\chapterimage{normaleRussie}
\chaptertext{La loi  normale ou loi  de Laplace-Gauss ou  loi gaussienne
est   la  loi   la   plus  utilisée   pour   modéliser  des   phénomènes
aléatoires. D'une part, parce qu'elle a des propriétés très pratiques et
\og confortables\fg{}.

D'autre  part et  surtout,  le très  important \textit{théorème  central
limite}  permet  de  prouver  qu'un  grand nombre  de  \og  petites\fg{}
variables  aléatoires de  même  loi centrée,  réduites et  indépendantes
converge  \og  en  un  certain  sens\fg{} vers  une  variable  aléatoire
gaussienne.


En Russie, Gauss s'invite même dans les manifs: la bonne connaissance de
la loi normale a permis aux citoyens de mettre en évidence la fraude électorale...
}

\chapter{Loi normale}

\section{Densité de probabilité}

Nous  avons précédemment  vu  au point  8 du  théorème\vref{th:fonc_rep}
qu'en tout point où $F_X$ est continue, on a $\bbp_X(a)=0$. 

Si $F_X$ est continue sur $\bbr$, on va
admettre   qu'alors  $F_X$  est   dérivable  \og   presque  partout\fg{}
c'est-à-dire partout sauf sur  des éléments B de $\mathbf{B}(\bbr)$ tels
que $\bbp_(B)=0$.

On dit alors que la v.a.r. est continue.

On  appelle \textbf{densité  de probabilité}  d'une v.a.r.  continue une
fonction $f_X$ positive telle que:

$$\bbp(X \leqslant  x) =\bbp_X(]-\infty,x])=F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\;\mathrm{d}t$$


Il va donc falloir manipuler  quelques intégrales, qui plus est à bornes
éventuellement infinies...

Nous sommes en amphi, voici les résultats principaux à connaître...

[Saut dans le temps]

...et voilà, nous savons tout sur ces intégrales:-)

\section{Tout sur la loi normale}


\begin{definition}[Loi normale]
 Une v.a.r. suit une loi normale (ou gaussienne) si, et seulement si, sa
 fonction de densité est:

$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

On note alors $X\leadsto \NR(\mu,\sigma)$.
\end{definition}

Nous sommes en amphi, voici les résultats principaux à connaître...

[Saut dans le temps]

...et voilà, nous savons tout sur cette loi:-)

Un petit dessin:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% define normal distribution function 'normaltwo'
\def\normaltwo{\x,{4*1/exp(((\x-1)^2)/2)}}

% input y parameter
\def\y{1.6}

% this line calculates f(y)
\def\fy{4*1/exp(((\y-1)^2)/2)}

% Shade orange area underneath curve.
\fill [fill=blue!10] (\y,0) -- plot[domain=-2.5:\y] (\normaltwo) -- ({\y},0) -- cycle;

% Draw and label normal distribution function
\draw[color=blue,domain=-2.5:4] plot (\normaltwo) node[right] {};

% Add dashed line dropping down from normal.
\draw[dashed] ({\y},{\fy}) -- ({\y},0) node[below] {$x$};

% Optional: Add axis labels
\draw (-.1,4.5) node[left] {$f_X(u)$};
\draw (4.8,-.1) node[below] {$u$};

% Optional: Add axes
\draw[->] (-3,0) -- (5,0) node[right] {};
\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above] {};

\end{tikzpicture}
\end{center}


Un petit résumé:

%\setindent{0mm}

%{\small
\begin{XCAStablenorm}
tablenormale([1,0.5,1.96])
\end{XCAStablenorm}
%}

\setindent{\indentationcours}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "Poly_Probas_Stats"
%%% End: 
