\chapterimage{loto}
\chaptertext{
\setlength{\parindent}{0cm}
\og \textit{Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe:
la probabilité, opposée  à la certitude, c'est ce qu'on  ne sait pas, et
comment peut-on calculer ce que l'on ne connaît pas?}\fg{}

Henri \textsc{Poincaré} - La Science et l'hypothèse (1908)

\bigskip


\og \textit{ [La théorie des probabilités] donne les
aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements.
[...] Il n'est point de science plus digne de nos méditations, et
qu'il soit plus  utile de faire entrer dans  le système de l'instruction
publique.}\fg{}

Pierre  Simon   de  \textsc{Laplace}  -  Essai   philosophique  sur  les
probabilités (rédigé de 1795 à 1825) 


\bigskip

\og  \textit{ The  true  logic   of  this   world  lies   in  the   calculus  of
probabilities}\fg{}

James C. \textsc{Maxwell} - The Scientific Letters and Papers of James C. Maxwell, Vol. 1, 1846-1862

\bigskip


\og\textit{ We cannot predict whether a given  photon will arrive at A or B. All
we can predict is that out of  100 photons that come down, an average of
4 will be reflected by the front surface. Does this mean that physics, a
science of  great exactitude, has  been reduced to calculating  only the
probability of  an event, and  not predicting exactly what  will happen?
Yes. That's  a retreat, but that's the  way it is: Nature  permits us to
calculate only probabilities. Yet science has not collapsed. } \fg{}

Richard P. \textsc{Feynman} - The strange theory of light and matter (1985)

}


\chapter{Espace probabilisé discret}


\section{Probabilités?}


Le calcul  des probabilités est  très important en informatique  et dans
toute science en général. Il  nous permet de résoudre des problèmes tout
en étant confrontés à l'incertitude ou à des systèmes très complexes.

Contrairement  aux clichés,  la théorie  des probabilités,  en  tant que
discipline mathématique, est dotée de
toute la  rigueur et de la  précision possibles. Elle  puise ses sources
dans tous les  champs des mathématiques. Il n'est  dès lors pas étonnant
de  constater  que les  prix  mathématiques  les  plus prestigieux  sont
attribués depuis quelque temps à des travaux liés aux probabilités.

En  informatique,  leur usage  est  proportionnel  à  la complexité  des
problèmes abordés.

Un  informaticien  dirait qu'en  probabilité  le  modèle est  totalement
spécifié,  permet  et   impose  la  plus  grande  rigueur   suite  à  un
raisonnement déductif.

Il  ne faut  pas  confondre  les probabilités  avec  la statistique  qui
complète  un  modèle   inconnu  à  l'aide  d'observations  (raisonnement
inductif) et fait plutôt appel
à l'intuition qui n'est pas la principale qualité d'un ordinateur...

Enfin, s'il est  tout à fait possible de  calculer des probabilités sans
faire  de  statistique,  le  contraire est  quasiment  impossible  c'est
pourquoi nous aborderons la statistique inférentielle après avoir étudié
les probabilités.



\section{Avant la formalisation}

Essayons, grâce à notra petite expérience probabiliste acquise au lycée,
de dégager les 
grandes  lignes  de  ce   que  pourrait  être  une  théorie  formalisée,
nécessaire au \og dialogue\fg{} avec une machine.

Lors  de  l'étude  des  probabilités,  on  est  amené  à  effectuer  une
\textbf{expérience aléatoire}, c'est-à-dire un processus dont on ne peut
prévoir à l'avance le résultat  qui peut donner des résultats différents
même  si  l'on répète  l'expérience  dans  des  conditions qui  semblent
identiques.


Nous  allons  considérer par  la  suite  le  lancement d'un  dé  cubique
équilibré et tout et tout.

On  doit d'abord  connaître  l'ensemble des  résultats possibles:  c'est
l'\textbf{univers} que nous noterons par la suite $\Omega$. 

Par     exemple,     si     je     lance     une     fois     le     dé,
$\Omega_1=\bigl\{1,2,3,4,5,6\bigr\}$. 

Si je  lance deux fois  de suite le  dé et que  je note dans  l'ordre le
numéro des faces, j'obtiens dans ce cas $\Omega_2=\bigl\{11,12,13,...,66\bigr\}$

Si je  lance les dés  jusqu'à obtenir  deux 6 à  la suite, le  nombre de
lancers n'est maintenant  pas fixé à l'avance et  l'univers est a priori
infini mais  en demeurant discret:  chaque évènement peut en  effet être
\og  numéroté\fg{}. Plus  rigoureusement,  $\Omega_3$ peut  être mis  en
bijection avec $\bbn$:
$\Omega_3=\bigl\{1366,3546213466,55236221466,...\bigr\}$.


