

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\entete{}{}{}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\psshadowbox*[fillcolor=yellow,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{ \begin{center} { \LARGE\bfseries 1\textsuperscript{ère}ES3 - Devoir surveillé de mathématiques} \\
\normalsize samedi 24 mars 2007\quad durée: 1 heure\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\exot{}

Madame Mar\'echal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa client\`ele lit
 des romans ou des bandes dessin\'ees (BD). Pour approvisionner son rayon  cette libraire a besoin d'au moins 5 romans et 20 BD, mais ne peut d\'epasser les 180 ouvrages  au total.\\
La place n\'ecessaire, en moyenne, est de 3 cm pour un roman et de 2 cm pour une BD.\\
Madame Mar\'echal ne dispose que de 4,80 m de longueur d'\'etag\`eres pour ces 
ouvrages.\\
On note $x$ le nombre de romans et $y$ le nombre de BD en rayonnage.

\begin{enumerate} \item	Montrer que les contraintes de l'\'enonc\'e peuvent se traduire par 
le syst\`eme d'in\'equations suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x & \geqslant &  50\\
y &  \geqslant & 20\\
x + y& \leqslant &180\\
3x + 2y & \leqslant & 480\\
\end{array}\right.\]

\noindent o\`u $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

\item \`A tout couple $(x~;~ y)$, on associe le point $M$ de coordonn\'ees $(x~;~ y)$ 
dans le rep\`ere orthonormal \oij. Unit\'es graphiques : 1 cm pour 10 unit\'es.\\
D\'eterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~; ~ y)$ dont les 
coordonn\'ees v\'erifient les contraintes (on hachurera la zone ne convenant 
pas).\\
Cet ensemble est l'int\'erieur d'un quadrilat\`ere. On d\'eterminera 
pr\'ecis\'ement par le calcul les coordonn\'ees des sommets de ce quadrilat\`ere.

\item  Madame Mar\'echal r\'ealise un b\'en\'efice de $0,50$ \eurologo~ par roman et 
de $0,40$ \eurologo~  par BD. Elle d\'esire conna\^itre le nombre de romans et de BD pour obtenir
 un b\'en\'efice maximal dans l'hypoth\`ese o\`u elle vend la totalit\'e de ses 
 ouvrages.

\begin{enumerate} \item Exprimer son b\'en\'efice $B$ en fonction de $x$ et 
de $y$.

 \item Tracer les droites (D$_1$) et (D$_2$) correspondant respectivement \`a 
un b\'en\'efice $B_1$, de 100 \eurologo~ et \`a
un b\'en\'efice $B_2$ de 80 \eurologo. Justifier que ces droites sont parall\`eles.

 \item \`A l'aide du graphique, d\'eterminer alors le nombre de romans et le 
nombre de BD que Madame Mar\'echal doit avoir en rayon pour obtenir un b\'en\'efice 
maximal. Calculer ce b\'en\'efice.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{}

\noindent Résoudre dans $\bbr$ les inéquations suivantes, en détaillant toutes les étapes de la résolution:\\
a) $-2x^2+3x-5>0$ \qquad \qquad b) $(2x+3)^2\leq4$ \qquad \qquad c) $\displaystyle{\frac{-x^2+5x+14}{x-1}<0}$




\end{document}

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%%% End: 
