'argument de $Z$ dans le
cas où $z \neq -1$.

\item Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question
précédente, les ensembles de points suivants

\begin{enumerate} \item L'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un nombre
réel négatif.

\item L'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un nombre
imaginaire pur.

\end{enumerate}

\end{enumerate}








\exot{Le QCM de la mort}


\textsl{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Vous avez 1 point par bonne réponse. J'enlève 0,5 point par réponse inexacte.
}



\begin{enumerate}
\item Soit $z\in\bbc$ vérifiant $\bar{z}+|z|=6+2i$. La forme algébrique de $z$ est $$\bigcirc\  \fr{8}{3}-2i\qquad\Qcm
-\fr{8}{3}-2i\qquad\Qcm \fr{8}{3}+2i\qquad\Qcm -\fr{8}{3}+2i$$

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ vérifiant $|z-1|=|z+i|$ est la droite d'équation~:
$$\Qcm y=x-1\qquad\Qcm y=-x\qquad \Qcm y=-x+1\qquad\Qcm y=x$$

\item Soit $n\in\bbn$. Le nombre $(1+i\sqrt{3})^n$ est réel si, et seulement si
$$\Qcm n\equiv1[3]\qquad\Qcm n\equiv2[3]\qquad\Qcm n\equiv0[3]\qquad\Qcm n\equiv0[6]$$

\item Soit l'équation $z=\fr{6-z}{3-z},\ z\in\bbc$. Une de ses solutions est
$$\Qcm -2-\sqrt{2}i\qquad\Qcm 2+\sqrt{2}i\qquad\Qcm 1-i\qquad\Qcm -1-i$$

\item Soit $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=i$ et $z_B=\sqrt{3}$ dans un repère orthonormal $\ouv$. L'affixe $z_C$ du
point de $C$ tel que $ABC$ soit un triangle équilatéral avec $(\ve{AB},\ve{AC})=\pi/3$ est
$$\Qcm -i\qquad\Qcm 2i\qquad\Qcm\sqrt{3}+i\qquad\Qcm \sqrt{3}+2i$$

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ vérifiant la relation ${\rm
arg}\left(\fr{z+2}{z-2i}\right)=\fr{\pi}{2}$ est
$$\Qcm \text{une droite}\quad\Qcm\text{un cercle}\quad\Qcm\text{une lemniscate de Bernoulli}\quad\Qcm\text{une bergère syldave}$$


\end{enumerate}










\exot{Bac}


\noindent On consid\`ere le plan complexe $\mathcal{P}$ rapport\'e \`a un rep\`ere orthononnal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ d\'esigne le plan $\mathcal{P}$ priv\'e du point origine O.
\begin{enumerate}

\item On consid\`ere l'application $f$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ dans $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ qui, au point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ d\'efinie par :  $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$. On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives $1$ et i.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que pour $z \neq 0$, on a arg$\left(z'\right) =  \text{arg}(z)$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec $k$ entier relatif.\\
 En d\'eduire que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ les points $M$ et $M' = f(M)$ appartiennent \`a une m\^eme demi-droite d'origine O. 
\item D\'eterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ tels que\\ $f(M) =  M$. 
\item $M$ est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U et V, on admet que $M'$ est aussi distinct de O, U et V.\\
\'Etablir l'\'egalit\'e $\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}= \dfrac{1}{\text{i}}\left(\dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + \text{i}}  \right) = -\text{i}\overline{\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)}$.\\
En d\'eduire une relation entre arg$\left(\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}\right)$ et  arg$\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq \text{i}$ et soit $M$ le point d'affixe $z$. D\'emontrer que $M$
est sur la droite (UV) priv\'ee de U et de V si et seulement si  $\dfrac{z - 1}{z - \text{i}}$ est un nombre r\'eel non nul.
\item D\'eterminer l'image par $f$ de la droite (UV) priv\'ee de U et de V.
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\exot{ VRAI ou FAUX }

  Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d\'emonstration pour la r\'eponse indiqu\'ee. Dans le cas d'une proposition fausse, la d\'emonstration consistera \`a fournir un contre-exemple. Une r\'eponse sans d\'emonstration ne rapporte pas de point.\\
On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ d\'esigne le conjugu\'e de $z$ et $|z|$ d\'esigne le module de $z$.

\begin{enumerate}
\item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre r\'eel.
\item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
\item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
\item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$.
\end{enumerate}

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\exot{Une impression de Déjà-Vu}




\noindent Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal direct \Ouv{} (unit\'e graphique :  2 cm).\\
On rappelle que pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$, on a : $|z| = \|\vect{w}\|$  et arg$(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ \`a $2\pi$ pr\`es.

