\begin{filecontents*}{EspaceMelu.mp}

input newcourbes;
input couleur;
input geometriesyr16;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex



beginfig(1);
%representation d'un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%on place les points du parallèlogramme représentant le plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


p:=z0--z1--z3--z2--cycle;

fill p withcolor bleu_ciel;

%on trace le parallèlogramme
draw z0--z2;
draw z2--z3;

%on donne un effet d'epaisseur en changeant l'epaisseur du stylo
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;

%on rechange l'epaisseur du stylo
pickup pencircle scaled 0.5pt;

%on indique le nom du plan
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));
endfig;


beginfig(2);
%intersection de deux plans
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[],q[];

u= 1cm;

%Tracé de P
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;

path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;



draw z0--z2;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%Tracé de Q
z5 = 0.5[z0,z1];
z6 = z5 transformed S;
z7 = (2.5u,-1u);
z8 = z7 transformed S;
z5 = 0.5[z9,z7];
z10= z9 transformed S;
p1 = z2--z6;
q1= z9--z10;
z11 = p1 intersectionpoint q1;
p2 = z7--z8;
q2= z5--z1;
z12 = p2 intersectionpoint q2;


path pp;
pp=z7--z8--z10--z9--cycle;
fill pp withcolor green;
%fillcolor:=green;
%transparence pp;


path ppp;
ppp:=z5--z6--z11--z9--cycle;
fill ppp withcolor (green+.55*bleu_ciel);


path Pp;
Pp:=z5--z12--z8--z6--cycle;
fill Pp withcolor (green +.75*bleu_ciel);

draw z5--z6 withcolor bleu; %ici on trace la droite d'intersection
draw z9--z7;
draw z9--z10;
draw z10--z6;
draw z6--z3;
draw z6--z8 dashed evenly;

draw z11--z6 dashed evenly;
draw z2--z11;
draw z5--z12 withpen pencircle scaled 2pt;
draw z12--z8 dashed evenly;
draw z7--z12;
label.rt(btex $Q$ etex, z9);

%nom de la droite d'intersection
label.rt(btex $d$ etex, 0.5[z5,z6])withcolor bleu;
endfig;









beginfig(3);
%representation d'un plan defini par trois points
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%tracé du plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%tracé des points
dotlabel.top(btex $A$ etex, (2u,1.5u));
dotlabel.top(btex $B$ etex, (1u,.5u));
dotlabel.top(btex $C$ etex, (3u,1u));
endfig;














beginfig(4);
%representation d'un plan defini par deux droites secantes
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%tracé du plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;




path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;




draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%tracé des droites
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5;
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7;
label.rt(btex $d$ etex, z5);
label.rt(btex $d'$ etex, z7);
endfig;















beginfig(5);
%representation d'un plan defini par un point et une droite
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%tracé du plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%le point et la droite
dotlabel.top(btex $A$ etex, (2u,1.5u));
z4 = (1u,.5u);
z5 = (3u,1u);
draw z4--z5;
label.top(btex $d$ etex, z5);
endfig;















beginfig(6);
%representation d'un plan defini par deux droites parallèles
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%tracé du plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;



path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;



draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%les deux droites
z4 = (1u,1.3u); z5 =(3u,1.8u);draw z4--z5;
z6 = (1.5u,0.2u);z7 = z6 shifted (z5-z4);draw z6--z7;
label.rt(btex $d$ etex, z5);
label.rt(btex $d'$ etex, z7);
endfig;










beginfig(7);
%representation de deux droites non parallelles et sans point commun
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;
path p[];

%tracé du plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%tracé de la droite
z4 = (0.5u,.5u);
z5 = (4u,1u);
draw z4--z5;
label.top(btex $d$ etex, z5);

%tracé du point
z6 = (2u,1.5u);
z7 = (0.2u,1u);
dotlabel.rt(btex $A$ etex, z6);