Il faut  maintenant étudier  la notion d'\og  évènement \footnote{Depuis
1990, l'Académie française préconise de mettre un 
  accent grave au deuxième e d'événement qui doit donc s'écrire 
  évènement... } 
\fg{}.  Disons  dans  un  premier  temps qu'il  s'agit  d'une  assertion
vérifiable relativement au résultat d'une expérience aléatoire.
Il est donc \og associé\fg{} à un sous-ensemble (une partie) de $\Omega$.
Un élément de $\Omega$ sera associé à un \textbf{évènement élémentaire}.

Reprenons le deuxième exemple. Voici quelques évènements:

\begin{itemize}
\item \og Obtenir deux fois 3\fg{}: $E_a=\bigl\{33\bigr\}$. C'est un
évènement élémentaire;
\item  \og Ne  pas  obtenir deux  fois 3\fg{}:  $E_b=\Omega_2\setminus
E_a\subseteq \Omega_2$;
\item \og Obtenir deux faces dont la somme des numéros fait 11\fg{}:
$E_c=\bigl\{56,65\bigr\}\subseteq
\Omega_2$;
\item  \og Obtenir deux  faces dont  le numéro  est inférieur  à 7\fg{}:
$E_d=\Omega_2$. Il s'agit donc de l'\textbf{évènement certain};
\item \og  Obtenir deux  faces dont la  somme des numéros  fait 37\fg{}:
$E_e=\emptyset$. Il s'agit cette fois de l'\textbf{évènement} \textbf{impossible}.
\end{itemize}


On  comprend  que  l'univers   lui-même  et  l'ensemble  vide  sont  des
évènements.  On voudrait que la réunion et l'intersection d'évènements soit encore un
évènement et que le complémentaire  de la partie associée à un évènement
définisse encore  un évènement: les  mathématiciens (français...) disent
alors   que   l'ensemble   de    tous   ces   évènements   forment   une
\textbf{tribu}.   Dans  le   reste  du   monde,  on   parle   plutôt  de
$\sigma$-algèbre de Boole: les ensembles concernés vérifient en effet certaines
propriétés \textit{algébriques}.

Il reste enfin à définir  un moyen de \textbf{mesurer} les probabilités:
c'est  une sorte  de  degré  de certitude  correspondant  à une  échelle
graduée de 0 à 1, 0 correspondant au degré de l'évènement impossible et
1 au degré de l'évènement certain. Il est important de comprendre que ce
degré de certitude est donné \textbf{a priori} et permet donc de prévoir
l'issue de l'expérience avant de la réaliser.

Il faudrait que  cette mesure assure une cohérence  entre les évènements
et les degrés.

Par  exemple,  si  $A\subseteq  B$,  on  aimerait  que  $\bbp(A)\leqslant
\bbp(B)$. On aimerait également que  l'union de deux parties de l'univers
se \og transforme\fg{} en somme de  leur degré de certitude, mais on \og
sent\fg{} bien que  cela ne pourra être vrai que  si les évènements sont
totalement  \textbf{incompatibles}:  $A\cap B=\emptyset  \limp
\bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$. On retrouve  ici cette notion algébrique de
\og transport\fg{} des opérations: la notion d'\textit{isomorphisme}.

\bigskip

Considérons pour  illustrer ces dernières notions le  premier exemple du
lancer unique d'un dé.

Notre  univers $\Omega_1$  contient 6  éléments et  prenons  comme tribu
naturellement associée  les $2^6=64$  parties de $\Omega_1$  qui forment
l'ensemble $\PR(\Omega_1)$.

Imposons  pour notre  modèle  que la  mesure  du degré  de certitude  ne
dépende  pas des numéros  des faces  mais uniquement  du cardinal  de la
partie considérée:  chacun des six  évènements élémentaires aura  donc la
même probabilité: $\bbp(\og 1\fg{})=\bbp(\og 2\fg{})=\cdots=\bbp(\og 6\fg{})= \frac{1}{6} $.

La  probabilité  d'obtenir  un   numéro  pair  sera  donc,  sachant  que
l'évènement est associé à 
$A=\bigl\{2,4,6\bigr\}$:
$\bbp(A)=\bbp(\og 2\fg{})+\bbp(\og 4\fg{})+\bbp(\og 6\fg{})=\frac{1}{2}$.