On note A et B les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $3\text{i}$.\\
On note $f$ l'application qui, \`a tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$
d'affixe $z'$ telle que :
\[ z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}}\]

\begin{enumerate}
\item  \'etude de quelques cas particuliers.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diam\`etre [AB]. \\Placer ces points sur le dessin.
\item On note C le point d'affixe $c = - 2 + \text{i}$. D\'emontrer que le point C$'$, image de C par $f$, appartient \`a l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\item Pour tout point $M$ du plan distinct de A et B, d\'emontrer que\\ 
arg$\left(z'\right) = \left(\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2}$ \`a $2\pi$ pr\`es.
\item \'Etude de deux ensembles de points. 
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur.
\item  Soit $M$ d'affixe $z$ un point du cercie de diam\`etre [AB]  priv\'e des points A et B. \`A quel ensemble appartient le point $M'$ ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\exot{Géométrie complexe}


Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv . On prendra pour unit\'e graphique 2 cm. Soit $f$ l'application qui \`a tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'= \dfrac{4}{\overline{z}}$, o\`u $\overline{z}$ d\'esigne le nombre complexe conjugu\'e de $z$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
\item D\'eterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1.
\item Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. D\'emontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un ant\'ec\'edent unique par $f$, dont on pr\'ecisera l'affixe.
\item \begin{enumerate}
\item Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}M'}\right)$.	Interpr\'eter g\'eom\'etriquement ce r\'esultat.
\item  Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ d\'esigne un r\'eel strictement positif, en d\'eduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$.
\item  Choisir un point $P$ du plan complexe non situ\'e sur les axes de coordonn\'ees et tel que O$P$ = 3, et construire g\'eom\'etriquement son image $P'$ par $f$.
\end{enumerate}
\item On consid\`ere le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre J et de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$ ,distinct de O, appartient \`a la droite $D$ d'\'equation $x = 2$.
\end{enumerate}










\exot{QCM}


 \emph{Pour chacune des} 3 \emph{questions, une seule des trois propositions est exacte.\\
Le candidat indiquera sur la copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a  la
r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.}\\
\emph{ Une r\'eponse exacte rapporte} 1 \emph{point ; une r\'eponse inexacte enl\`eve} 0,5 \emph{point ; l'absence de r\'eponse est compt\'ee} 0 \emph{point.}\\
\emph{Si le total est n\'egatif, la note est ramen\'ee \`a z\'ero.}\\
Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.
\begin{enumerate} \item Le point M est situ\'e sur le cercle de centre A$(-2~;~ 5)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Son affixe $z$ v\'erifie :
\begin{enumerate} \item $|z - 2 + 5\text{i}|^2 = 3$ ; 
  \item  $|z + 2 - 5\text{i}|^2 = 3$ ; 
\item $|z - 2 + 5\text{i}| = 3$.
\end{enumerate}
\item On consid\`ere trois points A, B et C d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, deux \`a deux
distincts et tels que le triangle ABC n'est pas \'equilat\'eral. Le point $M$ est un point dont
l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes	$\cfrac{z - b}{c - a}$	et $\cfrac{z - c}{b - a}$	sont imaginaires purs.
\begin{enumerate} \item $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; 
\item $M$ appartient aux cercles de diam\`etres respectifs [AC] et [AB] ;
\item $M$ est l'orthocentre du triangle ABC.
\end{enumerate}
\item Soit A et B les points d'affixes respectives $1$ + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diam\`etre [AB]. On appelle $G$ l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe. 
\begin{enumerate} \item $\left|z_{G} - 3 - 2,5\text{i}\right|=  \cfrac{5}{6}$ ;
\item $z_{G}- (1 + \text{i}) = \cfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$ ;
\item $z_{G} - (3 + 2,5\text{i}) = \cfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\exot{QCM~:~on aime~!}


