%\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}
\documentclass[a4paper,10pt]{polymaths}
\entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{IUT de Nantes - SGM1}


\setcounter{page}{66}

\begin{document}

%\tableofcontents

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECON{V}{Cinquième}{INT\'EGRATION }{  }{Intégration}{}






\begin{Abstract}
La notion d'intégrale est bien plus riche que le calcul d'aire vu en terminale. D'ailleurs il existe plusieurs définitions différentes de l'intégrale : intégrale de Riemann, de Lebesgue,... Nous construirons l'intégrale de la manière la plus abordable en partant d'une intuition physique. Nous découvrirons ainsi qu'une fonction intégrable n'est pas forcément continue et n'admet pas forcément de primitive. Nous définirons donc l'intégrale et prouverons la plupart de ses propriétés sans faire appel aux primitives, puis nous finirons malgré tout par faire le lien entre primitive et intégrale, car ce résultat est un des plus importants de l'analyse.
\end{Abstract}

\bigskip


\SECTION{Mise en place d'une définition}{Mise en place d'une définition}

\SUBSECTION{Une vieille idée}

Vers $-250$ avavt JC, l'incontournable Archimède eu l'idée de calculer l'aire d'un disque en l'approximant par deux suites d'aires de polygones la majorant et la minorant respectivement .

\des{limfonc.64}{5}

On en est resté là pendant des siècles, car il a fallu attendre le XIX\eme pour oser parler de limite. Pourtant, tout était là, comme nous allons le voir en suivant les traces de Gaston Darboux (1842 - 1917).


\SUBSECTION{Une approche physique}

\SUBSUBSECTION{Un problème écologique}

Le problème avec l'énergie éolienne, c'est le  stockage de l'énergie produite. Une des possibilités envisagée consiste à la stocker sous forme d'énergie potentielle de pesanteur.

Rappel : un objet de masse $m$ pouvant tomber d'une altitude $h$ possède l'énergie potentielle de pesnteur $E_p=mgh$ avec $g\simeq10$m.$\text{s}^{-2}$.

 \des{limfonc.65}{5}


On considère un réservoir en forme de pavé droit à base carrée de 1 km de côté et de 100 m de hauteur. On découpe ce pavé en $n$ tranches comme indiqué sur la figure.

Le volume d'une tanche bleue vaut $1000\times1000\times(h_{i+1}-h_i\ \text{m}^3$. Or 1 $\text{m}^3$ a une masse de 1000 kg, donc la masse de la tranche bleue vaut $$m=10^9(h_{i+1}-h_i)\ \text{kg}$$

De manière évidente, l'énergie potentielle croît avec la heuteur, donc  

$$10^9(h_{i+1}-h_i)\times 10\times h_i\ie E_{pi}\ie10^9(h_{i+1}-h_i)\times 10\times h_{i+1}$$


De plus, l'énergie potentielle de pesanteur est additive, c'est à dire que $E_p=\ds\sum_{i=0}^{n-1}E_{pi}$

$$\ds\sum_{i=0}^{n-1}10^{10}(h_{i+1}-h_i)h_i\ie E_p\ie\ds\sum_{i=0}^{n-1}10^{10}(h_{i+1}-h_i)h_{i+1}$$

On va considérer des tranches de hauteur constante $\fr{100}{n}$, i.e. $h_i=\fr{100i}{n}$. On obtient donc

$$\ds\sum_{i=0}^{n-1}10^{10}\times \fr{10^2i}{n}\times \fr{10^2}{n}\ie E_p\ie\ds\sum_{i=0}^{n-1}10^{10}\times \fr{10^2i}{n}\times \fr{10^2}{n}$$
Et donc
$$\fr{10^{14}}{n^2}\ds\sum_{i=0}^{n-1}i\ie E_p\ie\fr{10^{14}}{n^2}\ds\sum_{i=0}^{n-1}i+1$$

Or un résultat classique donne $\ds\sum_{i=0}^{n-1}i=\fr{n(n+1)}{2}$ et donc $\ds\sum_{i=0}^{n-1}i+1=\fr{(n+1)(n+2)}{2}$ . D'où

$$\fr{10^{14}}{2}\times\fr{n(n+1)}{n^2}\ie E_p \ie \fr{10^{14}}{2}\times\fr{(n+1)(n+2)}{n^2}$$

L'idée est bien sûr de faire tendre $n$ vers l'infini, car plus $n$ sera grand, plus l'épaisseur des tranches sera petite et donc plus l'erreur commise sur l'approximation inférieure et supérieure de $E_p$ sera petite.

$$\ds\underbrace{\fr{10^{14}}{2}\times\fr{n(n+1)}{n^2}}_{\to 5\times 10^{13}}\ie E_p \ie\underbrace{ \fr{10^{14}}{2}\times\fr{(n+1)(n+2)}{n^2}}_{\to 5\times 10^{13}}$$

Donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient $E_p=5\times 10^{13}$ J. 

