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%%############################# Début du bouquin ##############
%%###################################################################
%\begin{document}

\input{makcyber}

\setlength{\parindent}{0mm}


\LECOND{XV}{Quinzième}{ }{ APPROCHE INTUITIVE \\ DE L'INT\'EGRATION }{APPROCHE INTUITIVE DE L'INT\'EGRATION}{leibniz.eps}



\begin{Abstract}
Tout le monde le croyait mort~: il est pourtant de retour. Mais
trop longtemps prisonnier de la terrible tribu des fisyssiuns,
Mathemator a adopté leur langage et semble avoir oublié sa rigueur
mathématique...
\end{Abstract}









\SECTION{LE PRINCIPE DE SOMMATION INFINIE}{Le principe de
sommation infinie}



\SUBSECTION{Qu'est-ce qu'une intégrale ?}


\MAT{Tout d'abord, je suis heureux de vous retrouver sain et sauf
aprés ce terrible séjour chez les fizyssiuns.}

\pro Merci, cher disciple.

\MAT{Avide de connaissances mathématiques, j'ai jeté un coup d'œil
sur mon livre de Terminale pendant votre absence et j'ai cru
comprendre qu'une intégrale était une aire. }

\pro C'est un point de vue \mat, mais pour bien appréhender la
notion d'intégrale, il vaut mieux  revenir à l'interprétation
physique, le seul point de vue en termes d'aire est trop
réducteur.

\sm

Les physiciens utilisent les intégrales  pour calculer bien
d'autres choses que des aires : une masse, une énergie, un volume
ou encore un potentiel électrique peuvent s'écrire comme
l'intégrale d'une fonction d'une variable sur un segment. Dans
tous les cas, y compris celui du calcul d'aire,
 c'est
 la notion intuitive de
sommation infinie qui permet de faire ce lien entre une grandeur
physique et une intégrale.
 Pour vous faire une idée de ce qu'est une sommation infinie, je vous propose d'examiner
 ensemble trois exemples : un calcul de distance, un calcul d'aire et un calcul de volume.


\SUBSECTION{Comment calculer la distance parcourue connaissant les
vitesses instantanées ?}\label{long}

\pro Supposez, \mat,  que le compteur kilométrique de votre
scooter soit en panne et que vous ne disposiez que du compteur des
vitesses qui donne à tout instant $t$ la vitesse arithmétique
$v(t)$. Pouvez-vous calculer la distance $\ell$ parcourue entre
deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ ?

\MAT{Si la vitesse est constante et égale à $v_0$, on a
$\ell=v_0\,(t_2-t_1)$. Mais sinon..., je ne vois pas.}


\pro Eh bien sinon, on se ramène à des intervalles de temps
<<~très petits~>> où la vitesse est <<~presque constante~>>. En
cela, nous allons raisonner en physicien, le but étant d'avoir une
bonne intuition de ce qu'est une intégrale, mais il ne faut pas
croire que vous pourrez utiliser ce genre d'arguments dans un
raisonnement mathématique. Je m'explique.

 Nous allons imaginer que
l'intervalle $[t_{1},t_{2}]$ est découpé en une infinité de petits
intervalles de temps de durée $dt$. Pendant l'un de ces
intervalles $[t,t+dt]$, on parcourt approximativement la distance
$v(t)\,dt$, car l'intervalle
 étant infiniment petit, on peut supposer que la vitesse est constante et égale
à $v(t)$ entre $t$ et $t+dt$. La distance totale $\ell$ correspond
donc à la somme, en nombre infini, de ces distances infiniment
petites, pour $t$ variant de $t_{1}$ à $t_{2}$.
%Graphiquement,
%la distance parcourue entre $t$ et
%$t+dt$ s'assimile à l'aire infiniment petite hachurée.
%
%\bigskip
%\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
En notation intégrale, cela s'écrit
$$ \ell=\int_{a}^{b}v(t)\,dt.$$
\MAT{Mais pourquoi utilise-t-on le symbole $\int$ ?}

\pro Parce qu'il représente le S de \emph{summa} qui signifie
somme en latin ; il a été inventé par Leibniz de même que les
notations $dt$, $dx$... Vous voyez bien qu'une intégrale est avant
tout une somme !

\MAT{D'autre part, je ne vois pas bien quel sens précis on
pourrait
 donner à cette somme en nombre
infini de quantités infiniment petites...}

\pro Il y a effectivement un vrai problème de définition. Mais
vous ne saurez exactement ce que représente $\int_{a}^{b}v(t)\,dt$
que l'année prochaine. En attendant, voici d'autres exemples.



\SUBSECTION{Quelle est l'aire délimitée par une courbe ?} \pro Parlons un peu, \mat, de l'aire d'une portion de plan délimitée par la
courbe représentative d'une fonction. On considère donc une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, et pour $c$ et $d$ dans $ [a,b]$ avec
$c<d$, on note $\mathcal{A}(c,d)$ l'aire de la portion de plan comprise entre les droites d'équations $x=c$, $x=d$, $y=0$ et la courbe
d'équation $y=f(x)$.

\begin{center}
\includegraphics{tsx5.127}
\end{center}

Pour comprendre comment peut se calculer $\mathcal{A}(a,b)$, nous
allons, comme pour le calcul de distance de tout à l'heure,
découper  l'intervalle $[a,b]$ en une infinité
 de petits
intervalles de la forme $[x,x+dx]$ correspondant à une petite aire
$\mathcal {A}(x,x+dx)$.



\begin{center}
\includegraphics{tsx5.128}
\end{center}


\MAT{ Et j'imagine qu'on va dire que $\mathcal {A}(a,b)$ est la
somme en nombre infini des aires $\mathcal{A}(x,x+dx)$ infiniment
petites pour $x$ variant de $a$ à $b$.}

\pro Quel talent~!