\textsl{Pour chacune des trois questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.}

\noindent \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.}

\noindent Une r\'eponse exacte rapporte 1 point. Une r\'eponse inexacte enl\`eve 0,5 point. L'absence de r\'eponse n'apporte ni n'enl\`eve aucun point. Si le total est n\'egatif, la note de l'exercice est ramen\'ee \`a 0.\\[0.5pt]

\begin{enumerate}\item Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives \\$- 2 +3\text{i},~
- 3 - \text{i}$ et $2,08 + 1,98\text{i}$. Le triangle ABC est :

\begin{tabular}{l l}
\textbf{(a)} : isoc\`ele et non rectangle&	\textbf{(b)} : rectangle et non isoc\`ele\\
\textbf{(c)} : rectangle et isoc\`ele& 	\textbf{(d)} : ni rectangle ni isoc\`ele\\
\end{tabular}

\item \`a tout nombre complexe $z \neq -2$, on associe le nombre complexe $z'$ d\'efini par : $z' = \cfrac{z -4\text{i}}{z+2}$.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| =1$  est :

\begin{tabular}{l l}
\textbf{(a)} : un cercle de rayon 1&	\textbf{(b)} : une droite\\
\textbf{(c)} : une droite priv\'ee d'un point& 	\textbf{(d)} : un cercle priv\'e d'un point\\
\end{tabular}

\item Les notations sont les m\^emes qu'\`a la question 2.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ est un r\'eel est :

\begin{tabular}{l l}
\textbf{(a)} : un cercle&	\textbf{(b)} : une droite\\
\textbf{(c)} : une droite priv\'ee d'un point &		\textbf{(d)} : un cercle priv\'e d'un point\\
\end{tabular}


\end{enumerate}







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\exot{Bac}


\noindent \textbf{I.  \'Etude d'un cas particulier}\\
On pose : $a = 3 + \text{i},~b = -1 + 3\text{i},~c = - \sqrt{5} - \text{i}\sqrt{5}$.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item  Placer les points A, B, C et le point H d'aflixe $a + b + c$, puis v\'erifier graphiquement que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{II. \'Etude du cas g\'en\'eral.}\\
 ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et $a,~ b,~ c$ sont les affixes respectives des points A, B, C.
\begin{enumerate}
\item  Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :
\[a\overline{a} = b\overline{b} = c\overline{c}.\]
\end{enumerate} 
\begin{enumerate}
\item  On pose $w= \overline{b}c - b\overline{c}$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant la caract\'erisation d'un nombre imaginaire pur \'etablie dans le I., d\'emontrer que $w$ est imaginaire pur.
\item  Verifier		l'\'egalit\'e : $(b + c)\left(\overline{b} - \overline{c}\right) = w$ 
et justifier que : $\dfrac{b + c}{b - c} = \dfrac{w}{|b - c|^2}.$
\item  En d\'eduire que le nombre complexe $\dfrac{b + c}{b - c}$ est imaginaire pur. 
\end{enumerate}
\item  Soit H le point d'affixe $a + b + c$.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer en  fonction de $a,~b$ et $c$ les affixes des vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\text{CB}}$.
\item  Prouver que $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{AH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o\`u $k$ est un entier relatif quelconque.\\
(On admet de m\^eme que $\left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{BH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$).
\item  Que repr\'esente le point H pour le triangle ABC ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{Une petite équation}

On consid\`ere l'\'equation :
\[ (\text{E}) \quad  z^3-(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z -13\text{i} = 0\]
 o\`u $z$ est un nombre complexe.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que le nombre complexe i est solution de cette \'equation.
\item  D\'eterminer les nombres r\'eels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait :
\[z^3 -(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z - 13\text{i} = (z - \text{i}) \left(az^2 +bz+c\right).\]
\item  En d\'eduire les solutions de l'\'equation (E).
\end{enumerate} 





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