%on met en place les pointillés
z9 = z6 shifted 2z7;
z10 = z6 shifted -3z7;
p1 = z6--z10;
p2 = z0--z1;
z11 = p1 intersectionpoint p2;
draw z6--z11 dashed evenly;
draw z11--z10;
draw z6--z9;

%le nom de la droite
label.rt(btex $d'$ etex, z10);
endfig;










beginfig(8);
%representation d'un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[],q[];
u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%Trace de P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;



path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;



draw z0--z2;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%Trace de Q
z4=(0u,-2.2u);
z5 = z4 transformed T;
z6 = z4 transformed S;
z7 = z4 transformed T transformed S;


path pp;
pp:=z4--z5--z7--z6--cycle;
fill pp withcolor 1.2*green;



draw z4--z6;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z4--z5;
draw z5--z7;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $Q$ etex, z4+(0.1u,0u));

%Plan d'intersection
z8=1/5[z0,z1]+1/2[z0,z2];
z9=3/5[z4,z5]+1/2[z6,z4];

z10 = z8 transformed S;

z11 = z9 transformed S;
p1 = z10--z11;
q1 = z2--z3;
q2 = z0--z1;
q3 = z6--z7;
z12 = p1 intersectionpoint q1;
z13 = p1 intersectionpoint q2;
z14 = p1 intersectionpoint q3;

p2 = z8--z10;
z15 = p2 intersectionpoint q1;

p3 = z8--z9;
z16 = p3 intersectionpoint q2;
z17 = p3 intersectionpoint q3;
q4 = z4--z5;
z18 = p3 intersectionpoint q4;

p4 = z9--z11;
z19 = p4 intersectionpoint q4;


path k[];

k[1]:=z8--z10--z11--z9--cycle;
fill k[1] withcolor rose;


k[2]:=z8--z15--z12--z16--cycle;
fill k[2] withcolor (.75rose+.15bleu_ciel);



k[3]:=z16--z13--z12--cycle;
fill k[3] withcolor (.75rose+.35bleu_ciel);


k[4]:=z18--z17--z14--z19--cycle;
fill k[4] withcolor (.75rose+.25green);


k[5]:=z18--z19--z11--z14--cycle;
fill k[5] withcolor (.45rose+.45green);


draw z9--z19;draw z19--z11 dashed evenly;


draw z8--z9;
draw z8--z10;
draw z10--z12; draw z12--z13 dashed evenly;draw z13--z14;draw z14--z11 dashed evenly;
draw z2--z15; draw z15--z12 dashed evenly;draw z12--z3;
draw z16--z12;
draw z6--z17;draw z17--z14 dashed evenly;draw z14--z7;
draw z18--z14;

pickup pencircle scaled 2pt;
draw z4--z5;
draw z0--z1;

%nom des droites d'intersection
label.rt(btex $d$ etex, 0.5[z12,z16]);
label.rt(btex $d'$ etex, 0.5[z18,z14]);
endfig;













beginfig(9);
%droite parallele a deux plans secants
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[];

u= 1cm;
t=(4u,1u); r=(0u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%Plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%Plan Q
z4=0.5[z0,z1];
z5 = z4 transformed S;

z6 = z4 shifted (1.5u,-1u);
z4=0.5[z6,z7];
z8 = z6 transformed S;
z9 = z7 transformed S;

p1= z4--z1;
p2 = z6--z8;
z10 = p1 intersectionpoint p2;

p3 = z2--z3; p4 = z9--z7;
z11 = p3 intersectionpoint p4;



path k[];

k[1]:=z8--z9--z7--z6--cycle;
fill k[1] withcolor green;


k[2]:=z11--z5--z4--z7--cycle;
fill k[2] withcolor (.75bleu_ciel+green);



k[3]:=z5--z8--z10--z4--cycle;
fill k[3] withcolor (green+.55bleu_ciel);

draw z5--z11;


draw z11--z9;draw z11--z7 dashed evenly; draw z7--z4 dashed evenly;
label.lft(btex $Q$ etex, z6+(0u,0.5u));
draw z4--z5 withcolor red;
label.lft(btex $\Delta$ etex,0.5[z4,z5])withcolor red;
draw z0--z4;draw z4--z6;draw z6--z8;draw z8--z9;draw z4--z7 dashed evenly;
draw z4--z10 dashed evenly;draw z10--z1;