\MAT{J'ai compris le principe, mais en quoi suis-je avancé, une
fois que j'ai fait ce découpage ? Je me retrouve avec une infinité
de calculs à faire, au lieu d'un seul.}

\pro Certes, mais ce qui est intéressant, c'est qu'on peut donner
une valeur approximative de $\mathcal{A}(x,x+dx)$. En effet, comme
$dx$ est infiniment petit,  $f$ est presque constante et égale à
$f(x)$  sur tout l'intervalle $[x,x+dx]$. Donc
$\mathcal{A}(x,x+dx)$ vaut à peu près l'aire d'un rectangle de
base $dx$ et de hauteur $f(x)$, c'est à dire $f(x)dx$.

 Avec les mêmes
notations que dans le problème précédent, on a donc, en faisant la
somme pour $x$ variant de $a$ et $b$ des aires infiniment petites
$f(x)dx$
$$\mathcal{A}(a,b)=\int_a^bf(x)\,dx.$$

Voilà pourquoi un calcul d'aire peut se ramener à un calcul
d'intégrale.

\SUBSECTION{Quel est le volume intérieur à une sphère ?}

\MAT{Après la dimension 1 et la dimension 2, maintenant la
dimension 3, c'est ça~?}

\pro Oui, une distance, une aire, un volume sont en fait des
\textit{mesures} d'objets à une, deux ou trois dimensions. Et qui
dit mesure, dit intégrale.

\MAT{Vous allez donc exprimer le volume intérieur à une sphère
comme une intégrale.}

\pro Effectivement, nous allons imaginer que l'intérieur de la
 sphère est découpé
en une infinité de parties de volume infiniment petit, puis
effectuer la somme de ces petits volumes. Il y a plusieurs
manières de procéder : découper  l'intérieur de la sphère en une
infinité de sphères concentriques, comme des poupées russes, ou
alors considérer qu'elle est composée de tranches horizontales
infiniment fines.
%Nous allons effectuer le calcul
%du volume à l'aide du découpage en tranches, mais pour vous entraîner \mat,
%vous pourrez essayer ensuite la méthode des poupées russes
%vous-même. Une indication quand même : l'aire d'une sphère de rayon $r$ est $4\pi r^2$.
%
\MAT{Je préférerais les tranches Professeur, car je ne joue plus à
la poupée.}

\pro Comme vous voulez. Alors commençons par supposer que la
sphère a pour rayon $R$ et pour équation dans un repère orthonormé
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$, et découpons.


\begin{center}
\includegraphics{tsx5.129}
\end{center}


Il faudrait maintenant <<~calculer~>> le volume de la tranche
hachurée qui correspond aux points dont l'altitude est comprise
entre $z$ et $z+dz$. Et cette fois, \mat, en quoi va consister
l'approximation ?

\MAT{Facile, facile, je vais dire que cette tranche a un rayon
constant puisque son épaisseur $dz$ est infiniment petite, et donc
c'est un cylindre.}

\pro Oui, poursuivez donc le calcul, je vois que vous êtes bien
parti !

\MAT {Cette tranche a approximativement pour volume
$\pi\,r^2(z)\,dz$ où $r(z)$ est le rayon de la section d'altitude
$z$. Il me reste à calculer $r(z)$, mais là, je suis un peu en
panne. Un petit indice, Professeur ?}

\pro Il tient en un mot : Pythagore.

\MAT{Merci, Professeur.


\begin{center}
\includegraphics{tsx5.1291}
\end{center}


 D'après le théorème de Pythagore, on a
$r^2(z)+z^{2}=R^{2}$ et le volume total est donc
$$V=\int_{-R}^{R}\pi(R^{2}-z^{2})dz.$$ Et j'ai fini !}

\pro Très bien, \mat, mais ça ne sera fini que lorsqu'on aura
simplifié cette intégrale ! Cela se fait en utilisant les
techniques de calcul d'intégrales à l'aide de primitives,
 et avec ces techniques, on obtient facilement
la formule classique
 $\ds V={4\over3}\,\pi\,R^3$.


%\SUBSECTION{Est-ce que la sommation infinie a un rapport avec les séries ?}
%
%\MAT{Si vous voulez savoir mon avis, c'est oui. Dans les deux cas, il s'agit bien
%d'une somme avec un nombre infini de termes.
%}
%
%
%Certes, mais malgré les apparences, il n'y a pas de rapport !
%La notion intuitive de somme en nombre
%infini de quantités infiniment petites est très différente de la notion
%de somme d'une série. La somme d'une série s'interprète bien comme
% la somme d'un nombre infini de termes, mais ces termes sont les termes d'une suite donnée,
%ce qui ne peut pas être le cas pour une sommation infinie ou pour une intégrale.
%
%\MAT{Alors là, je  ne suis pas d'accord. J'ai
%étudié la méthode des rectangles pour approcher $\ds\int_0^1f(x)\,dx$ :
%on découpe l'intervalle $[0,1]$
%en $N$ intervalles  de même longueur $1/N$, et on
%appelle $S_N$ l'aire totale des petits rectangles.
%
%\DESSIN
%
%Alors $S_N$ est la somme partielle d'une série puisque
%$$ S_N=\sum_{n=1}^Nf\left({n\over N}\right)\times{1\over N},$$
%et $\ds \int_0^1f(x)\,dx$ est bien la somme d'une série car on a
%montré que
%$$\lim_{N\to+\infty}S_N=\int_0^1f(x)\,dx.$$
%}
%
%
%
%Attention \mat, on ne peut pas interpréter $S_N$ comme la somme partielle d'une série
%car le terme général de la somme définissant $S_N$ dépend de $N$.
%Autrement dit, $S_N$ n'est pas de la forme
%$\ds \sum_{n=1}^Nu_n$, mais de la forme $\ds \sum_{n=1}^Nu_{n,N}$, ce qui est très différent.
%Croyez-moi, il n'y a vraiment pas moyen de se ramener aux séries pour définir une intégrale.


