Pour avoir un ordre de grandeur, il faut savoir qu'un parc de 167 éoliennes de 120 m de haut en Mer du Nord produit chaque jour en moyenne $3,85\times 10^{13}$ J. Il faudra malgré tout tenir compte des pertes dues à la transformation de l'énergie potentielle de pesanteur en énergie électrique par l'intermédiaire d'une turbine par exemple.


\SUBSUBSECTION{Du cas particulier au cas général}

Voici une procédure qui semble efficace. Essayons de la schématiser pour essayer de la généraliser à d'autres situations\footnote{Nous nous contenterons de l'étude des fonctions d'une variable réelle}.
\bel

\item Nous voulions mesurer une grandeur (ici $E_p$) dépendant d'un intervalle (ici $[0,100]$) et d'une fonction définie sur l'intervalle (ici la <<~hauteur~>>) : notons cette grandeur $\IR([a,b],f)$.

\item Nous avons alors \textbf{subdivisé régulièrement} l'intervalle $[a,b]$ en une suite de petits intervalles $[a_i,a_{i+1}]$ de même taille, avec 
$$a=a_0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}<a_n=b$$
Notons $\sigma_n$ cette subdivision.

\item Nous avons pu déterminer sur chacun de ces intervalles $[a_i,a_{i+1}]$ la <<~borne inférieure\footnote{Le plus grand des minorants, souvent égal au minimum}~>> (ici $h_i$) et la <<~borne supérieure\footnote{Le plus petit des minorants, souvent égal au maximum}~>> (ici $h_{i+1}$) de la fonction $f$ : notons les respectivement $m_i$ et $M_i$. Cela est possible si $f$ est bornée sur $[a,b]$.

\item Nous  avons alors encadré $\IR([a,b],f)$ entre deux sommes que nous noterons $s(\sigma_n)$ et $S(\sigma_n)$ pour obtenir

$$s(\sigma_n)=\ds\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)m_i\ie\IR([a,b],f)\ie  S(\sigma_n)=\ds\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)M_i$$

\item Nous sommes passé à la limite en utilisant le théorème des gendarmes.

\el

Tout ceci est bien beau mais des questions se posent : 
\bel
\item Nous avons choisi une subdivision particulière, mais aurions-nous obtenu le même résultat avec une autre subdivision~?

\item La fonction <<~hauteur~>> était assez particulière : bornée, croissante, continue, amis aurions-ous obtenu le même résultat avec une fonction moins régulière~?

\item Les deux sommes admettaient des limites et en particulier la même limite : est-ce que ce sera toujours le cas~?

\el


\SUBSECTION{Sommes de Darboux}

\SUBSUBSECTION{Mise en place de la définition}

C'est en 1875 que notre Gaston Darboux national présenta sa théorie de l'intégration simplifiant les idées de Riemann. Nous n'entrerons pas forcément dans tous les détails mais nous donnerons les idées générales de cette théorie donnée dans une version simplifiée.

On ne considèrera dans cette leçon que des SUBDIVISIONS R\'EGULI\`ERES pour simplifier nootre propos, c'est à dire des subdivisions où chaque segment élémentaire a la me amplitude.


On parle de subdivision plus fine, quand on intercalle de nouveaux points <<~entre les $a_i$~>>, et alors $n$ augmente.

Un petit dessin montre que les suites $(s(\sigma_n))$ sont croissantes et les suites $(S(\sigma_n))$ sont décroissantes : si on coupe un intervalle $[a_i,a_{i+1}]$ en 2, le <<~nouveau~>> minimum est supérieur ou égal au précédent, le nouveau maximum est lui inférieur ou égal au précédent.

\des{limfonc.66}{5}


Il reste à vérifier qu'on a toujours $s(\sigma_k)\ie S(\sigma_p)$ pour tout couple d'entiers $(k,p)$. En effet, en réunissant les deux subdivisions, on obtient une subdivision plus fine $\sigma_n$, et , d'après ce qui précède,
$$s(\sigma_k)\ie s(\sigma_n)\ie S(\sigma_n)\ie S(\sigma_p)$$

Tout ça pour dire que SI $\big(S(\sigma_n)-s(\sigma_n)\big)$ converge vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$, les suites $\big(s(\sigma_n)\big)$ et $\big(S(\sigma_n)\big)$ sont adjacentes et convergent donc vers une même limite qui sera l'intégrale de $f$ au sens de Darboux : OUF~!