%droite parallele aux deux plans
z12 = (-1u,0u);
z13 = z12 shifted (0u,3u);
draw z13--z12 withcolor red;
label.lft(btex $d$ etex, z12)withcolor red;
endfig;
















beginfig(10);
%theoreme du toit
numeric u;
pair t,r,v;
transform T,S,V;
path p[];

u= 1cm;
t=(3u,2u); r=(-2u,1.5u);v=(-3u,0u); 
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;
V = identity shifted v;
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed S transformed T;
z4 = z0 transformed V;
z5 = z0 transformed V transformed T;

z101=0.1[z0,z1]; z10=0.9[z0,z1];
z23 = z101 transformed S; z32=z10 transformed S;
z45 = z101 transformed V; z54=z10 transformed V;

p1 = z101--z23; p2 = z4--z5;
z11 = p1 intersectionpoint p2;


path k[];

k[1]:=z45--z54--z32--z23--cycle;
fill k[1] withcolor green;



k[3]:=z23--z101--z10--z32--cycle;
fill k[3] withcolor bleu_ciel;

k[2]:=z23--z32--z54--z11--cycle;
fill k[2] withcolor (.75bleu_ciel+green);







draw z0--z1 ;
draw z2--z3 withcolor red;


%pour un exemple de mise en couleur
draw z101--z23 ; draw z10--z32 ;
draw z23--z45 ; draw z32--z54 dashed evenly ;

draw z4--z11 ;
draw z11--z5 dashed evenly ;

label.rt(btex $d$ etex, z0);
label.rt(btex $d'$ etex, z4);
label.top(btex $\Delta$ etex, z2);

endfig;


beginfig(11);
% plans paralleles a l'aide de droites secantes
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%premier plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5;
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7;
label.rt(btex $d$ etex, z5);
label.rt(btex $d'$ etex, z7);

%deuxieme plan Q
z10=(0u,-2.5u);
z11 = z10 transformed T;
z12 = z10 transformed S;
z13 = z10 transformed T transformed S;


path pP;
pP:=z10--z11--z13--z12--cycle;
fill pP withcolor green;


draw z10--z12;
draw z12--z13;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z10--z11;
draw z11--z13;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $Q$ etex, z10+(0.1u,0u));

%droites secantes
z14 = (0.8u,-1.5u); z15 =(4u,-1u);draw z14--z15;
z16 = (1u,-0.9u);z17=(3.6u,-2.1u);draw z16--z17;
label.rt(btex $d_{1}$ etex, z15);
label.rt(btex $d'_{1}$ etex, z17);
endfig;













beginfig(12);
% parallelisme plan et droite
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;


path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;


draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%droite dans le plan
z4 = (1u,.5u);
z5 = (4u,1u);
draw z4--z5;
label.top(btex $d'$ etex, z4);

%la droite en dehors du plan
z6 = (1u,2.5u);
z7 = z6 shifted z5-z4;
draw z6--z7;
label.top(btex $d$ etex, z6);
endfig;

beginfig(13);
%droites orthogonales 
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(2u,3u); r=(0u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%les droites perpendiculaires en I
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
draw z0--z1;
draw z0--z2;
label.bot(btex $I$ etex, z0);

%marquage de l'angle droit
z3=0.1[z0,z1];z4=0.1[z0,z2];
z5=z3 shifted z4-z0;
draw z3--z5;
draw z4--z5;

%droites d et delta
z6=(0u,-1u);
z7 = z6 transformed T;
draw z7--z6;
label.bot(btex $\Delta$ etex, z7);
z8=(-1u,-1u);
z9= z8 transformed S;
label.lft(btex $d$ etex, z9);
draw z9--z8;
endfig;
















beginfig(14);
%droite orthogonale a un plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[];

