\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{PROBABILITÉS CONDITIONNELLES\markright}{T\textsuperscript{ale}S5 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}

\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Maths/}}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




%\title{Probabilités conditionnelles}
%\author{}
%\date{}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%
%
%

% \setlength{\parindent}{0pt}
%\textbf{\maketitle}


\setcounter{NumLecon}{8}

%\begin{minipage}{0.75\textwidth}
\LECOND{VIII}{Huitième}{PROBABILIT\'ES \bigskip }{CONDITIONNELLES}{PROBABILIT\'ES CONDITIONNELLES}{loto.eps}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.3\textwidth}
%\hspace{-1.5cm}
\section{Une approche <<~philosophique~>>...}
%\end{minipage}
\subsection{Un problème historique}

Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu'une première présentation rigoureuse (~les mathématiciens disent \textit{axiomatique}~) en a été proposée trois siécles avant JC par le grec Euclide, il a fallu attendre le XVI\eme siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer leurs gains au jeu.

Ainsi, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 au jeu de passe-dix (~jeu consistant à jeter 3 dés~), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 combinaisons pour les obtenir.

La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, <<~sur le papier~>>, il aurait dû y avoir la même fréquence d'apparition des deux nombres, puisqu'il y a dans chaque cas 6 manières de les obtenir. Y aurait-il plusieurs réalités~?

\subsection{Qu'est-ce que le hasard~?}

Parmi toutes les définitions possibles, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des probabilités :
\bel

\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est que le reflet de l'ignorance que nous avons des lois de la Nature. Cet esprit souffla particulièrement au XVIII\eme siécle au moment où Laplace posa les bases d'une première théorisation des probabilités. C'est dans cet esprit que vous avez étudié les probabilités en classe de Première. Les probabilités sont alors déterminées \textit{a priori}, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a six faces, donc, on peut poser d'avance que l'événement <<~obtenir 5~>> a une probabilité de $\ofr{1}{6}$. Cette symétrie, cette <<~géométrie du hasard~>> selon les termes de Pascal, permet de calculer sans  ressentir le besoin de recourrir à l'expérience. Elle implique la notion centrale en Première d'\textbf{équiprobabilité} : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. 

Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu'un dé puisse être parfaitement équilibré, mais doit-on être gêné  pour autant ? Nous en reparlerons un peu plus loin.

\item pour d'autres, le hasard constitue notre univers. La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent que d'obtenir une estimation des états possibles futurs. Les probabilités ne peuvent alors être calculées {a priori}.

\el

Cet antagonisme peut se résumer en considérant l'expérience très simple suivante : on jette une punaise en l'air; va-t-elle retomber sur la pointe ou sur la tête~? 

Pour les <<~Laplaciens~>>, il existe un nombre parfaitement déterminé, mais pas encore calculable \textit{a priori}. On peut néanmoins l'approcher par une série de mesures expérimentales.

Pour d'autres, c'est prêter à la Nature des intentions mathématiques, alors que cette interprétation chiffrée n'est qu'\oe uvre humaine.

\sm

Qui a raison~? Qui a tort~? Le débat est encore ouvert. Nous pouvons néanmoins réunir deux grands groupes. Ceux qui prônent une étude expérimentale des probabilités ne sont en fait pas très éloignés des <<~Laplaciens~>>, car l'idée centrale contenue dans la Loi des grands nombres ( en gros, la limite\footnote{ il s'agit de la limite stochastique qui n'a rien à voir avec les limites étudiées au lycée...} des fréquences observées est égale à la probabilité : plus on fait de mesures, plus la fréquence se rapproche de la probabilité ) est basée sur la définition Laplaciennne de la probabilité : cas favorables sur cas possibles.

Inversement, la géométrie du hasard des Laplaciens ( 1 chance sur 6  d'obtenir chacune des faces d'un dé ) repose sur la parfaite symétrie du dé. Mais un dé peut-il être parfaitement symétrique ? Pour le vérifier, il faudrait faire un grand nombre d'expériences...

\sm

Bref, au lieu de s'opposer, ces deux visions se complètent. Mais il faut les avoir en tête : tout n'est pas équiprobable ( voir le jeu du passe-dix ) et la probabilité ne peut se réduire à la limite des fréquences, ne serait-ce que dans le cas d'une expérience qui ne peut se répéter : quelle est la probabilité de survivre à une guerre nucléaire ? Il semble difficille d'imaginer une série d'expériences pour  s'approcher de cette probabilité...

\sm

Mêmes si elles peuvent apparaître antagonistes, ces deux notions ont en commun de postuler que l'issue de l'expérience ( le jeter d'un dé ) est indépendant de l'observateur. Ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple l'économie. Comme le disait John Stuart Mill : \textit{ we must remember that the probability of an event is not a quality itself, but a mere name for the degree of ground which we, or someone else, have for expecting it}. Faute de données sures, en économie on estime a priori les probabilités de certains événements élémentaires, puis on utilise ensuite des théorèmes abstraits issus des mathématiques.