\ENC{\Thm\ \ Critère d'intégrabilité au sens de Darboux}{Avec les notations précédentes, une fonction $f$, bornée sur $[a,b]$ est dite intégrable au sens de Darboux sur $[a,b]$ si $\lin\big(S(\sigma_n)-s(\sigma_n)\big)=0$. Alors 
$$\IR([a,b],f)=\ds\int_{[a,b]}f(x)\d x=\int_a^bf(x)\d x=\lin\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)m_i=\lin\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)M_i$$}

%Pour votre culture, car vous rencontrerez peut-être ces termes plus tard, on peut montrer qu'une fonction est intégrable au sens de Darboux si et %seulement si elle est intégrable au sens de Riemann.

\SUBSUBSECTION{Interprétation graphique}

En fait $(a_{i+1}-a_i)m_i$ représente l'aire du rectangle bleu et $a_{i+1}-a_i)M_i$ celle des rectangles bleu et gris. Donc $s(\sigma_n)$ et $S(\sigma_n)$ sont représentées par les sommes des aires des rectangles inférieurs et supérieurs respectivement : on retrouve alors l'idée d'Archimède pour le cercle. 


\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/integ.1}
\end{center}

On fait alors facilement le lien entre intégrale et aire dans le cas d'une fonction positive assez régulière.

\SUBSUBSECTION{Interprétation analytique}

On a <<~coincé~>> la fonction $f$ entre deux fonctions <<~en escalier~>> pour lesquelles il est facile de définir une aire ou une intégrale. Si ce <<~coicement~>> est suffisamment régulier, on pourra passer des propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier facile à calculer aux propriétés de l'intégrale de la fonction $f$. C'est un raisonnement fondamental de l'analyse : on approche une fonction compliquée par des fonctions simples.


\SECTION{Quelles sont les fonctions intégrables~?}{Quelles sont les fonctions intégrables~?}

\SUBSECTION{Un exemple de référence très simple}

La fonction $f$ constante vérifiant $f(x)=1$ pour tout $x\in[a,b]$ a une intégrale facilement calculable. En effet, pour tout $i\in[\![0,n]\!]$, on a $m_i=M_i=1$, donc pour tout entier $n$ on a $$s(\sigma_n)=S(\sigma_n)=\ds\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=a_n-a_0=b-a$$ 

On a donc $\lin\big(S(\sigma_n)-s(\sigma_n)\big)=0$ : la fonction est bien (Darboux-)intégrable sur $[a,b]$ et $$\ds\int_a^b1\cdot\d x=b-a$$

\sm

Dans la suite, <<~intégrable~>> sous-entendra <<~Darboux-intégrable~>>



\SUBSECTION{Fonctions en escalier}

Nous n'entrerons pas dans les détails, mais il est assez immédiat de se rendre compte que les fonctions en escalier sont intégrables sur de bons intervalles : à partir d'un moment, le pas des subdivisions devient plus petit que la largeur des marches. Cela constitue une première différence d'avec la terminale : on peut calculer des intégrales de fonctions non continues et heureusement, car de telles fonctions se rencontrent souvent en physique. 
Par exemple, la fonction partie entière est intégrable sur tout intervalle borné de $\bbr$.


\SUBSECTION{Fonctions continues}

\ENC{\Thm}{Les fonctions continues sur $[a,b]$ sont intégrables sur $[a,b]$}

L'idée de la démonstartion vient du résultat suivant : pour une fonction continue, plus $x$ et $x'$ sont proches, plus leurs images le sont aussi. Donc pour une subdivision de pas suffisamment petit, on pourra majorer chaque $M_i-m_i$ par ce qu'on veut. La démonstartion étant assez technique, nous ne la verrons pas dans le détail.

\SECTION{Propriétés de l'intégrale}{Propriétés de l'intégrale}

\SUBSECTION{Relation de Chasles} 

C'est le c\oe ur du problème : cette relation entraîne toutes les autres.

Il s'agit de monter

\ENC{\Thm\ \  Relation de Chasles}{Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,c]$, sur $[b,c]$ et sur $[a,b]$, alors 
$$\ds\int_a^bf(x)\d x+\int_b^cf(x)\d x=\int_a^c f(x)\d x$$}



Pour s'en convaincre \textbf{intuitivement} , il suffit de se dire que si les sommes de Darboux convergent sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors elles vont converger sur $[a,c]$ vers la somme de ces limites en combinant les subdivisions  : c'est une histoire de somme de limites finies. Nous n'entrerons pas plus dans les détails (si nous pensons <<~aire~>>, le cas des fonctions positives devient assez naturel).