\SECTION{EXERCICES : INT\'EGRATION SANS PRIMITIVES}{Exercices :
Intégration sans primitives}

 \setlength{\parindent}{0pt}





\exo Calculez les intégrales suivantes, après avoir fait un petit
dessin.
$$I_1=\int_a^bk\,dx\ \ \text{avec }\ k>0\qquad I_2=\int_0^4(3-x)\,dx\qquad
I_3=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx  $$

\exo Dans cet exercice, vous pourrez utiliser les résultat
suivant~: $\int_0^1x^2\,dx=1/3$ pour calculer certaines des
intégrales proposées. \been \item $I_4=\ds\int_0^1(5x^2+3x)\,dx$
\item $I_5=\ds\int_{-1}^1x^2\,dx$  \item
$I_6=\ds\int_{-1}^1(x^2-3x+8)\,dx$
\item
$I_7=\ds\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^5x\,dx$\een

\exo \been
      \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\fr{t^2}{2}\ie\fr{t^2}{1+t}\ie t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\fr{t^2}{1+t}\,dt$.
      \een
\exo Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que, pour
tout $x\in[0,1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\ie
f(x)\ie M$.

Déterminez la limite de la suite de terme général
$$u_n=\int_0^{1/n}f(x)\,dx$$

\exo \'Etudiez la limite de la suite de terme général
$u_n=\ds\int_n^{n+1}e^{-x}\,dx$.

Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n,n+1]$ en
fonction de $n$.

\exo On pose $I_n=\fr{1}{n!}\ds\int_0^1(1-x)^ne^{-x}\,dx$, pour
tout $n\in\bbn$.

Prouvez que $0\ie I_n\ie \fr{1}{n!}\ds\int_0^1e^{-x}\,dx$ et
déduisez-en $\lin{I_n}$.



















\SECTION{LIENS ENTRE INT\'EGRALES ET PRIMITIVES}{Liens entre
intégrales et primitives}




\pro Pour bien comprendre ce lien fondamental, nous allons
utiliser l'interprétation de l'intégrale en
 termes d'aire. On se donne $f:[a,b]\to\bbr$ continue, et on note, pour  $x\in[a,b]$,
 $$S(x)=\int_a^xf(t)dt$$
l'aire  grisée

\begin{center}
\includegraphics{tsx5.135}
\end{center}



Le problème est donc
 de calculer $S(b)$ connaissant $f$. Mais nous allons dans un premier temps prendre  le problème à
l'envers, et montrer comment retrouver $f$ à partir de $S$.

\sm


Le raisonnement suivant est dû à Newton, mais je vais vous
l'exposer
 en langage moderne.
Fixons $x$ dans $[a,b[$. Examinons ce qui se passe si $h$ est <<~petit~>>.

\begin{center}\label{rect1}
\includegraphics{tsx5.136}
\end{center}



 Je pense que vous serez d'accord pour dire que, comme $h$ est petit, l'aire de la région en noir semble
négligeable devant l'aire du rectangle qui est en dessous.

\MAT{Négligeable au sens physique du terme~?}

\pro Oui. Ensuite, comme le rectangle a pour aire $f(x).h$, on en
déduit
$$S(x+h)-S(x)\simeq f(x)\,h.$$
Attention, le symbole $\simeq$ n'a pas de sens précis en
mathématiques. Ce raisonnement s'apparente plutôt aux
raisonnements des physiciens sur les ordres de grandeurs.

\sm

Ensuite, en divisant par $h$, on a
$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h}\simeq\ f(x).$$
On constate alors que le membre de gauche est un taux
d'accroissement, qui est <<~très proche~>> de la dérivée de $S$ en
$x$ puisque $h$ est <<~petit~>>.
 On obtient donc que $S$ semble dérivable en $x$ et que $S'(x)=f(x)$,
 et comme $x$ a été pris arbitrairement dans $[a,b[$,
 on a <<~montré~>> que
$S$ est une primitive de $f$. C'était plutôt inattendu, non ?

\sm

Là encore, j'ai laissé de côté les difficultés techniques pour
vous faire comprendre l'idée. Je ne vous ai pas montré
rigoureusement que $S'=f$. En particulier, j'ai sous-entendu  que
$h$ était positif, et il faudra étudier le cas où $h$ est petit et
négatif, sinon nous aurions seulement démontré que la dérivée à
droite de $S$ en $x$ existe et vaut $f(x)$.