Mais  si le  dé est  truqué?  Si l'univers  est infini?  S'il n'est  pas
dénombrable?

Il est temps de définir clairement et rigoureusement les notions afin de
ne pas dire de bêtises...



\section{Espace probabilisable - Espace probabilisé}

Dans ce chapitre, $\Omega$ est un ensemble dénombrable.  Nous le
considérerons parfois fini. 
 

\begin{definition}[Tribu]
Une tribu $\TR_\Omega$ définie sur un univers $\Omega$ est une partie de
$\PR(\Omega)$ qui vérifie:
\begin{enumerate}
\item $\Omega\in \TR_\Omega$;
\item   $A\in\TR_\Omega   \limp   \complement_\Omega   A   \in
\TR_\Omega$;
\item       $\forall      I\subseteq\bbn$,       $(A_i)_{i\in      I}\in
\TR_{\Omega}^{|I|}\limp \displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\in \TR_\Omega$.
\end{enumerate}
\end{definition}


Attention!  Une tribu  est une  partie de  $\PR(\Omega)$: c'est  donc un
ensemble de sous-ensembles de $\Omega$!

\begin{definition}[Espace probabilisable]
  Soit $\TR_\Omega$ une tribu définie sur l'univers $\Omega$. On dit que
$\bigl(  \Omega,\TR_\Omega  \bigr)$  est  un espace  probabilisable  (ou
espace d'évènements). Les éléments de la tribu sont appelés \textbf{évènements}.
\end{definition}



Attention! Pour  une certaine expérience  aléatoire, il peut y  avoir de
nombreux espaces probabilisables différents.

Par exemple,  en reprenant  un des exemples  introduits dans  la section
précédente:

\begin{itemize}
\item  $\left(\Omega_1,\bigl\{\emptyset,\Omega_1\bigr\}\right)$ est
un espace  probabilisable: on  ne pourra s'intéresser  qu'aux évènements
\og obtenir un numéro entre 1 et  6\fg{} et \og ne pas obtenir de numéro
entre 1 et 6\fg{} ce qui est un peu sommaire;
\item               $\left(\Omega_1,\bigl\{\emptyset,A,\complement_\Omega
A,\Omega_1\bigr\}\right)$ avec A associé à \og obtenir un 6\fg{};
\item $\left(\Omega_1,\PR(\Omega_1\bigr)\right)$ est ce qu'on peut faire
de plus précis.

\end{itemize}


Vérifiez qu'il s'agit bien d'espaces probabilisables!


\begin{definition}[Axiomes de \foreignlanguage{russian}{КОЛМОГОРОВ} ]\label{probadef}
  Soit $\left(\Omega,\TR  \right)$ un espace  probabilisable. On appelle
\textbf{mesure   de  probabilité}  (ou   probabilité  tout   court)  une
application $\bbp$ définie sur $\TR$ vérifiant:
\begin{enumerate}
\item $\forall A \in \TR,\ \bbp(A)\in [0,1]$;
\item $\bbp(\Omega)=1$;
\item  $\forall(A,B)\in   \TR\times\TR,\
  A\cap B=\emptyset \limp \bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$
\end{enumerate}


On dit alors que $\left(\Omega,\TR,\bbp\right)$ est un \textbf{espace probabilisé}.
\end{definition}






%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{4.2cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=2.8cm]{kolmogorov}
\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-6cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}



Vous   pouvez    vérifier   que  l'espace   probabilisable
$\left(\Omega,\PR(\Omega)\right)$                                    avec
$\Omega=\bigl\{1,2,3,4,5,6\bigr\}$ muni de l'application:

$$\bbp\colon\begin{array}{rll} \PR(\Omega)  &\to &[0,1] \\ A  & \mapsto &
\frac{|A|}{6} \end{array}$$

définit un espace probabilisé.

Pour l'axiome 3, on se souviendra de la formule du crible (cf théorème \vref{crible}).


\medskip

Comme  $\Omega$  est  dénombrable,  il  existe une  certaine  famille  I
d'entiers  telle que  $\Omega=\displaystyle\bigcup_{i\in I}\{\omega_i\}$
et pour tout évènement A de $\TR$, il existe une famille $J\subseteq I$ telle que
 $A=\displaystyle\bigcup_{j\in J}\{\omega_j\}$.