\subsubsection{Oublions tout ce que nous venons de dire !}

\ill{A-t-on besoin de savoir tout ça pour réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre tendre enfance, vous calculez avec les nombres entiers sans connaître les axiomes de Peano, vous travaillez en géométrie euclidienne même si elle ne correspond pas à la réalité : avez-vous déjà rencontré un véritable triangle rectrangle ? Et pourtant vous arrivez quand même à démontrer le théorème de Pythagore.

Mais le débat est plus passionné au sujet des  probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe
Kolmogorov, dont vous pouvez apprécier le sourire ci-contre, pour enfin les axiomatiser, alors qu'Euclide avait fait cela pour la géométrie 2300 ans plus tôt...

C'est ce sujet encore brûlant que nous allons explorer cette année à travers quelques chapitres qui sauront, je n'en doute pas, 
vous passionner !}{Kolmogorov}







%\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%\includegraphics[width=\textwidth]{couples.eps}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.75\textwidth}



%Pour la fête de l'école, les élèves de $\text{CE}_2$ ont préparé
%une danse qui s'exécute par couples~: un garçon, une fille. La
%maîtresse doit faire des essais pour trouver les couples qui
%s'accordent le mieux, en appelant d'abord le garçon puis la fille.

%Voici l'ensemble des garçons $G=\big\{\text{Alain ; Bernard ;
%Pierre }\big\}$

%Voici l'ensemble des filles $F=\big\{\text{ Lise ; Renée ;
%Catherine ; Denise }\big\}$

%En mathématiques, nous aurons souvent à écrire des couples,
%appelés aussi 2-listes. Pour cela, nous utiliserons toujours la
%même écriture; par exemple, le couple formé du garçon <<~Alain~>>
%et de la fille <<~Renée~>> sera écrit~: \textbf{( Alain , Renée
%)}. Dans ce couple, <<~Alain~>> est le premier terme et
%<<~Renée~>> le deuxième terme. L'ordre des termes est important.
%\end{minipage}
%\bfi\centering
%\includegraphics[width=7cm]{couples.eps}
%\efi

%Citons le plus possible de couples. Nous en avons trouvé beaucoup;
%le travail devient difficile : il faut vérifier pour chaque couple
%nouveau qu'il n'a pas été cité; sommes-nous sûr(e)s de ne pas en
%avoir oublié~?

%Il existe un moyen très facile qui nous permettra d'écrire tous
%les couples~: un \textbf{arbre}. Les trois premières branches
%représentent chacune un garçon. De l'extrémité de chacune de ces
%branches partent quatre branches représentant chacune une fille. À
%chaque extrémité de ces dernières branches nous pouvons écrire un
%couple.

%
%$$
%\xymatrix @R=0.8cm@C=2cm{ %la distance entre deux lignes ou deux
%%colonnes de la maille est modifiable
%& & \hspace{6em} p\textnormal{(Alain; Denise)}=1/3 \times 1/2\\
%&\ar@{-}[ur]^{\textnormal{Denise}}_{1/2}
%\ar@{-}[dr]_{\textnormal{Renée}}^{1/2}\\
%& &\hspace{6em}p\textnormal{(Alain; Renée)}=1/3 \times 1/2\\
%\ar@{-}[uur]^{\textnormal{Alain}}_{1/3}
%\ar@{-}[ddr]_{\textnormal{Bernard}}^{1/3}
%\ar@{-}[ttr]_{\textnormal{Christophe}}^{1/3} & &\\
%&& \hspace{6em}P(\textnormal{non} V \textnormal{ et } M)=0,3 \times 0,2\\
%&\ar@{-}[ur]^{\textnormal{MALADE}}_{0,2}
%\ar@{-}[dr]_{\textnormal{ NON MALADE}}^{0,8}&\\
%&&\hspace{6em}P(\textnormal{non} V \textnormal{ et non } M)=0,3 \times 0,8\\
%}
%$$
%

%\vspace{6cm}

%Il y a donc $3\times 4$ couples distincts~: 3 possibilités pour le
%garçon $\times$ 4 possibilités pour la fille.


%\section{FORMONS DES COUPLES DANS UN MÊME ENSEMBLE}{Formons des
%couples dans un même ensemble}

%Nous voulons créer un drapeau à deux cases. Pour cela nous
%disposons de quatre couleurs~: bleu, jaune, rouge et vert. Les
%cases doivent être coloriées de deux couleurs différentes.

%Avec les éléments de l'\textbf{ensemble} {$\{B,J\}$} nous pouvons
%former les deux drapeaux ou plutôt les deux \textbf{couples (B,J)}
%et \textbf{(J,B)}.

%Comme nous voulons deux couleurs différentes, la couleur de la
%case de gauche ne peut pas être réutilisée pour la case de droite.