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;



path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;

draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5;
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7;
label.rt(btex $d$ etex, z5);
label.rt(btex $d'$ etex, z7);
p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

%droite orthogonale
z8 = p1 intersectionpoint p2;
z9 = z8 shifted (0u,2u);
label.rt(btex $\Delta$ etex, z9);
draw z8--z9;
z10 = z8 shifted (0u,-2u);
p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
z11 = p3 intersectionpoint p4;
draw z8--z11 dashed evenly;draw z11--z10;

%marquage des angles droits
z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
z14= z13 shifted z12-z8;
draw z12--z14;
draw z13--z14;

z15=0.2[z8,z4];z16=0.1[z8,z9];
z17= z16 shifted z15-z8;
draw z15--z17;
draw z16--z17;
endfig;














beginfig(15);
%plans paralleles et droite orthogonale
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;
path p[];

%premier plan et droites
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;



path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;

draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));

%droites secantes
z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5;
z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7;
label.rt(btex $d$ etex, z5);
label.rt(btex $d'$ etex, z7);

%deuxieme plan et droites
z10=(0u,-2.5u);
z11 = z10 transformed T;
z12 = z10 transformed S;
z13 = z10 transformed T transformed S;


path Pp;
Pp:=z10--z11--z13--z12--cycle;
fill Pp withcolor green;


draw z10--z12;
draw z12--z13;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z10--z11;
draw z11--z13;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $Q$ etex, z10+(0.1u,0u));

%droites secantes
z14 = (0.8u,-1.5u); z15 =(4u,-1u);draw z14--z15;
z16 = (1u,-0.9u);z17=(3.6u,-2.1u);draw z16--z17;
label.rt(btex $d_{1}$ etex, z15);
label.rt(btex $d'_{1}$ etex, z17);

%droite orthogonale
p1=z4--z5;p2=z6--z7;
p3=z14--z15;p4=z16--z17;
p5=z0--z1;p6=z10--z11;
z20 = p1 intersectionpoint p2;
z21 = p3 intersectionpoint p4;

p7 = z20--z21;
z22 = p7 intersectionpoint p5;

z24 = z20 shifted (0u,1.5u);
z25 = z21 shifted (0u,-1.5u);
p8 = z21--z25;
z23 = p8 intersectionpoint p6;
draw z24--z20;draw z20--z22 dashed evenly; draw z22--z21; 
draw z21--z23 
dashed evenly; draw z23--z25;
label.rt(btex $\Delta$ etex, z24);

%marquage des angles droits

z30=0.2[z20,z4];z31=0.1[z20,z24];
z32 = z31 shifted z30-z20;
draw z32--z30;
draw z32--z31;

z40=0.2[z21,z14];z41=0.1[z21,z22];
z42 = z41 shifted z40-z21;
draw z42--z40;
draw z42--z41;

z50=0.1[z20,z7];z51=0.1[z20,z24];
z52 = z51 shifted z50-z20;
draw z52--z50;
draw z52--z51;

z60=0.1[z21,z17];z61=0.1[z21,z22];
z62 = z61 shifted z60-z21;
draw z62--z60;
draw z62--z61;
endfig;














beginfig(16);
%droites orthogonales a deux plans paralleles

numeric u;
pair t,r;
transform T,S;

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;
path p[];

%premier plan
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;

path p;
p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill p withcolor bleu_ciel;

draw z0--z2;
draw z2--z3;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));


%deuxieme plan 
z10=(0u,-2.5u);
z11 = z10 transformed T;
z12 = z10 transformed S;
z13 = z10 transformed T transformed S;


path pP;
pP:=z10--z11--z13--z12--cycle;
fill pP withcolor green;


draw z10--z12;
draw z12--z13;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z10--z11;
draw z11--z13;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $Q$ etex, z10+(0.1u,0u));