\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/integ.2}
\end{center}

On peut prouver ainsi les propriétés que vous connaissez bien : l'idée à retenir, c'est que les propriétés  de l'intégrale s'obtiennent  \textbf{par passage à la limite} de sommes \textsf{discrètes}, c'est pourquoi elles ont posé problème aussi longtemps :  il a fallu attendre plusieurs siècles pour avoir une définition correcte des limites. En ce qui vous concerne, vous vous contenterez de quelques mois...

\sm 

Rappelons donc ces propriétés 

\ENC{\Prop\ \ Propriétés de l'intégrale}{Avec $d$ et $g$ des fonctions intégrables sur $[a,b]$, \bel
\item $\ds\int_a^af(x)\d x=0$
\item $\ds\int_a^bf(x)\d x=-\int_b^af(x)\d x$
\item $\ds\int_a^b\cro{\la f(x)+\mu g(x)}\d x=\la \int_a^bf(x)\d x+\mu\int_a^bg(x)\d x$ avec $\la$ et $\mu$ des réels : c'est la linéarité de l'intégrale.
\item $f(x)\se 0\Longrightarrow \ds\int_a^bf(x)\d x=0$
 \item $f(x)\ie g(x) \Longrightarrow \ds\int_a^bf(x)\d x\ie \int_a^bg(x)\d x$ : c'est la croissance de l'intégrale.
\item $\ab{\ds\int_a^bf(x)\d x}\ie \int_a^b\ab{f(x)\d x}$ : c'est l'inégalité triangulaire appliquée aux intégrales.\el}


\SECTION{Valeur moyenne}{Valeur moyenne}

\SUBSECTION{Définition}

La moyenne d'un nombre discret de valeurs est facile à obtenir : il suffit d'additionner ces valeurs et de les diviser par leur nombre

$$m_n(f)=\fr{f(a_0)+f(a_1)+\cdots+f(a_{n-1})}{n}$$

On pense tout naturellement à passer à la limite et à remplacer la somme discrète par une intégrale. Mais attention : ceci n'est valable que si la subdivision n'est pas trop irrégulière. On pourrait imaginer en effet que la subdivision prend une infinité de valeurs entre $a$ et $(b-a)/2$ et aucune ailleurs, alors $m_n(f)$ ne pourrait représenter une approximation  convenable d'une moyenne. Nous continuerons donc à considérer des subdivisions régulières.

Nous admettrons donc le résultat suivant

\ENC{\Thm\ \ Valeur moyenne}{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $(a_k)_{0\ie k\ie n-1}$ une subdivision \textbf{régulière} de $[a,b]$, alors
$$\lin\fr{1}{n}\ds\sum_{k=0}^{n-1}f(a_k)=\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$$
On appelle $\mu= \ds\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$ la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$}

Vous pouvez retenir égalment qu'intuitivement, la valeur moyenne est une sorte de somme  des valeurs de $f(x)$ affectées des coefficients $\d x$ le tout divisé par la somme des coefficients $\d x$
Or pour calculer $\ds\int_a^b f(x)\d x$, on remarque que $$\ds\sum_{k=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)m_i=\sum_{k=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)M_i=\sum_{k=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)\times1=b-a$$

quelque soit la subdivision, donc $$\ds\int_a^b\d x=b-a$$ et on retrouve intuitivement le résultat.


\SUBSECTION{Est-ce que la valeur moyenne est une valeur prise par la fonction ?}

\c Ca n'a rien d'évident a priori, puisque vous puvez avoir 15 de moyenne en n'ayany jamais eu de note égale à 15 (14 et 16 par exemple).

Et pourtant c'est vrai comme nous allons le prouver : comme quoi le passage à la limite du discret au continu présente quelques dangers~!

\sm

Comme notre fonction $f$ est continue sur $[a,b]$, elle est bornée, donc il existe deux réels $m$ et $M$ tels que 
$$m\ie f(x)\ie M$$
Alors, on obtient successivement
\begin{align*}\ds\int_a^bm\d x&\ie \int_a^bf(x)\d x\ie \int_a^bM\d x\\
                     m(b-a)&\ie \int_a^bf(x)\d x\ie M(b-a)\end{align*}

et finalement 

$$m\ie\mu\ie M$$

Donc $\mu$ appartient à l'intervalle image de $f$ : il existe donc un réel $x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)=\mu$.