%\vspace{5cm}

%L'arbre nous confirme qu'il y a $4\times 3$ couples (drapeaux)
%possibles.




%À partir de cette dernière situation, nous pouvons répondre aux
%questions suivantes ~:\bel
%\item On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité
%$p_1$ qu'il soit jaune et vert, dans cet ordre~?

%\bigskip

%\item On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité
%$p_2$ qu'il soit jaune et vert, l'ordre étant sans importance~?


%\bigskip

%\item \textit{Sachant que} la case de droite est verte, quelle est
%la probabilité $p_3$ que la case de gauche soit bleue~?

%\bigskip

%\item On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité $p_4$
%que la case de gauche soit jaune~?

%\bigskip


%\item On choisit un drapeau au hasard. Quelle est la probabilité $p_5$
%que la case de droite soit jaune~?

%\bigskip

%\el Bon, notre échauffement à partir d'activités de l'école primaire touche à sa fin~: il est temps de se rapprocher du niveau %Terminale.
\section{Une première approche de la notion de probabilité conditionnelle}
\subsection{Description statistique}
Une enquête est effectuée auprès des 100 élèves d'un lycée syldave concernant le temps de travail hebdomadaire et le sexe des élèves.

On a obtenu le tableau suivant 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $< $ 5 minutes & $\se$ 5 minutes \\
\whline
filles & 20 & 15 \\
\hline 
garçons & 60 & 5\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}


Soit T l'ensemble de ceux qui travaillent plus de 5 minutes par semaine et G l'ensemble des garçons. Alors on notera $\bar{T}$ le complémentaire de T dans la population totale du lycée, et $\bar{G}$ celui de G, c'est à dire l'ensemble des filles.

Alors on peut construire le tableau des fréquences correspondant

\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{Y{2}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $\bar{T}$ & T & fréquence par sexe \\
\whline
$\bar{G}$ & 20\% & 15\% & 35\% \\
\hline 
G & 60\% & 5\% & 65\% \\
\hline fréquence par temps de travail & 80\% &20\% &100\%\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}





\subsection{Exemple de modélisation probabiliste à partir d'une situation statistique}

Une situation probabiliste n'existe que s'il y a une expérience ( à issue ) aléatoire. Il faut pour cela  introduire par exemple l'expérience habituelle <<~on prélève au hasard un élève du lycée syldave~>>. L'ensemble des issues de cette expérience est appelé mathématiquement l'\textbf{univers}, souvent noté $\Omega$ : c'est ici l'ensemble des 100 élèves du lycée.

Les parties T et G de $\Omega$ sont des \textbf{événements} qui seront décrits à l'aide de phrase entre guillemets. Par exemple, G est l'événement <<~l'élève syldave prélevé est un garçon~>>.

On suppose les élèves syldaves indiscernables à la vue, l'ouïe, le goût, le toucher et l'odorat : cette condition assure l'\textbf{équiprobabilité} vue en Première.

Ainsi, la probabilité que l'élève prélevé travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(T)=\fr{20}{100}$, la probabilité pour que ce soit un garçon vaut $\bbp(G)=\fr{65}{100}$ et la probabilité pour que l'élève prélevé soit un garçon qui travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(G\cap T)=\fr{5}{100}$




\sm

Maintenant, \textbf{parmi les garçons}, on en choisit un au hasard.   L'univers a donc changé, mais pas les propriétés du tirage, ce qui assure encore l'équiprobabilité.


La probabilité pour que ce garçon  travaille plus de 5 minutes vaut $\fr{5}{65}=\fr{1}{13}$.

On dit que c'est \textbf{la probabilité conditionnelle de T sachant G} qu'on note $\bbp_G(T)$.  

On constate ici que $\bbp_G(T)=\fr{5}{65}=\fr{\ofr{5}{100}}{\ofr{65}{100}}=\fr{\bbp(T\cap G)}{\bbp(G)}$. Or ce résultat est totalement indépendant des données numériques et ne dépend pas de l'équiprobabilité, donc on l'adoptera comme définition. 




\section{QU'EST-CE QU'UNE PROBABILIT\'E~?}

Pour bien comprendre de quoi nous parlons, il vaut mieux savoir de quoi nous parlons (...c'est profond~!). Vous avez découvert
l'année dernière les probabilités dans un cas bien particulier : vous les définissiez comme le nombre de cas favorables sur le nombre de
cas possibles. Cette manière de définir les probabilités est étroitement liée d'une part au fait que l'univers soit un ensemble fini et
d'autre part au fait que chaque événement élémentaire a la même probabilité (cas d'\textit{équiprobabilité}). Nous en reparlerons plus en
détail au moment de l'étude des lois continues, mais autant avoir tout de suite une définition du
concept de probabilité applicable dans un cadre général.


\ENC{\Def}{ Notons $\Omega$ l'ensemble des issues possibles d'une expérience
 (l'univers).