\sm




\MAT{ C'est joli, mais \c ca ne nous dit toujours pas comment
calculer
 $\ds\int_{a}^{b}f(t)dt$.
 }


\pro Nous y sommes presque. Considérons  une primitive quelconque
 de $f$ sur $[a,b]$, que nous noterons $F$. Vous vous souvenez
  que nous avons montré
  que deux primitives d'une même fonction définie sur un intervalle
  diffèrent d'une constante. Donc,
 il existe un réel $k$ tel que
$S(x)=F(x)+k$ pour tout $x\in[a,b]$. Ainsi, comme $S(a)=0$, on a
$$
\int_{a}^{b}f(t)dt=S(b)=S(b)-S(a)=\bigl(F(b)+k\bigr)-\bigl(F(a)+k\bigr)=F(b)-F(a).$$
La boucle est bouclée ! Maintenant, $\ds\int_{0}^{1}x\,dx$ est
très simple à calculer.

Avec la notation $F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b$, on obtient par
exemple :
$$\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}.$$

Finalement~:


\ENC{} { Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\bbr$ et
soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$ , alors
$$ \int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$
 }

















\SECTION{QUIZZ}{Quizz}



\qst{Vrai ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.

\qst{Vrai ou faux~?} Si $\ds\int_{-2}^2f(t)\,dt=0$, alors $f$ est
impaire.

\qst{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\ds\int_{-2}^2f(t)\,dt=0$.

\qst{Vrai ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\ds\int_{1}^xf(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.

\qst{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}\ds\int_1^xf(t)\,dt=+\infty$


\qst{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}\ds\int_1^xf(t)\,dt=32$

\qst{Vrai ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\ds\int_0^uE(x)\,dx\in\bbn$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.

\qst{Vrai ou faux~?}
$\ab{\ds\int_a^bf(t)\,dt}=\int_a^b\ab{f(t)\,dt}$

\qst{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\ds\int_a^bf(t)\,dt}<\int_a^b\ab{f(t)\,dt}$

\qst{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\ds\int_a^bf(t)\,dt}=\int_a^b\ab{f(t)\,dt}$

\qst{Vrai ou faux~?} $\ds\int_2^3xt^2\,dt=\int_2^3xt^2\,dx$

\qst{Vrai ou faux~?} $\ds\int_2^3xt^2\,dt=\int_2^3x^2t\,dx$

\qst{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\ds\int_1^2f(t)\,dt=\int_1^2g(u)\,du$


\qst{Vrai ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u)\,du$ l'est aussi.

\qst{Vrai ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u)\,du$ l'est aussi.









\SECTION{LE PROBLÈME DE L'IVROGNE }{Le problème de l'ivrogne}
\label{ivrogne}
 \setlength{\parindent}{0pt}


\ENC{}{Un ivrogne part à un instant donné d'un point donné. À
chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui
peut changer de façon arbitraire à chaque pas). Comme il se
fatigue, ses pas sont de plus en plus courts. Peut-on prévoir
qu'au bout d'un certain temps il restera à moins d'un mètre d'une
certaine position si on admet que la longueur de son $n$-ième pas
est $1/n$ mètre ? $1/n^2$ mètre ?}


\SUBSECTION{Étude de la convergence d'une série}

\been \item Soit $\un$ une suite convergeant vers un réel $\ell$.
On considère la suite $(u_{2n})_{n\in\bbn}$ des termes de rang
pair de la suite $\un$. Montrez, à l'aide de la définition de la
convergence d'une suite, que $(u_{2n})_{n\in\bbn}$ converge aussi
vers $\ell$.

\item On pose $S_n=\ds\sum_{k=1}^n \fr{1}{k}$. Quel est le lien
avec l'ivrogne ?

\item Exprimez $S_{2N}-S_N$. Quel est le plus petit terme de cette
somme. Déduisez-en que $S_{2N}-S_N\se 1/2$ pour tout $N\in\bbn^*$.

\item Supposons maintenant que la suite $(S_n)_{n\in\bbn^*}$
converge vers un réel $\ell$. En utilisant le résultat précédent
et les propriétés des opérations sur les limites, montrez qu'on
arrive à prouver que $0\se1/2$. Qu'en concluez-vous sur
$(S_n)_{n\in\bbn^*}$ ?

\item Résolvez alors le premier problème de l'ivrogne. \een

\SUBSECTION{Utilisation du logarithme népérien et des suites
adjacentes}

On cherche maintenant à estimer la distance parcourue par
l'ivrogne, même si l'on sait qu'elle tend vers l'infini.

\been

\item On définit deux suites $(v_n)_{n\in\bbn^*}$ et
$(w_n)_{n\in\bbn^*}$ vérifiant pour tout $n\in\bbn^*$
$$v_n=S_n-\ln(n+1) \quad \text{et}\quad w_n=S_n-\ln n$$
\been \item Montrez que, pour tout $t\in]-1,+\infty[$,
$\ln(1+t)\ie t$.

\item Prouvez alors que les suites $(v_n)_{n\in\bbn^*}$ et
$(w_n)_{n\in\bbn^*}$ sont adjacentes.

\item Montrez que leur limite commune $\gamma$ appartient à
l'intervalle $]0,1[$. \een

\item Montrez qu'il existe une suite
$(\e_n)_{n\in\bbn^*}$ telle que
$$S_n=\ln n+\gamma+\e_n\qquad \text{avec} \lin{\e_n}=0$$

\item Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de
$\gamma$ à $10^{-2}$ près. Donnez également une approximation de
la distance parcourue par l'ivrogne au bout de 24 heures.