%premiere droite
z20 = (2u,1u);z26 = z20 shifted (0u,-2.5u);
z21 = z20 shifted (0u,2u);
z22 = z20 shifted (0u,-4.5u);

p1 = z21--z22;
p2 = z0--z1;
p3 = z10--z11;
z24 = p1 intersectionpoint p2;
z25 = p1 intersectionpoint p3;
draw z21--z20;draw z20--z24 dashed evenly;draw z24--z26;draw z26--z25 
dashed evenly; draw z25--z22;

%deuxieme droite
z30 = (3u,1.5u);z36 = z30 shifted (0u,-2.5u);
z31 = z30 shifted (0u,2u);
z32 = z30 shifted (0u,-4.5u);

p11 = z31--z32;
p12 = z0--z1;
p13 = z10--z11;
z34 = p11 intersectionpoint p12;
z35 = p11 intersectionpoint p13;
draw z31--z30;draw z30--z34 dashed evenly;draw z34--z36;draw z36--z35 
dashed evenly; draw z35--z32;

%marquage des angles droits
z40=0.1[z20,z30];z41=0.1[z20,z21];
z42 = z41 shifted z40-z20;
draw z42--z40;
draw z42--z41;

z50=0.1[z30,z20];z51=0.1[z30,z31];
z52 = z51 shifted z50-z30;
draw z52--z50;
draw z52--z51;

z60=0.1[z26,z36];z61=0.1[z26,z24];
z62 = z61 shifted z60-z26;
draw z62--z60;
draw z62--z61;

z70=0.1[z36,z26];z71=0.2[z36,z34];
z72 = z71 shifted z70-z36;
draw z72--z70;
draw z72--z71;

draw z20--z30;
draw z26--z36;
endfig;
















beginfig(17);
%intersection de deux plans perpendiculaires
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[],q[];

u= 1cm;
t=(4u,0u); r=(1u,2u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%Tracé de P
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;
draw z0--z2;
pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;


%Tracé de Q
z5 = 0.5[z0,z1];
z6 = z5 transformed S;
z7 = z5 shifted (0u,-2.5u);
z8 = z7 transformed S;
z5 = 0.5[z9,z7];
z10= z9 transformed S;

p1 = z2--z6;
q1= z5--z9;
z11 = p1 intersectionpoint q1;

p2 = z6--z8;
q2= z5--z1;
z12 = p2 intersectionpoint q2;





path k[];

k[1]:=z7--z8--z10--z9--cycle;
fill k[1] withcolor green;



k[3]:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill k[3] withcolor bleu_ciel;

k[2]:=z11--z6--z5--cycle;
fill k[2] withcolor (.55bleu_ciel+green);


k[4]:=z5--z12--z6--cycle;
fill k[4] withcolor (.75bleu_ciel+green);

draw z0--z1--z3 withpen pencircle scaled 2pt;
label.urt(btex $P$ etex, z0+(0.1u,0u));
draw z5--z6 withcolor red; 
draw z9--z7;
draw z9--z10;
draw z10--z6;
draw z6--z3;
draw z7--z8;

draw z11--z6 dashed evenly;
draw z2--z11;

draw z12--z6 dashed evenly;
draw z8--z12;
label.rt(btex $Q$ etex, z9);

%nom de la droite d'intersection
label.rt(btex $d$ etex, 0.6[z5,z6])withcolor red;
%droites orthogonales
z13=0.5[z5,z6];
z14 = z13 shifted (0u,2u);
z15 = z13 shifted (0u,-2u);
p3 = z0--z1;
q3 = z13--z15;
z16 = p3 intersectionpoint q3;
draw z14--z13;
draw z13--z16 dashed evenly;
draw z16--z15;
%marquage de l'angle droit
z20=0.2[z13,z6];z21=0.2[z13,z14];
z22 = z21 shifted z20-z13;
draw z22--z20;
draw z22--z21;