  On appelle probabilité sur $\Omega$  toute  <<~transformation~>> $p$
 allant de l'ensemble
 des <<~parties~>> de $\Omega$ dans $[0,1]$ et vérifiant
 $p(\Omega)=1$ et $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$ pour toute <<~partie~>>
 $A$ et $B$ de $\Omega$ \textsl{disjointes}.}



 Vous vérifierez qu'à partir de cette définition, on obtient les
 propriétés usuelles
 $$p(\emptyset)=0,\quad p(\bar{A})=1-p(A),\quad p(A\cup
 B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$

 \parpic(2cm,2.4cm)[r]{\includegraphics{limfonc.74}} Pour la dernière propriété, je vous donne un petit coup de pouce : il faut découper
 notre réunion en ensembles disjoints en écrivant par exemple que \bel
 \item $A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)$
\item $B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$
\item $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$
\el




\sm

Faîtes bien attention maintenant à ne pas confondre univers fini et équiprobabilité. Considérez par exemple la situation suivante~:~on
sonne à votre porte. Quelle est la probabilité pour que ce soit Monica Bellucci ( ou  Quasimodo ) qui vienne vous demander en mariage ~? L'univers ne contient que deux événements élémentaires
: ou bien c'est Monica ou bien ce n'est pas Monica. Le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas
possibles est donc de 1/2, pourtant...



\section{UN EXEMPLE POUR METTRE EN PRATIQUE}

Considérons l'expérience simplissime consistant à lancer deux fois un dé à six faces. L'univers $\Omega$ est donc constitué de l'ensemble
des couples $(i,j)$, avec $i$ et $j$ appartenant à l'ensemble $[\![1,6]\!]$ : il y a donc 36 éléments dans $\Omega$. Intéressons nous à
la somme des deux chiffres et soit $A$ l'événement  <<~le total fait neuf~>>.

$$A=\ac{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}$$
donc
$$\bbp(A)=\fr{4}{36}=\fr{1}{9}$$

Soit $B$ l'événement : <<~on obtient 3 au premier lancer~>>, alors

$$B=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}$$
donc
$$\bbp(B)=\fr{6}{36}=\fr{1}{6}$$
Jusqu'ici, tout roule. Posons-nous maintenant le problème suivant :  sachant que $B$ est réalisé, i.e. que l'on obtient 3 au premier
lancer, quelle est la probabilité que le total fasse 9~? On ne considère plus tous les éléments de $\Omega$. Il semble alors nécessaire
de définir un nouvel univers (notre nouvel ensemble des possibles)~:
$$\Omega'=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}=\Omega\cap B$$
Puisque l'univers change, la probabilité aussi. L'événement $A'$ <<~le total fait neuf~>> dans ce nouveau modèle s'écrit
$$A'=\ac{(3,6)}=A\cap B$$
et donc
$$\bbp'(A')=\fr{1}{6}=\fr{\text{nombre d'éléments de } A\cap B}{\text{nombre d'éléments de } B}=\fr{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$
On retrouve notre formule


\ENC{\Def}{Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé muni d'une probabilité $\bbp$, avec $\bbp(B)\neq0$. \textbf{La
probabilité de \textit{A} sachant \textit{B}} est définie par $$\bbp_B(A)=\fr{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$}

Vous pourrez vérifier pour votre confort intellectuel, bien que ce ne soit pas explicitement au programme, que l'application $\bbp_B$ est
bien une probabilité, qu'on appellera \textbf{probabilité conditionnelle sachant \textit{B}}.

\sm

Essayez de vous débrouiller tout(e) seul(e) avec la situation suivante : une boîte contient 10 vipères, 5 mygales et 15 piranhas super
mutants de la mort. Un animal est sorti du sac au hasard et on constate que ce n'est pas une vipère. Quelle est la probabilité que la
main de l'expérimentateur finisse en amuse-gueule pour un piranhas super mutant de la mort~?




















\section{ARBRE POND\'ER\'E}

On peut répondre aux mêmes questions à l'aide d'un arbre
\textit{pondéré}, c'est à dire un arbre dont chaque branche est
marquée de la probabilité (du $poids$) correspondant.

Alors la somme des probabilités de chaque
<<~ramification~>> est égale à 1.



\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{arbre1.1}
\end{center}








\section{FORMULES DES PROBABILIT\'ES TOTALES}

Si on découpe notre univers $\Omega$ en morceaux disjoints $A_1$, $A_2$, ... , $A_n$, on dit que $A_1$, $A_2$, ... , $A_n$ réalise
\textbf{une partition} de $\Omega$.

Par exemple, séparer une classe en un groupe fille et un groupe garçon permet de réaliser une partition de la classe. Séparer une classe
en un groupe fille, un groupe garçon et un groupe d'abonnés au chasseur syldave ne permet pas de réaliser une partition car certains
élèves peuvent appartenir à deux groupes en même temps. Enfin séparer une classe en un groupe de porteurs de sandales avec chaussettes et
un groupe d'imitateurs du Schblurb syldave ne permet pas de réaliser une partition car certains élèves ne sont ni dans l'un ni dans
l'autre groupe.