Alors, par application itérée du troisième axiome:

$$\PR(A)=\bbp                             \left(\displaystyle\bigcup_{j\in
J}\{\omega_j\}\right)=\sum_{j\in J}\bbp \left(\bigl\{\omega_j\bigr\}\right)$$


Ainsi  la  donnée   des  valeurs  prises  par  $\bbp$   sur  les  évènements
élémentaires suffit à caractériser $\bbp$ sur $\TR$.




Dans le cas où $\Omega$ est  fini et si tous les évènements élémentaires
ont  la même probabilité  (on dit  qu'il y  a \textbf{équiprobabilité}),
alors:

$$\bbp(\omega_1)=\bbp(\omega_2)=\cdots=\bbp(\omega_{|\Omega|})=\frac{1}{|\Omega|}$$

Dans  ce  cas,  $\bbp$  est  appelée  \textbf{probabilité  uniforme}  sur
$\Omega$.


%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{4.2cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=2.8cm]{monica}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3.2cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}

Attention! Toute probabilité  n'est pas uniforme...Votre portable sonne:
quelle est  la probabilité que  cela soit Monica  B. qui vous  fasse une
déclaration  d'amour?  La  tribu  contient deux  évènements  en plus  de
l'évènement certain et de l'évènement impossible: \og c'est
Monica\fg{} et \og ce n'est pas Monica\fg{}. Le rapport
entre cas favorables et cas possibles est bien $\frac{1}{2}$ et pourtant...

\medskip


Vous noterez enfin  que lorsque l'univers est infini  dénombrable, il ne
peut pas y avoir équiprobabilité: Pourquoi?...



\begin{theoreme}[Principales propriétés]
 Soit  $(\Omega,\TR,\bbp)$  un espace  probabilisé. La
    probabilité $\bbp$ vérifie:
    \begin{enumerate}
    \item $\bbp \left(\complement_\Omega{A}\right)=1-\bbp(A)$~;
    \item $\bbp(\emptyset)=0$~;
    \item $\forall(A,B)\in  \TR\times\TR,\
      A\subset B\imp \bbp(A)\ie \bbp(B)~$~;
    \item $\forall(A,B)\in  \TR\times\TR,\
      \bbp(A\cup  B)=\bbp(A)+\bbp(B)-\bbp(A\cap B)$  (cas particulier  de la
formule du crible de \textsc{Poincaré}).
    \end{enumerate}
\end{theoreme}

Dans   la  suite,   quand  il   n'y  aura   pas  ambiguïté,   on  notera
$\complement_\Omega{A}$ par $\overline{A}$.

Démonstration?...


\begin{definition}[Système complet d'évènements]
  Une famille $A_1$, $A_2$,...,$A_n$ d'évènements non vides de $\TR$ forme un système complet
d'évènements si, et seulement si:
\begin{itemize}
\item   $\forall   i\neq   j$,   $A_i\cap   A_j=\emptyset$   (évènements
  incompatibles deux à deux);
\item $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$.

On dit aussi que la famille $(A_i)$ forme une \textbf{partition} de $\Omega$.
\end{itemize}
\end{definition}


\begin{theoreme}[Théorème des probabilités totales (version 1)]
Soit   $(A_i)_{1  \leqslant   i   \leqslant  n}$   un  système   complet
d'évènements, alors:

$$\forall E\in \TR,\ \bbp(E)=\sum_{i=1}^n \bbp(E\cap A_i)$$
  
\end{theoreme}

Preuve?


\section{Probabilités conditionnelles}




Dans toute cette section on travail dans l'espace probabilisé $(\Omega,\TR,\bbp)$.

\subsection{Un exemple pour comprendre}\label{exprobacon}



Considérons l'expérience simplissime consistant à lancer deux fois un dé
à six  faces. L'univers  $\Omega$ est donc  constitué de  l'ensemble des
couples   $(i,j)$,   avec   $i$   et  $j$   appartenant   à   l'ensemble
$[\![1,6]\!]$ : il y a  donc 36 éléments dans $\Omega$. Intéressons nous
à la  somme des deux chiffres  et soit $A$ l'événement  <<~le total fait
neuf~>>. On prendra $\TR=\PR(\Omega)$.