z17 = z13 shifted 0.8(z1-z5);
z18 = z13 shifted 0.8(z0-z5);
p4 = z13--z18;
z19 = q1 intersectionpoint p4;
draw z18--z19;
draw z19--z13 dashed evenly;
draw z13--z17;
%marquage de l'angle droit
z30=0.1[z13,z18];z31=0.1[z13,z14];
z32 = z31 shifted z30-z13;
draw z32--z30;
draw z32--z31;
endfig;















beginfig(18);
%plans perpendiculaires a un meme plan
numeric u;
pair t,r;
transform T,S;
path p[],q[];
u= 1cm;
t=(5u,0u); r=(1u,2.3u);
T = identity shifted t;
S = identity shifted r;

%plan Q
z0=(0u,0u);
z1 = z0 transformed T;
z2 = z0 transformed S;
z3 = z0 transformed T transformed S;

%les plans perpendiculaires
z4= 1/4[z0,z1]; z5= 3/4[z0,z1]; z6= 1/2[z4,z5]; 
z7 =  z6 shifted (0u,1u);

z8 = z4 shifted (0u,2u);
z9 = z5 shifted (0u,2u);
z10 = z7 shifted (0u,2u);
z4=0.5[z8,z11];z5=0.5[z12,z9];z7=0.5[z13,z10];

p1 = z2--z3;
q1 = z8--z10;q2=z9--z10;
z14= p1 intersectionpoint q1;
z15= p1 intersectionpoint q2;

z16=1/2[z14,z15];


path k[];

k[1]:=z0--z1--z3--z2--cycle;
fill k[1] withcolor green;



k[3]:=z8--z11--z13--z10--cycle;
fill k[3] withcolor bleu_ciel;

k[2]:=z10--z13--z12--z9--cycle;
fill k[2] withcolor rose;

k[4]:=z8--z14--z16--z7--z4--cycle;
fill k[4] withcolor(green +.75bleu_ciel);

k[5]:=z4--z7--z6--cycle;
fill k[5] withcolor(green+.55bleu_ciel);

k[6]:=z5--z7--z16--z15--z9--cycle;
fill k[6] withcolor(.25green +.75rose);

k[7]:=z5--z7--z6--cycle;
fill k[7] withcolor(.45green+.45rose);





draw z0--z2;

pickup pencircle scaled 2pt;
draw z0--z1;
draw z1--z3;
pickup pencircle scaled 0.5pt;
label.urt(btex $Q$ etex, z0+(0.1u,0u));

draw z4--z7;
draw z5--z7;

draw z8--z11;draw z8--z10;
draw z12--z9;draw z9--z10;
draw z7--z10;
draw z7--z6 dashed evenly;
draw z6--z13;
draw z11--z13; draw z13--z12;


draw z2--z14;draw z14--z15 dashed evenly; draw z15--z3;

%marquage des angles droits;
z20=0.1[z7,z10];z21=0.2[z7,z4];
z22 = z21 shifted z20-z7;
draw z22--z20;
draw z22--z21;

z30=0.1[z7,z10];z31=0.2[z7,z5];
z32 = z31 shifted z30-z7;
draw z32--z30;
draw z32--z31;

label.bot(btex $P$ etex, z11+(0.2u,0.6u));
label.bot(btex $P'$ etex, z12+(-0.2u,0.8u));
endfig;

end


\end{filecontents*}

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}

\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/EspaceMelu/}}
\entete{\textsc{Premiers pas dans l'Espace}}{\markright}{2\textsuperscript{nde}8 - \textsc{Jean Perrin}}%g,d,b

\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



% ==============================================================================
\def\Vect#1{\overrightarrow{\strut #1}}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut #1}}
\everymath{\displaystyle}

% ==============================================================================
\begin{document}

%\begin{center}\huge
%Géométrie dans l'espace en seconde	
%\end{center}


\psshadowbox*[fillcolor=yellow,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\HUGE\bfseries \begin{center} PREMIERS PAS DANS L'ESPACE \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}