\ENC{\Prop}{ Supposons donc qu'il existe une partition $A_1$, $A_2$, ... , $A_n$ de $\Omega$, alors
$$B=B\cap \Omega=B\cap \pa{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=(B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_n)$$
Cette union étant disjointe, on a donc
$$\bbp(B)=\bbp(B\cap A_1)+\bbp(B\cap A_2)+\cdots+\bbp(B\cap A_n)$$}



Pour illustrer ce résultat, reprenons l'arbre du paragraphe E. Comme $B$ et $\bar{B}$ réalisent une partition évidente de l'univers, nous
obtenons, en appliquant la formule des probabilités totales
$$\bbp(A)=\bbp(A\cap B)+\bbp(A\cap \bar{B})=\fr{1}{36}+\fr{5}{36}=\fr{1}{6}$$



\section{Retournement d'un arbre}

Simplet, Goldorak et Monica Bellucci reviennent de la forêt avec trois paniers contenant respectivement 1, 2 et 3 champignons. Dans chaque panier, il y a un champignon vénéneux.

On choisit un des trois paniers au hasard, et dans ce panier on goûte un des champignon choisi lui aussi au hasard.
Quelle est la probabilité de se tordre de douleur puis de succomber dans d'atroces souffrances quelques minutes après~ ?

Un élève syldave qui passait par là a choisi un panier au hasard puis un champignon dans ce panier. On constate   qu'il se tord de douleur puis succombe dans d'atroces souffrances : quelle est la probabilité qu'il ait goûté un champignon venant du panier 
de Monica Bellucci~?

\section{IND\'EPENDANCE}

La notions d'événements indépendants est l'une des difficultés du calcul des probabilités. Comme souvent, cette notion purement
mathématique renvoie, par son appellation, à  une notion intuitive utilisée dans le langage courant. Il faut bien garder en mémoire que
le mot du vocabulaire courant est souvent un <<~faux ami~>>. On aurait aussi bien parler de szjwrttrpgklance, mais cela aurait été plus
difficile à prononcer. Donnons tout d'abord sa définition.

\ENC{\Def}{Les événements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $\bbp(A\cap B)=\bbp(A)\times\bbp(B)$}


Ainsi, dans notre exemple des dés, on a $\bbp(A)\times\bbp(B)=\fr{1}{6}\times\fr{6}{36}=\fr{1}{6}=\bbp(A\cap B)$, donc le lancer du 2\eme dé est indépendant du premier, ce qui est rassurant.


Cette notion est purement abstraite et ne renvoie qu'à des propriétés mathématiques dont la principale est

\ENC{\Prop}{Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $\bbp(B)\neq 0$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si
$$\bbp_B(A)=\bbp(A)$$}

On peut faire dire ce que l'on veut à des probabilités selon le modèle choisi.

Supposons que sur un groupe de 100 personnes, 20 portent des sous-vêtements en polystirène expansé, 50 se curent la narine droite avec
l'index gauche et 10 font les deux à la fois. On met ces 100 personnes dans une boîte et on en tire une au hasard. Vérifiez que les
événements <<~la personne tirée porte des sous-vêtements en polystirène expansé~>> et <<~ la personne tirée se cure la narine droite avec
l'index gauche~>> sont indépendants.

\'Etudiez le même problème en considérant cette fois-ci que 15 personnes se curent la narine droite avec l'index gauche (pourquoi pas).


\sm

Retenez que, de façon générale, la définition probabiliste de l'indépendance est plus large que la notion intuitive.

Veillez également à ne pas confondre événements \textit{indépendants} et événements \textit{incompatibles}. Montrez d'ailleurs que deux
événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

La seule idée à retenir est que , si $A$ et $B$ sont indépendants, \textbf{avoir observé la réalisation de \textit{A} ne modifie pas la
probabilité d'une éventuelle réalisation de \textit{B}}.

Ainsi, en supposant que la Française des Jeux n'utilise pas de boules truquées, on peut considérer que deux tirages successifs du loto
sont indépendants.




 \section{QUELQUES
EXERCICES}

\subsection{Pour s'amuser...}


\normalsize{ \Exot{} Pour } réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeune
énarque décide d'acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du département. Il a ainsi deux
chances sur trois d'être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière des vaches, cette probabilité passe à trois chances
sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller en communication lui ayant refilé le tuyau, il touche le derrière des
vaches. \been \item Calculez la probabilité pour qu'il soit élu député.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 43/60}\end{flushright}

\item Il est député. Calulez la probabilité pour qu'il ait touché
le derrière des vaches.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 27/43}\end{flushright}
\een


\Exot{} Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévétu. Quand il a
voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.