$$A=\ac{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}$$
donc
$$\bbp(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Soit $B$ l'événement : <<~on obtient 3 au premier lancer~>>, alors

$$B=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}$$
donc
$$\bbp(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$
Jusqu'ici,  tout roule.  Posons-nous  maintenant le  problème suivant:
 sachant que $B$ est réalisé, i.e. que l'on obtient 3 au premier lancer,
 quelle est  la probabilité  que le total  fasse 9~? On  ne considère
 plus tous les éléments de $\Omega$. Il semble alors nécessaire 
de définir un nouvel univers (notre nouvel ensemble des possibles)~:
$$\Omega'=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}=\Omega\cap B$$
Puisque l'univers change, la probabilité aussi. L'événement $A'$ <<~le total fait neuf~>> dans ce nouveau modèle s'écrit
$$A'=\ac{(3,6)}=A\cap B$$
et donc
$$\bbp'(A')=\frac{1}{6}=\frac{\text{nombre    d'éléments    de    }    A\cap
B}{\text{nombre d'éléments de } B}=\frac{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$


\subsection{Définition}

Cela nous incite à poser la définition suivante:

\begin{definition}[Probabilité  conditionnelle\index{probabilité!conditionnelle}]
Soient $A$  et $B$  deux événements d'un  espace probabilisé  muni d'une
probabilité  $\bbp$,  avec  $\bbp(B)\neq0$.  \textbf{La  probabilité  de
  \textit{A}        sachant        \textit{B}}        est        définie
par $$\bbp(A\mid B)=\frac{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$
\end{definition}


On  parle de  \emph{probabilité}  conditionnelle. Mais  est-ce bien  une
probabilité~?  C'est-à-dire est-ce que $(\Omega,\TR,\bbp(\cdot\mid B))$ est un
espace probabilisé?  D'après la définition
\vref{probadef}, il y a trois conditions à vérifier: faites-le!

% \begin{enumerate}
% \item soit $A\in\mathcal P(\omega)$.  On a bien sÃ»r
% $\bbp_B(A)=\frac{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}\se 0$.

% De plus, d'après la propriété 3 du théorème \vref{propprob}, $\bbp(A\cap
% B)\ie \bbp(B)$ et donc $\bbp_B(A)\ie 1$~;
% \item $\bbp_B(\Omega)=\frac{\bbp(\Omega\cap
% B)}{\bbp(B)}=\frac{\bbp(B)}{\bbp(B)}=1$~;
% \item considérons deux évènements incompatibles $A_1$ et $A_2$. Alors,
% compte-tenu de  l'associativté de  l'intersection, on a  aussi $(A_1\cap
% B)\cap(A_2\cap B)=\emptyset$. On obtient donc successivement~:

% \begin{align*}
% \bbp_B(A_1\cup A_2)&=\frac{\bbp\big((A_1\cup A_2)\cap B\big)}{\bbp(B)}\\
% &=\frac{\bbp(A_1\cap B)+\bbp(A_2\cup B)}{\bbp(B)}\\
% &=\bbp_B(A_1)+\bbp_B(A_2)
% \end{align*}
% \end{enumerate}



% \subsection{Formules des probabilit\'es totales: le retour}

% \begin{theoreme}[Probabilités totales (version 2)]
% Supposons donc qu'il  existe une partition $A_1$, $A_2$,  ... , $A_n$ de
% $\Omega$, alors
% $$B=B\cap \Omega=B\cap \pa{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=(B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_n)$$
% Cette union étant disjointe, on a donc
% $$\bbp(B)=\bbp(B\cap A_1)+\bbp(B\cap A_2)+\cdots+\bbp(B\cap A_n)$$
% \end{theoreme}


% Cette  propriétéqu'il n'est  pas  trop difficile  de  démontrer rend  de
% nombreux services.

\subsection{Arbre}

Reprenons  l'exemple de  la section  \vref{exprobacon} en  répondant aux
mêmes questions  à l'aide d'un  arbre \textit{pondéré}, c'est à  dire un
arbre dont  chaque branche  est marquée de  la probabilité  (du $poids$)
correspondant.

Alors la somme des probabilités de chaque <<~ramification~>> est égale à
1.


% \begin{pro-arbre22}{1} ["B",6/36,"@overline{B}"],["A",1/6,1/10],[]
% \end{pro-arbre22}

% Set the overall layout of the tree
\tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=2.5cm]
\tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=1.5cm]

% Define styles for bags and leafs
\tikzstyle{bag} = [text width=4em, text centered]
\tikzstyle{end} = [circle, minimum width=3pt,fill, inner sep=0pt]

