%% Created by Maple V Release 4 (IBM INTEL NT)
%% Source Worksheet: TD5corr.mws
%% Generated: Sun Feb 12 20:00:04 2006
\documentclass{article}
\usepackage{maple2e}
\DefineParaStyle{Maple Plot}
\begin{document}
\begin{maplegroup}
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\mapleinline{active}{1d}{restart;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=x->R*x*(1-x/100000):
u:=n->f(u(n-1)):
u(0):=20000: R:=2.5:
marche:=k->([u(k),u(k)],[u(k),u(k+1)]):
e:=plot([seq(marche(i),i=0..50)],color=pink):
g:=plot(t,t=0..100000,color=green):
c:=plot(f(t),t=0..100000,color=blue):
plots[display](\{e,g,c\});
plot([seq([k,u(k)],k=0..50)],title=`population en fonction du
temps`,style=point);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap01.eps}
\end{center}

\begin{center}
\mapleplot{kaoMap02.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{restart;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=x->R*x*(1-x/100000):
u:=n->f(u(n-1)):
u(0):=20000: R:=3.5:
marche:=k->([u(k),u(k)],[u(k),u(k+1)]):
e:=plot([seq(marche(i),i=0..50)],color=pink):
g:=plot(t,t=0..100000,color=green):
c:=plot(f(t),t=0..100000,color=blue):
plots[display](\{e,g,c\});
plot([seq([k,u(k)],k=0..50)],title=`population en fonction du
temps`,style=point);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap03.eps}
\end{center}

\begin{center}
\mapleplot{kaoMap04.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=x->R*x*(1-x/100000):
u:=n->f(u(n-1)):
u(0):=20000: R:=3,.831874048:
marche:=k->([u(k),u(k)],[u(k),u(k+1)]):
e:=plot([seq(marche(i),i=0..50)],color=pink):
g:=plot(t,t=0..100000,color=green):
c:=plot(f(t),t=0..100000,color=blue):
plots[display](\{e,g,c\});
plot([seq([k,u(k)],k=0..50)],title=`population en fonction du
temps`,style=point);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap05.eps}
\end{center}

\begin{center}
\mapleplot{kaoMap06.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{restart;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=x->R*x*(1-x/100000):
u:=n->f(u(n-1)):
u(0):=20000: R:=3.831874048:
a:=plot([seq([k,u(k)],k=0..50)],color=blue):
u(0):=20001: R:=3.831874048:
b:=plot([seq([k,u(k)],k=0..50)],color=green):
plots[display](\{a,b\});
}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap07.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{L:=[]:
for r from 0 to 4 by 0.01 do
f:=x->r*x*(1-x/100000):
u:=n->f(u(n-1)):
u(0):=20000: 
        S:=NULL;
       for k from 100 to 120 do
       P(k):=[r,u(k)]:
       S:=S,P(k):
       od;
L:=[op(L),S]:
od:
plot(L,style=point);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap08.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{restart;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{R:=1.1:
u:=proc(n) option remember:
max(0,R*u(n-1)*(1-u(n-1)/100000-v(n-1)/5000)):
end:
u(0):=4200.0:
v:=proc(n) option remember;
max(0,v(n-1)*(1-v(n-1)/2500+min(4,u(n-1)/1000))/4):
end:
v(0):=1.0:
p:=plot([seq([i,u(i)],i=0..400)],color=blue):
q:=plot([seq([i,v(i)],i=0..400)],color=red):
plots[display](\{p,q\});
}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{kaoMap09.eps}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
En biologie, on a longtemps observé ce phénomène dans des populations
animales. Au siècle dernier, les trappeurs du Canada avaient constaté
de grandes fluctuations dans la population des lynx. Plusieurs
théories avaient alors été avancées avant que l'on pense à mettre en
relation ces fluctuations avec celles obtenues sur des modèles
semblables à celui que l'on vient de présenter. Il est maintenant
classique d'expliquer les fluctuations des populations animales par
l'effet d'un mécanisme déterministe simple reliant le nombre de
prédateurs au nombre de proies. Ce mécanisme peut aboutir soit à des
équilibres (populations stables), soit à des cycles ou à des
évolutions chaotiques. Si on arrive à contrôler artificiellement le
taux de reproduction d'une espèce animale, on peut constater tous les
phénomènes que l'on vient de mettre en évidence.

\end{maplegroup}
\end{document}
%% End of Maple V Output