On note $N_n$ l'événement <<~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour
nu~>> et $p_n$ sa probabilité.

\been \item Exprimez $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$}\end{flushright}

\item On pose $u_n=p_n-5/13$ \been \item Exprimez $u_{n+1}$ en
fonction de $u_n$, puis de $u_1$ et $n$.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$}\end{flushright}

\item Exprimez alors $p_n$ en fonction de $n$. \item Montrez que
la suite $(p_n)$ est convergente et calculez sa limite.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13}\end{flushright}

\een \een


\Exot{}

%\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{venus.eps}\end{minipage}
%\begin{minipage}[b]{0.75\textwidth}
\been \item
 Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux
chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et
deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives.  Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des
carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives.

 Calculez la probabilité pour qu'elle dénoyaute des
olives.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7}\end{flushright}

\item Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue
permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.

Calculez la probabilité pour qu'elle soit gauchère.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3}\end{flushright}
\een
%\end{minipage}





\Exot{}

%\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth} \vspace{0pt} 
Rastatopoulos, célèbre poète grec du XX$^e$ siècle avant GC, nous rapporte l'anecdote suivante.

 La Vénus de Milo rangeait ses
olives dans trois amphores. Dans la première, il y avait 30 olives
vertes et 20 olives noires. Les deux autres amphores contenaient,
l'une quatre olives vertes (Rastatopoulos ne sait plus laquelle),
l'autre quatre olives noires (Rastatopoulos ignore évidemment de
quelle amphore il s'agit).

 Un jour d'éclipse totale du soleil, la
Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore,
puis la place dans une des deux autres amphores. Elle prend
ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil
réapparait~: l'olive est verte.

Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée
contienne plusieurs olives vertes.

\textsl{On pourra considérer les événements suivants
\begin{itemize}
\item $V_1$~: << la première olive est verte >> \item $A$~: << la
deuxième amphore contenait les quatre olives vertes >> \item
$V_2$~: << la deuxième olive est verte >>
\end{itemize}}
\begin{flushright}\rotatebox{180}{
Réponse~: 23/26}
\end{flushright}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{0.25\textwidth} \vspace{0cm}\includegraphics[width=\textwidth]{rasta.eps}\end{minipage}


\subsection{Passons aux choses sérieuses~: les probas au Bac}

\Exot{}

On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

\noindent  On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

\noindent Un joueur fait une partie en deux étapes :

 Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
 
  Deuxième étape :
  
$\bullet~$  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

$\bullet~$	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

$\bullet~$	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

\noindent À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).

\noindent  On définit les év\`enements suivants :

\noindent  D$_{1}$ : « le dé indique 1 »\hspace{1cm}	D$_{2}$ : « le dé indique 2 » \\

\noindent  D$_{3}$ : « le dé indique 3 »  \hspace{1cm} G : « la partie est gagnée ».

\noindent  A et B étant deux év\`enements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de B sachant que A est réalisé.

\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$,  et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$

\item Montrer alors que $p$(G) = $\cfrac{23}{180}$.

\end{enumerate}

\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le
dé.
\een



\Exot{}

\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement  la lettre correspondant â la réponse choisie.}

\noindent Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.
Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

\noindent 40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des \'ecrivains de biographies sont français.

\noindent Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

\begin{enumerate}\item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

\[\textbf{a.}\quad 0,4\qquad \qquad	\textbf{b.}\quad 0,75 \qquad \qquad \textbf{c.}\quad \cfrac{1}{150}\]

\item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :

\[\textbf{a.}\quad 0,3 \qquad \qquad \textbf{b.}\quad 0,8 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,4\]

\item La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est

\[\textbf{a.}\quad 1,15 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,4 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]

\item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :

\[\textbf{a.}\quad 0,9 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,7\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,475\]

\item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est  français est :

\[\textbf{a.}\quad \cfrac{4}{150} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad \cfrac{12}{19}\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]

\item Le lecteur est venu 3 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est :

\[\textbf{a.}\quad 1-(0,25)^{3} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad  3\times 0,75  \qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,75\times(0,25)^{3}\]

\end{enumerate}


\Exot{}


On considère trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$, et U$_{3}$.

\noindent  L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges  ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.

\noindent   Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$.