\section{Généralités}
La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère 
ces notions comme des notions premières, c'est-à-dire suffisamment 
familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera nécessaire 
d'admettre un certain nombre de propriétés de base.\\
Un point désigne un endroit précis. On le représente par un 
point ($.$) ou une croix $(\times)$, et on lui donne un nom. Mais 
il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de 
l'objet théorique, \og point\fg, qui n'a pas d'étendue.\\
Une droite est un ensemble de points, qu'on représente par un 
\og segment\fg, et auquel on donne un nom. il faut bien comprendre qu'il ne 
s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, \og droite\fg, 
qui n'a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens.\\
Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne 
représentation d'un plan. Lorsque l'on veut représenter plusieurs 
plans de l'espace, on représente chacun d'entre eux par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en \og perspective\fg. Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique \og plan\fg qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans tous les sens.
\begin{center}
\includegraphics{fig2c_espace.1}		
\end{center}
\ENC{\Prop}{
	Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans 
chaque plan de l'espace.
}

\section{Axiomes d'incidence}
Les axiomes d'incidences de la géométrie dans l'espace sont des 
axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites 
et les plans de cette géométrie. 
\begin{enumerate}
	\item  Par deux points distincts de l'espace il passe une et une 
	seule droite. Cette droite peut-être notée $(AB)$.
	
	\item  Par trois points non alignés, $A,B$ et $C$ passe un et un seul plan. 
	Ce plan peut-être noté $(ABC)$.\\

	\item  Si $A$ et $B$ sont deux points d'un plan $P$, tous les points 
	de la droite $(AB)$ appartiennent au plan.
\end{enumerate}
Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions 
suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\
\end{tabular}
\section{Positions relatives de droites et plans}
\begin{enumerate}
	\item $d$ et $d'$ sont deux droites de l'espace. Il n'existe que 
	deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	   \item  il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles 
	   sont dites non coplanaires,
	   \begin{center}
	    \includegraphics{fig2c_espace.7}		
	   \end{center}
	   
	   \item  il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont 
	   dites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles dans ce 
	   plan).
	\end{enumerate}
	
	\item $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que 
	trois possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\item la droite et le plan n'ont qu'un point commun,
		la droite et le plan sont dits sécants (voir la figure précédente),
		
		\item la droite est incluse dans le plan,
		
		\item la droite et le plan n'ont aucun point commun.
	\end{enumerate}
    
	\item $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois 
	possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\item les plans ont un point commun et sont distincts, alors ils sont sécants 
	suivant une droite passant par ce point, (ainsi deux plans distincts 
	qui ont deux points communs sont sécants suivant la droite définie 
	par ces deux points)
	\begin{center}
	\includegraphics{fig2c_espace.2}		
	\end{center}
	
	\item les plans sont confondus,
	
	\item ils n'ont aucun point commun.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.
\subsection{Définitions}
\ENC{\Def}{\hfill 
\begin{itemize}
	\item  Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires  et 
	non sécantes. Il en est ainsi de deux droites confondues ou bien 
	coplanaires et sans point commun.

	\item  Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Il 
	en est ainsi de deux plans confondus ou sans point commun.

	\item Une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils ne pas 
	sécants. Il en est ainsi d'une droite incluse dans un plan ou d'une 
	droite et d'un plan sans point commun. 
\end{itemize}
}
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item  Le fait que deux droites n'aient aucun point 
commun ne suffit pas pour conclure, dans l'espace, qu'elles sont parallèles. 