\een



\SUBSECTION{Comparaison série - intégrale}

On note $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par
$f(x)=1/x^2$.

\been

\item En utilisant le schéma
\label{rect2}


\begin{center}
\includegraphics{tsx5.11}
\end{center}

 la relation de Chasles et la décroissance de $f$, montrez que

$$\ds \sum_{n=2}^Nf(n)\ie\int_{1}^Nf(x)\,dx$$

%
%\begin{center}
%
%\includegraphics{SerieInt.2}
%
%\end{center}


\item On pose $S'_n=\ds\sum_{k=1}^n\fr{1}{k^2}$. En utilisant la question précédente, prouvez que la
suite $(S'_n)_{n\in\bbn^*}$ converge. On notera $L$ la limite.

\item En utilisant judicieusement des petits rectangles, un peu
comme tout à l'heure, montrez que
$$\int_{N+1}^{K+1}f(t)\,dt\ie\sum_{p=N+1}^Kf(p)\ie\int_N^Kf(t)\,dt$$

\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ telle que
$\Lim{+\infty}F(x)=0$. En utilisant la double inégalité
précédente, montrez que
$$-F(N+1)\ie L-\sum_{p=1}^Nf(p)\ie -F(N)$$

\item Déduisez-en une valeur approchée de $L$ à $10^{-2}$ près.


 \item Que peut-on en déduire pour l'ivrogne ?




\bigskip

Pour illustrer notre propos, voici la courbe de l'ivrogne issue de l'étude du mouvement Brownien, ou comment  l'étude des probabilités
mène à l'alcool.\label{ivrogne}
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{ivrognecourbe.eps}
\end{center}


\een





\SECTION{EXERCICES DIVERS}{Exercices divers}

\exot{Style bac avec Roc}


\textsl{Le but de l'exercice est d'établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On prendra
comme prérequis la définition suivante :}

\noindent \textbf{Définition :} $H$ est une primitive de $h$ sur $[a~;~ b]$ si et seulement si $H$ est dérivable sur $[a~;~ b]$ et si
pour tout $x$ de $[a~;~ b]$ on a $H'(x) = h(x)$.

\noindent Dans la suite on note $f$ la fonction définie sur $\R$ par

$$f(t) = \ln \left(t^2 + 1\right)$$

\begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $f$ est continue sur $[0, +\infty[$.

\item Montrer que $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

La fonction $f$ est représentée ci-dessous :

%\begin{center}
%\psset{unit=2.7cm}
%\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(3.4,3.4)
%%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=5](0,0)(-0.4,-0.4)(3.4,3.4)
%\psaxes{->}(0,0)(-0.4,-0.4)(3.4,3.4) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](2.28,0){$x_{0}$}
%\uput[d](2.57,0){$x_{0}+h$} \psplot{-0.4}{3.4}{x 2 exp 1 add ln}
%\psline[linestyle=dotted](2.28,0)(2.28,1.8243) \psline[linestyle=dotted](2.57,0)(2.57,2.0288)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \psplot{2.28}{2.57}{x 2 exp 1 add ln}
%\psline(2.57,0)(2.28,0)}
%\end{pspicture}
%\end{center}


Pour $\alpha \geqslant  0$, on note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire de la portion de plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe
représentative de $f$ et la droite d'équation  $x = \alpha$.

\item \begin{enumerate} \item Soit $x_{0}$ et $h$ des réels strictement
positifs. En utilisant un  rectangle convenablement choisi, établir l'encadrenent

\[\ln \left(1 +x_{0}^2\right)  \leqslant    \cfrac{\mathcal{A}(x_{0 }+
h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} \leqslant   \ln \left[1 + \left(x_{0} +h\right)^2\right].\]

\item Quel encadrement peut-on obtenir de la même manière pour $h < 0$
et $h \geqslant -x_{0}$ ?

\item \textbf{Démontrer} que $\mathcal{A}$ est dérivable  en $x_{0}$. Quel est le nombre dérivé
de $\mathcal{A}$ en $x_{0}$ ?

\end{enumerate}

\item  Expliquer pourquoi $\ln (2) \leqslant \mathcal{A}(2) \leqslant 2
\ln(5).$

\end{enumerate}

\exot{Roc again}


\begin{enumerate} \item On considère la fonction numérique $f$ définie
sur $[1~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \fr{1}{x} \text{exp} \left( \fr{1}{x}\right).\]

\noindent On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij~ du plan.

\noindent Pour tout réel $\alpha \geqslant  1$, on considère les intégrales
    'i
\[J(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^{2\alpha} \fr{1}{x}
\:\text{d}x \qquad  \text{et} \qquad  K(\alpha) =\displaystyle\int_{\alpha}^{2\alpha} \fr{1}{x}\text{exp} \left(
\fr{1}{x}\right)\:\text{d}x.\]

Le but de l'exercice est d'étudier, sans chercher à la calculer, l'intégrale $K(\alpha)$.

\begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le
résultat.

\item Étudier le sens de variation de $f$

\item Donner l'allure de la courbe $\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement le nombre $K(\alpha)$.

\item Soit $\alpha \geqslant  1$, montrer que

\[\fr{1}{2}\text{exp} \left(\fr{1}{2\alpha}\right) \leqslant
K(\alpha) \leqslant \text{exp} \left(\fr{1}{\alpha}\right).\]

\item En déduire que

\[\fr{1}{2}  \leqslant K(\alpha) \leqslant \text{e}.\]

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Calculer $J(\alpha)$.