\noindent    Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par N$_{i}$, (respectivement R$_{i}$) l'év\`enement « on tire une boule noire de l'urne U$_{i}$ » (respectivement  « on tire une boule rouge de l'urne U$_{i}$ »).

\begin{enumerate}\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}\begin{pspicture}(6,7)
\psline{->}(0,3.5)(1.9,1.5) \psline{->}(0,3.5)(1.9,5.5)
\psline{->}(2.3,1.5)(3.9,0.5)  \psline{->}(2.3,1.5)(3.9,2.5)
\psline{->}(2.3,5.5)(3.9,4.5)   \psline{->}(2.3,5.5)(3.9,6.5) 
\psline{->}(4.3,6.5)(6,7)   \psline{->}(4.3,6.5)(6,6) 
\psline{->}(4.3,4.5)(6,5)   \psline{->}(4.3,4.5)(6,4) 
\psline{->}(4.3,2.5)(6,3)   \psline{->}(4.3,2.5)(6,2) 
\psline{->}(4.3,0.5)(6,1)   \psline{->}(4.3,0.5)(6,0) 
\rput(2.1,1.5){R$_{1}$}  \rput(2.1,5.5){N$_{1}$} 
\rput(4.1,0.5){R$_{2}$}  \rput(4.1,2.5){N$_{2}$}   
\rput(4.1,4.5){R$_{2}$}   \rput(4.1,6.5){N$_{2}$} 
\rput(6.2,0){R$_{3}$}   \rput(6.2,1){N$_{3}$}  
\rput(6.2,2){R$_{3}$}  \rput(6.2,3){N$_{3}$}  
\rput(6.2,4){R$_{3}$}  \rput(6.2,5){N$_{3}$}  
\rput(6.2,6){R$_{3}$}  \rput(6.2,7){N$_{3}$}                 
\end{pspicture} \end{center}


\item \begin{enumerate}\item Calculer la probabilité des év\`enements N$_{1}  \cap \text{N}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$, et N$_{1}  \cap \text{R}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$.

\item En déduire la probabilité de l'év\`enement $\text{N}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.

\item Calculer de façon analogue la probabilité de l'év\`enement $\text{R}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.

\end{enumerate}

\item Déduire de la question précédente la probabilité de l'év\`enement N$_{3}$.

\item Les év\`enements N$_{1}$ et N$_{3}$ sont-ils indépendants ?

\item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ?

\end{enumerate}




\Exot{}

\textsl{On note} $p_{\text{A}}(\text{B})$ \textsl{la probabilité 
conditionnelle de l'évènement} B \textsl{sachant que l'évènement} A \textsl{est 
réalisé.} 

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au 
toucher. 

\begin{enumerate} \item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux 
boules de l'urne. 

On note A$_{0}$ l'évènement ; « on n'a obtenu aucune boule noire » ; 

On note A$_{1}$ l'évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ; 

On note A$_{2}$ l'évènement : « on a obtenu deux boules noires ». 

Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. 

\item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. 

On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de 
l'urne. 

On note B$_{0}$ l'évènement : « on n'a obtenu aucune boule noire au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ » 

On note B$_{1}$ l'évènement : « on a obtenu une seule boule noire au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ » 

On note B$_{2}$ l'évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ » 

\begin{enumerate} \item Calculer $p_{\text{A}_{0}}(\text{B}_{0}),~ 
p_{\text{A}_{1}}(\text{B}_{0})$ et $p_{\text{A}_{2}}(\text{B}_{0})$. 

\item En déduire $p(\text{B}_{0})$. 

\item Calculer $p(\text{B}_{1})$ et $p(\text{B}_{2})$. 

\item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. 
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du 
premier ? 

\end{enumerate} 

\item On considère l'évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages 
pour que les deux boules noires soient extraites de l'une ». 

Montrer que $p(\text{R}) = \cfrac{1}{3}$. 

\end{enumerate} 




\Exot{}


Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$ et U$_{3}$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\noindent ll y a trois boules noires dans l'urne U$_{1}$,deux boules noires dans l'urne U$_{2}$ et une boule noire dans l'urne U$_{3}$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.

\noindent Les boules sont indiscernables au toucher.

\noindent Une partie se déroule de la façon suivante :

\noindent le joueur lance le dé,

$\bullet~$ 	s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{1}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{1}$ ;

$\bullet~$	s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{2}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{2}$ ;

$\bullet~$	si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{3}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{3}$.

\noindent On désigne par A, B, C, et N les év\`enements suivants :

A : « Le dé amène le numéro 1 » ;

B : « Le dé amène un multiple de trois » ;

C : « Le dé amène un numéro qui n'est ni le lui un multiple de trois » ;

N : « La boule tirée est noire ».

\begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie.

\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale \`a $\cfrac{5}{3k}$.

\item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.

\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\cfrac{1}{2}$.

\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à
	$\cfrac{1}{30}$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\cfrac{1}{30}$.

 Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
 
  Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire.
  
 \end{enumerate}





\Exot{}

\been \item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.

On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$,
porté sur le jeton, puis on remet le jeton tiré dans l'urne.

On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le
numéro du jeton tiré.

On note $P(a,b)=a(1+b)-5+b(1-a)$

\sm

Montez que la probabilité que $P(a,b)$ soit nul est égale à 1/4.

\item Deux personnes $A$ et $B$ jouent au jeu suivant, constitué
d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après~: au
cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux
jetons décrit dans la première question.

Si $A$ obtient un $P(a,b)$ nul et $B$ un $P(a,b)$ non nul, $A$ est
déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.