\ENC{\Thm\ \ Formule de la moyenne}{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, alors il existe un réel $x_0\in[a,b]$ tel que $$f(x_0)=\mu=\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$$}



\begin{center}
\includegraphics[height=5.5cm]{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/integ.3}
\end{center}

\SECTION{Primitive et intégrale}{Primitive et intégrale}

\SUBSECTION{Intégrale fonction de sa borne supérieure}

Considérons une fonction $f$ que nous supposerons continue sur un intervalle $[a,b]$ pour simplifier notre propos. 

On peut donc définir une fonction $S$ sur $[a,b]$ telle que 
$$\Fonc{S}{[a,b]}{\bbr}{t}{\ds\int_a^tf(u)\d u}$$

Du point de vue graphique, on peut interpréter $S(t)$ comme l'aire algébrique du domaine bleu :
\des{limfonc.67}{4.5}

\SUBSECTION{Comment retrouver $\mathbf{f}$ connaissant $\mathbf{\int_a^bf(u)\d u}$~?}

Rappelons d'abord la définition d'une primitive :

\ENC{\Def\ \ Primitive}{Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$. Alors \textbf{$F$ est une primitive de $f$} lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que $F'=f$}

Nous allons donc essayer de retrouver $f$ connaissant $S$.

\SUBSUBSECTION{Approche intuitive}

On fixe $t$ dans $[a,b[$ et on considère un <<~petit~>> réel positif $h$. Observons ce qui se passe sur le <<~petit~>> intervalle $[t,t+h]$ 

\des{limfonc.68}{4.5}


On <<~voit~>> que, pour $h$ petit, l'aire noire est <<~petite~>> devant l'aire bleue du rectangle situé en dessous. Cela donne
$$S(t+h)-S(t)=h\times f(t)+\text{aire noire}\simeq h\times S(t)$$

et donc $$\fr{S(t+h)-S(t)}{h}\simeq f(t)$$

Ainsi, le taux d'accroissement de $S$ entre $t$ et $h$ <<~ressemble~>> à $f(t)$ quand $h$ est <<~petit~>>. 

On <<~sent~>> donc que $S$ est dérivable en $t$ et que $S'(t)=f(t)$ et donc que $S$ est une primitive de $f$, ce qui crée le lien bien connu entre  primitive et inrtégrale.

Il reste à prouver cette intuition.

\SUBSUBSECTION{Preuve de notre intuition}

Nous allons utiliser la formule de la moyenne vue précédemment appliquée à la fonction $f$ continue sur $[t,t+h]$. Cela donne qu'il existe un réel $t_0$ 
$$\fr{1}{t+h-t}\ds\int_t^{t+h}f(u)\d u=\fr{1}{h}\times \big(S(t+h)-S(t)\big)=f(t_0)$$

C'est à dire que $$\fr{S(t+h)-S(t)}{h}=f(t_0)$$

Or $f$ est continue sur $[t,t+h]$, donc quand $h$ tend vers 0, $f(t_0)$ tend vers $f(t)$ et donc 

$$\ds\lim_{h\to 0}\fr{S(t+h)-S(t)}{h}=S'(t)=f(t)$$

Il resterait à faire la même preuve pour $h$ négatif.

On obtient donc le résultat suivant


\ENC{\Thm\ \ Théorème fondamental }{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ dans $\bbr$ et soit 
$$\Fonc{S}{[a,b]}{\bbr}{t}{\ds\int_a^tf(u)\d u}$$
alors $S$ est dérivable sur $[a,b]$ et $S'=f$}

\SUBSECTION{Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive~?}


Rappelons une propriété bien connue


\ENC{\Prop}{Deux primitives d'une même fonction définie sur un intervalle diffèrent d'une constante}

En effet, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F'=G'=f$ et donc $F'-G'=(F-G)'=0$. La fonction $F-G$ est donc constante sur $I$ et il existe un réel $k$ tel que $F(x)-G(x)=k$ pour tout $x\in I$.

\sm

Soit donc $F$ une primitive de $f$. Comme la fonction $S$ est elle aussi une primitive de $f$, il existe donc un réel $k$ constant tel que 
$S(t)=F(t)+k$ pour tout $t\in[a,b]$. Alors

$$\ds\int_a^bf(u)\d u=S(b)-S(a)=\big(F(b)+k\big)-\big(F(a)+k\big)=F(b)-F(a)$$

\ENC{\Prop\ \ Intégrale et primitive}{Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, alors 
$$\ds\int_a^bf(u)\d u=F(b)-F(a)$$}






\end{document}