\item Démontrer que pour tout réel $\alpha \geqslant  1$

\[\text{exp}\left(\fr{1}{2\alpha}\right) \ln (2) \leqslant
K(\alpha) \leqslant  \text{exp} \left(\fr{1}{\alpha}\right) \ln (2).\]

\end{enumerate}

\item \textbf{Démonstration de cours.}

\textbf{Prérequis :} Définition de la limite d'une fonction en $+ \infty$.

\textbf{Démontrer} le théorème suivant :

Soient $u,~ v$ et $w$ des fonctions définies sur $[1~;~ +\infty[$ telles que pour tout réel $x \geqslant 1,~ u(x) \leqslant (v(x)
\leqslant w(x)$.

S'il existe un réel \textsl{l} tel que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x) = \textsl{l}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} w(x)
= \textsl{l}$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} v(x) =  \textsl{l}$.

\item Déduire de ce qui précède la limite de $K(\alpha)$ lorsque
$\alpha$ tend vers $+ \infty$.

\end{enumerate}






\exot{Let's Roc}



\noindent \textbf{\gray Partie A}

On consid\`ere la fonction nutn\'erique $f$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]

\noindent On note $\mathcal{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$
(on pourra pour cela justifier et exploiter l'\'ecriture pour tout $x$ r\'eel strictement positif : $\left.~ f(x) =
\cfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \cfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.

\item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $]0~;~+
\infty[$ puis calculer $f'(x)$.

\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variation
de $f$.

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ (unit\'e graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathcal{C}$est tangente en O à l'axe des ordonn\'ees.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B}

On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\:
f(t)\:\text{d}t$.

\begin{enumerate} \item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $u_{n}$.

\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ non
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.


\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante.

\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et d\'eterminer sa limite.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie C}

On consid\`ere la fonction num\'erique $F$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $F$ est d\'erivable sur $[1~;~+ \infty[$ et
calculer $F'(x)$.

\item En d\'eduire le sens de variations de $F$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ positif : $t +
2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.

\item En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :

\[F(x) \leqslant \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
\text{d}t.\]

\item À l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que pour tout
$x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ :

\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 4 -
(x + 3)\text{e}^{1-x}.\]

\item En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+
\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.

\end{enumerate}

\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$ à l'aide d'une int\'egrale. Montrer que la
suite $\left(S_{n}\right)$ converge et donner un encadrement de sa limite.

\end{enumerate}



\exot{Partage équitable}



Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.

\noindent Soient $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f'x) = \text{e}^{x - 1}$ et  $\mathcal{C}$ sa courbe
repr\'esentative dans le rep\`ere \Oij.

\noindent On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
 d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.

\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.

\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathcal{C}$.

\noindent  On d\'esigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.

\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)

     \uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}

\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0, 1],
calculer $g(x)$ en fonction de $x$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].

\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1] tel que
$g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e  de l'aire de $\Delta$.

\item Trouver une valeur approch\'ee de $\alpha $ à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut.

\end{enumerate}




\exot{Partage équitable avec Roc}



Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.

\noindent Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et d\'erivable sur [0 ; 1], $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative
dans le rep\`ere \Oij et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.

\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.

\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathcal{C}$.

\noindent On d\'esigne par $F$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$
l'aire de $T_{x}$.

\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)

     \uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}

\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle [0 ; 1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.

\item \textbf{D\'emonstration de cours} D\'emontrer que $F$ est
d\'erivable et a pour d\'eriv\'ee $f$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].

\item \begin{enumerate} \item Par des consid\'erations d'aires, montrer que
$g(0) \leqslant \cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.

\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1]
tel que $g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e de l'aire de $\Delta$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\exot{}



Les questions sont ind\'ependantes. II est demand\'e de justifier toutes les r\'eponses fournies.

\begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants, proposer une
fonction $f$ qui v\'erifie les propri\'et\'es donn\'ees.

\noindent On donnera l'expression de $f(x)$.

\begin{enumerate} \item $f$ est d\'efinie sur $\bbr$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} +
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et l'\'equation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.

\item $f$ est d\'efinie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
r\'eels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.

\item $f$ est une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.

\end{enumerate}

\item Soit $g$ une fonction d\'efinie et d\'erivable, de
d\'eriv\'ee $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe repr\'esentative de $g$ est donn\'ee ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2)
\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0) \psline{->}(0,-1)(0,2) \psplot{-1}{1}{x 1 sub x mul} \uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent Les affirmations suivantes sont-elles coh\'erentes avec le sch\'ema:

\begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?

\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant -
\cfrac{1}{2}$~ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}







\exot{}

Soit $f:[a,b]\to\bbr$ continue. Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour que
$$\left\vert\int_a^bf(x)\,dx\right\vert=\int_a^b\vert f(x)\vert\,dx.$$

\exot{}

 Calculez en fonction du réel $a$ appartenant à $[0,1]$  l'intégrale $\ds\int_0^1\vert t^2-a\vert\,dt$ puis déterminez le minimum de
 cette intégrale quand $a$ décrit $[0,1]$.