Si $A$ obtient un $P(a,b)$ non nul et $B$ un $P(a,b)$ nul, $B$ est
déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.


Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle
partie; le jeu continue.

\sm

Pour tout entier $n$, on désigne par~:
\begin{itemize}
\item $A_n$ l'événement~: << $A$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie
>>
\item $B_n$ l'événement~: << $B$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie
>>
\item $C_n$ l'événement~: << le jeu continue après la
$n^{\text{ème}}$ partie
>>
\end{itemize}

\been \item Calculez les probabilités $p(A_1)$, $p(B_1)$ et
$p(C_1)$. \item Exprimez $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et
montrez que
$$ p(C_n)=\left(\fr{5}{8}\right)^n$$
\item Exprimez $p(A_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrez que
$$ p(A_n)=\fr{3}{16}\left(\fr{5}{8}\right)^{n-1}$$
\een \item \been \item Déterminez la limite de $p(A_n)$ quand $n$
tend vers $+\infty$. \item Déterminez le plus petit entier $n$ tel
que $p(A_n)$ soit inférieur ou égal à 0,01.\een\een






\Exot{} Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est
jalonnée de nombreux feux tricolores.

Pour tout entier naturel $n\se1$, on note $E_n$ l'événement~: <<
Amélie est arrêtée par le $n$\eme feu rouge ou orange >> et
$\overline{E_n}$ l'événement contraire (le feu orange est
considéré comme un feu rouge).

Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de
$\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit
rouge ou orange vaut 1/8.

\sm

On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées
\begin{itemize}
\item la probabilité que le $(n+1)$\eme feu tricolore soit rouge
ou orange, si le $n$\eme feu est rouge ou orange, vaut 1/20.

\item la probabilité que le $(n+1)$\eme feu tricolore soit rouge
ou orange, si le $n$\eme feu est vert, vaut 9/20.

\end{itemize}

\been \item On s'intéresse tout d'abord aux deux premiers feux
tricolores. Complétez un arbre pondéré rendant compte de la
situation. \item On se place maintenant dans le cas général. \been
\item Donnez les probabilités conditionnelles $p_{E_n}(E_{n+1})$
et $p_{\overline{E_n}}(E_{n+1})$. \item En remarquant que
$E_{n+1}=(E_{n+1}\cap E_n)\cup(E_{n+1}\cap \overline{E_n})$,
montrez que, pour tout $n\in\bbn^*$
$$p_{n+1}=\fr{1}{20}p_n+\fr{9}{20}q_n$$
\item Déduisez-en l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
\een \item Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie pour
tout $n\in\bbn^*$ par $u_n=28p_n-9$. \been \item Montrez que
$(u_n)$ est géométrique et déterminez sa raison. \item Exprimez
$u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminez la limite,
si elle existe, de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Interprétez ce résultat. \een \een



\Exot{} On considère l'ensemble $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$.

Avec deux chiffres distincts $x$ et $y$ de $E$ on crée un unique
domino simple noté indifféremment $[x,y]$ ou $[y,x]$.

Avec un chiffre $z$ de $E$, on forme un unique domino double noté
$[z,z]$.

\been \item Combien de dominos peut-on ainsi créer~? \item On tire
au hasard un domino. \been \item Quelle est la probabilité
d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs~? \item Quelle est
la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est
paire~? \een \item On tire au hasard et simultanément deux
dominos.

Un élève affirme~: << la probabilité d'obtenir un domino double et
un simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est
égale à 4/45 >>.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse~?

\een

\Exot{} On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à
choisir une urne parmi les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au hasard, les deux choix sont équiprobables),
puis à effectuer lle tirage d'une boule dans l'urne choisie.

On note $A$ l'événement << l'urne $a$ est choisie >>, $B$
l'événement << l'urne $b$ est choisie >> et $R$ l'événement << une
boule rouge est obtenue au tirage >>.

On note $p_A(R)$ la probabilité conditionnelle de l'événement $R$
par rapport à l'événement $A$. \been \item Dans cette question,
l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches,
l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches.
\been \item Déterminez les probabilités $p(A)$, $p_A(R)$, $p(A\cap
R)$. \item Montrez que $p(R)=13/30$. \item Sachant que la boule
obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie
soit l'urne $a$~? \een \item Dans cette question , l'urne $a$
contient quatre boules blanches, l'urne $b$ contient  deux boules
blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$ boules rouges et l'urne
$b$ en contient $(5-n)$, où $n$ désigne un entier naturel
inférieur ou égal à 5. \been \item Exprimez $p_A(R)$ et $p_B(R)$
en fonction de $n$. \item Montrez que
$p(R)=\fr{-n^2+4n+10}{(4+n)(7-n)}$ \item On sait que $n$ ne prend
que six valeurs entières.

Déterminez la répartition des cinq boules rouges entre les urnes
$a$ et $b$ donnant la plus grande valeur de $p(R)$. \een \een


\end{document}