	\item  Deux droites strictement parallèles définissent un plan.
	\begin{center}
		\includegraphics{fig2c_espace.6}
	\end{center}
\end{itemize}

\subsection{Parallélisme entre droites}
\ENC{\Thm}{
	Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles.
}

\ENC{\Thm}{ 
	Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles.
}
                 
\begin{center}\includegraphics{fig2c_espace.8}\end{center}

\ENC{\Thm}{ 
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
}
                 
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.9}\end{center}

\ENC{\Thm}{ "Théorème du toit"\\
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
}
                 
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.10}\end{center}
\subsection{Parallélisme entre plans}
\ENC{\Thm}{
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
}

\ENC{\Thm}{ 
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles.
}
                 
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.11}\end{center}
\subsection{Parallélisme entre droite et plan}

\ENC{\Thm}{ 
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
}
                 
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.12}\end{center}
\section{Orthogonalité dans l'espace}
\subsection{Définitions}
\noindent
\ENC{\Def}{
Deux droites $d$ et $\Delta$ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales 
si les parallèles à ces 
deux droites menées par un point $I$ quelconque sont 
perpendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles à $d$ et 
$\Delta$ passant par n'importe quel autre  point sont également 
perpendiculaires)
}
                       
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.13}\end{center}
\noindent Exemple~: $ABCDEFGH$ est un cube alors $(AD) \perp (HG)$.\\
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item  Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement 
perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En 
revanche la réciproque est vraie par définition de droites 
orthogonales.

	\item  Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas 
	nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube)
\end{itemize}
\ENC{\Def}{
Une droite $d$ est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale 
à toutes les droites de ce plan.
}
\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}
\noindent 
\ENC{\Thm}{
	Pour qu'une droite $\Delta$ soit orthogonale à un plan $P$ il suffit que 
	$\Delta$ soit orthogonale à deux droites sécantes de $P$.
}
                       
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.14}\end{center}
\noindent 
\ENC{\Thm}{\hfill
\begin{itemize} 
	\item  Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

	\item  Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à 
	l'un est orthogonale à l'autre.
\end{itemize}
}
                       
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.15}\end{center}
\noindent 
\ENC{\Thm}{\hfill
\begin{itemize}
	\item  Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une 
	est orthogonal à l'autre.

	\item  Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
\end{itemize}
}
                       
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.16}\end{center}
\subsection{Orthogonalité de deux droites de l'espace}
\ENC{\Thm}{
	Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est 
	orthogonale à l'autre.
}
\subsection{Plans perpendiculaires}
\noindent 
\ENC{\Def}{
	Un plan $Q$ est perpendiculaire à un plan $P$  ($Q \perp P$), si il 
	existe une droite de $Q$ orthogonale à $P$. (Dans ce cas on a 
	aussi $P \perp Q$). %preuve dans le Durande lycee 1981
}
                       
\begin{center} \includegraphics{fig2c_espace.17}\end{center}
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item l'exemple qu'il faut avoir en tête est celui d'un cube~: deux 
	faces quelconques non parallèles sont perpendiculaires.
	
	\item  Si $P \perp Q$ alors toute droite de l'un n'est pas 
	orthogonale à l'autre, c'est vrai pour l'une d'entre elles.( Dans un 
	cube $ABCDEFGH$ les faces $ABFE$ et $ABCD$ sont perpendiculaires 
	mais la droite $(AF)$ n'est pas orthogonale à la face $ABCD$ car elle 
	n'est pas orthogonale à (AB))
	
	\item  Si $P \perp Q$ et $P' \perp Q$ alors $P$ et $P'$ ne sont pas 
	nécessairement parallèles (facile à voir dans un cube avec les 
	faces). Cette relation de perpendicularité de plans est donc moins 
	souple que celle de perpendicularité de droites.
\end{itemize}
\noindent 
\ENC{\Thm}{
	Si $P$ et $P'$, deux plans sécants, sont perpendiculaires à un même 
	plan $Q$, alors leur intersection est orthogonale à $Q$.
}
                       
\begin{center} 
\includegraphics{fig2c_espace.18}\end{center}
\ENC{\Thm}{
Si $P \perp Q$, toute droite de l'un, qui est orthogonale à leur 
	intersection, est orthogonale à l'autre. (voir la figure de la 
	définition précédente)
}


\vfill

{\Large\textit{Merci à David \textsc{Nivaud}}}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