 \exot{}

 \`A l'aide de majorations ou d'encadrements, d\'eterminer la limite
 quand $n$ tend vers $+\infty$ de :
$$I_1=\int_0^\pi{\sin x\over x+n}dx,\quad I_2=\int_0^1{x^n\over1+x}dx,
\quad I_3=\int_0^1(1+x^2)^{1/n}dx, \quad I_4=\int_1^2{e^{-nx}\over1+x^2}dx.$$
$$I_5=\int_0^\pi\frac{n\,\sin x}{x+n}\,dx,\quad I_6=\int_0^2\frac{x^{2n}}{1+x^n}\,dx,
\quad I_7=\int_1^{1+1/n}\sqrt{1+t^n}\,dt.$$ \jok{Pour $I_5$, majorez $\ds\int_0^{\pi}\pa{\fr{n\sin x}{x+n}-\sin x}dx$. Pour $I_7$,
$\lin{(1+1/n)^n=e}$}

\exot{}

Soit $f:[a,b]\to\bbr$ continue. \'Etudier
$$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx$$
dans les cas suivants : \been
\item pour tout $x\in[a,b]\ \ \ \vert f(x)\vert<1.$
\item pour tout $x\in[a,b]\ \ \ f(x)= 1.$

\item pour tout $x\in[a,b]\ \ \ f(x)> 1.$
\jok{$f$ étant continue sur $[a,b]$, il existe $\mu>1$, $x_0\in]a,b[$ et $\e>0$ tels que $f(x)\se\mu$ pour tout $x\in[x_0-\e,x_0+\e]$}
\een

\exot{}

 Soit $f:[0,1]\rightarrow\bbr$ dérivable et de dérivée continue. Montrez que
$$\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1x^nf(x)dx=f(1)$$

 à l'aide d'une intégration par parties.

\exot{Théorème de Riemann-Lebesgue}

Soit $f:[a,b]\to\bbr$ dérivable et à dérivée continue. Pour $n\in\bbn$, on pose $$ I_n=\int_a^bf(x)\,\sin(nx)\,dx$$

\been \item
Voici une représentation graphique de la fonction $x\mapsto f(x)\sin(nx)$ :


\begin{center}
\includegraphics{ts5.12}
\end{center}

Donnez une interprétation de $I_n$ en termes d'aire pour $n$ <<~grand~>> et déduisez-en une conjecture concernant la convergence de la
suite $(I_n)$.
\item Démontrez cette conjecture à l'aide d'une intégration par parties. Ce résultat constitue un cas particulier du théorème sus-cité.


\een

\exot{Lemme de Gronwall} Soit $f:[0,+\infty[\to\bbr$ continue telle que
$$\text{pour tout } x\se0\ \ \ 0\ie f(x)\ie\int_0^xf(t)\,dt$$
Montrez que $f$ est identiquement nulle. On pourra introduire la fonction
$$g~:~x\mapsto e^{-x}\int_0^xf(t)\,dt$$ et étudiez ses variations.

\exot{Développement en série entière de $\ln(1-x)$}



Soit $x\in[0,1[$ et $n\in\bbn$. \been
\item Montrez que, pour tout $t\in[0,x]$, on a
$$\left\vert\frac{1}{1-t}-\sum_{k=0}^nt^k\right\vert\ie\frac{ t^{n+1}}{1-x}.$$
\item Soit $x\in [-1,0]$. Montrez que $\text{pour tout } t\in[x,0]\ \
\left\vert\fr{1}{1-t}-\ds\sum_{k=0}^nt^k\right\vert\ie |t|^{n+1}$.
\item Soit $x\in[-1,1[$. Déduisez des questions précédentes que $$\lin
\ds\sum_{k=0}^n\frac{x^{k+1}}{k+1}=-\ln (1-x)$$ On obtient ainsi ce qu'on appelle un développement en série entière de $\ln(1-x)$ : on
<<~remplace~>> une fonction compliquée par une sorte de <<~polynôme infini~>> à coefficients entiers. Cela permet dans certains cas de
simplifier des calculs (si si !). Vous verrez ça plus tard. \een


\exot{Calculs de primitives} Déterminez une primitive $F_k$ de la fonction $f_k$ en précisant sur quel(s) intervalle(s) on a
$F_k'(x)=f_k(x)$ ou calculez $I_k$ selon les cas. \been
\item $f_1(x)=\tan x$
\item $f_2(x)=\sin(px)\cos(qx)$ avec $p$ et $q$ des entiers naturels non nuls.
\item $f_3(x)\sqrt{x^2+1}$
\item $I_4=\ds\int_1^23(x-1)^2\ln (x)\,dx$
\item $I_5=\ds\int_0^{\pi}\sin(x)e^{-x}\,dx$
\item $I_6=\ds\int_0^{\pi/4}\fr{x}{\cos^2(x)}\,dx$
\item $I_7=\ds\int_1^3\fr{x+1}{x}(\ln(x)+x)^3\,dx$
\item $I_8=\ds\int_{-1}^1\fr{dx}{1+e^{-x}}$
\item $I_9=\ds\int_0^{\pi/3}\fr{\sin x}{(1+\cos x)^2}\,dx$
\item $f_{10}(x)=\fr{1}{x\ln x}$
\item $f_{11}(x)=(x-1)^2\cos x$
\item $f_{12}(x)=3(x-1)^2\ln x$
\item $f_{13}(x)=\fr{\sqrt{\ln x}}{x}$
 \een






\exot{Transformée de Fourier du signal $s(t)=\cos(\pi t)\Pi(t)$}

Il s'agit de calculer l'intégrale $X(s)=2\ds\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi t)\cos(2\pi ft)\,dt$  où $f$ est un paramètre positif.



\exot{Transformée de Laplace de la fonction rampe}

On pose $I(x)=\ds\int_0^xte^{-pt}\,dt$ où $p$ est un paramètre réel. Calculez $I(x)$ puis $\Lim{+\infty}I(x)$ en discutant selon les
valeurs du paramètre $p$.


\exot{Discrétisation d'une équation différentielle}

\subsection*{Quel est le problème~?}

Soit $(E)$ l'équation différentielle $x'(t)+3x(t)=2$, $x(0)=1$. Nous savons parfaitement résoudre cette équation (d'ailleurs faîtes-le~:
vous noterez $f$ la solution). Nous allons voir une méthode qui va vous paraître beaucoup plus compliquée, mais qui s'avérera fort utile
quand il s'agira de résoudre des équations différentielles plus sophistiquées où les méthodes habituelles de résolution ne nous
permettront plus de conclure.

Nous allons <<~observer~>> la solution de l'équation à intervalle de temps régulier : la période d'échantillonnage qu'on notera $T_e$. On
fixera par exemple $T_e=0,2\, s$.

Nous allons intégrer l'équation $(E)$ sur une période d'chantillonnage quelconque, c'est à dire sur un intervalle $[kT_e,(k+1)T_e]$, avec
$k$ un entier naturel. Cela donne, grâce à la linéarité de l'intégration :

$$\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x'(t)\,dt+3\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x(t)\,dt=2\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}dt$$

On définit la suite $(x_k)_{k\in\bbn}$ par $x_k=x(kT_e)$.

Calculez le premier terme du premier membre ainsi que le second membre de l'équation : pas de problème.

Plus compliqué va être de calculer $\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x(t)\,dt$ car nous ne connaissons pas $x$, donc encore moins une de ses
primitives. Nous allons malgré tout nous en tirer en déterminant une approximation du résultat.


\subsection*{Méthode des trapèzes}

\begin{center}
\includegraphics{tsx5.32}
\end{center}


Il semble raisonnable de penser que plus  $T_e$ sera petit, plus l'aire rouge le sera également et donc meilleure sera l'approximation.
Vous aurez également noté que cette méthode est encore plus précise que celle des rectangles proposée aux
pages~\pageref{rect1}~et~\pageref{rect2}.

Maintenant, en vous souvenant de la formule $\AR(\text{trapèze})=\fr{(\text{petite base}+\text{grande base})\times\text{hauteur}}{2}$,
donnez l'aire du trapèze bleu.

\subsection*{\'Equation aux différences}

Déduisez-en que la suite $(x_n)$ vérifie l'équation aux différences $(F)$
$$\fr{13}{10}x_{n+1}-\fr{7}{10}x_n=\fr{2}{5}$$
Vous reconnaissez une suite arithmético-géométrique rencontrée page~\pageref{ag}. En déterminant la solution $\al$ de
l'équation~$\fr{13}{10}x-\fr{7}{10}x=\fr{2}{5}$ et en étudiant la suite définie par $v_n=x_n-\al$, exprimez $x_n$ en fonction de $n$.
\jok{$x_0=1$ et $x_n=\fr{2}{3}+\fr{1}{3}\pa{\fr{7}{13}^n}$ pour $n\se1$}

\subsection*{\'Equation différentielle vs équation aux différences}

Pour vérifiez si la solution de l'équation aux différences n'est pas très éloignées de la solution théorique, nous allons observer la
solution de $(E)$ toutes les 0,1 s : on pose $f_n=f(nT_e)$. Donnez l'expression de $f_n$.

\sm

On s'attend à ce que $x_n$ et $y_n$ soient très proches mais pas égaux. En effet, le passage de $(E)$ à $(F)$ s'opère à l'aide d'une
approximation (celle des trapèzes) et non d'une équivalence.

On pose $d_n=f_n-x_n$. À l'aide d'une calculatrice, d'un tableur, de MuPad ou d'une baguette magique quelconque, dressez un tableau où
figureront les 20 premiers termes des suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(d_n)$. Cela vous rassure-t-il~?

Montrez que $(d_n)$ est en fait la différence entre deux suites géométriques. Utilisez ce résultat pour confirmer ou infirmer votre
conjecture.

\subsection*{\'Epilogue : les maths, c'est pas Harry Potter}

Tout serait donc magique en maths, ou bien n'avez-vous été confronté(e)s toute votre vie qu'à des problèmes truqués~?
\sm

Soit $(E')$ l'équation différentielle $2x'(t)-3x(t)=t$, $x(0)=2$. Vous pouvez vérifiez que la solution de cette équation est la fonction
$s$ définie par $$x(t)=-\fr{1}{3}t-\fr{2}{9}+\fr{20}{9}e^{3/2t}$$. Vous pourrez peut-être un jour montrer que la suite solution de
l'équation aux différences associée à $(E)$ est $$x_n=\fr{20}{9}\pa{\fr{43}{37}}^n-\fr{1}{30}n-\fr{2}{9}$$

On pose encore $d_n=f_n-x_n$. pouvez-vous conclure comme dans l'exemple précédent~? Moralité~?


\exot{Primitives des puissances de cos et sin}

\been
\item Calculez $\cos x$ en fonction de $e^{ix}$ et $e^{-ix}$.
\item Déduisez-en une expression de $\cos^5x$ comme  combinaison linéaire de $\cos(kx)$ avec $k\in[\![0,5]\!]$.
\item Calculez $\ds\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^5t\,dt$
\een

\end{document}