% The sloped option gives rotated edge labels. Personally
% I find sloped labels a bit difficult to read. Remove the sloped options
% to get horizontal labels. 
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
\node[bag] {$\Omega$}
    child {
        node[bag] {B}        
            child {
                node[end, label=
                    {$\overline{A}$}] {}
                edge from parent
                node[above] {}
                node[below]  {$9/10$}
            }
            child {
                node[end, label=
                    {$A$}] {}
                edge from parent
                node[above] {$1/10$}
                node[below]  {}
            }
            edge from parent 
            node[above] {}
            node[below]  {$5/6$}
    }
    child {
        node[bag] {B}        
        child {
                node[end, label=
                    {$\overline{A}$}] {}
                edge from parent
                node[above] {}
                node[below]  {$5/6$}
            }
            child {
                node[end, label=
                    {$A$}] {}
                edge from parent
                node[above] {$1/6$}
                node[below]  {}
            }
        edge from parent         
            node[above] {$1/6$}
            node[below]  {}
    };
\end{tikzpicture}



À l'aide de  la formule des probabilités totales,  il est aisé d'obtenir
les résultats suivant:

\begin{enumerate}
\item \textbf{Calcul de $\bbp(A)$}


$B$ et $\overline{B}$ forment une partition. D'apr\`es la formule des probabilit\'es totales,\\

$\bbp(A)=\bbp(B \cap A)+\bbp(\overline{B} \cap A)
=\bbp(B) \times \bbp(A\mid B)+\bbp(\overline{B}) \times \bbp(A\mid \overline{B})$\\

$\bbp(A)=\frac{1}{6}    \times   \frac{1}{6}   +    \frac{5}{6}   \times
\frac{1}{10}
=\frac{1}{9}$\\

\item \textbf{Calcul de $\bbp( \overline{A} )$}


$B$ et $\overline{B}$ forment une partition. D'apr\`es la formule des probabilit\'es totales,\\

$\bbp( \overline{A} )=\bbp(B  \cap \overline{A} )+\bbp(\overline{B} \cap
\overline{A} )
=\bbp(B)  \times  \bbp(  \overline{A}\mid  B)+\bbp(\overline{B})  \times
\bbp( \overline{A}\mid \overline{B})$\\

$\bbp(  \overline{A}  )=\frac{1}{6}  \times  \frac{5}{6}  +  \frac{5}{6}
\times \frac{9}{10}
=\frac{8}{9}$\\


\item \textbf{Probabilit\'es conditionnelles}

\begin{multicols}{2}
$\bbp(B\mid A)=\dfrac{\bbp(B \cap A)}{\bbp(A)}
=\dfrac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}=\frac{1}{4}$\\

$\bbp(\overline{B}\mid A)=\dfrac{\bbp(\overline{B} \cap A)}{\bbp(A)}
=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}$\\


$\bbp_{ }(B\mid \overline{A})=\dfrac{\bbp(B \cap
  \overline{A} )}{\bbp( \overline{A} )}
=\dfrac{\frac{5}{36}}{\frac{8}{9}}=\frac{5}{32}$\\

$\bbp(\overline{B}\mid \overline{A})=\dfrac{\bbp(\overline{B} \cap
  \overline{A} )}{\bbp( \overline{A} )}
=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{32}$\\
\end{multicols}
\end{enumerate}
% \begin{pro-ana22}{1}
% ["B",6/36,"@overline{B}"],["A",1/6,1/10]
% \end{pro-ana22}



\subsection{Formule de BAYES}


Cette formule correspond au \og retournement\fg{} d'un arbre.


\begin{theoreme}[Deuxième formule de \textsc{Bayes} (probabilité des causes)]
Soit $\left(\Omega,\TR,\bbp\right)$ un espace probabilisé et $(A_i)_{i\in
 I\subseteq \bbn}$ un système complet d'évènements.

$$\forall B\in \TR,\quad \bbp(A_k\mid B)=\frac{\bbp(B\mid A_k)\times
 \bbp(A_k)}{\displaystyle\sum_{i\in I}\bbp(B\mid A_i)\times \bbp(A_i)}$$
  
\end{theoreme}


Preuve?


On  utilisera  souvent ce  théorème  dans  le  cas particulier  de  deux
évènements:



\begin{theoreme}[Première formule de \textsc{Bayes}]
$$\bbp(A\mid B)=\frac{\bbp(B\mid A)\times \bbp(A)}{\bbp(B)}$$
\end{theoreme}

On aurait pu écrire:


$$\bbp(\text{cause}\mid         \text{effet})=\frac{\bbp(\text{effet}\mid
\text{cause})\times \bbp(\text{cause})}{\bbp(\text{effet})}$$



Statistiquement, on a accès aux  effets connaissant les causes (c'est le
déterminisme...)  mais  dans la  réalité,  on  subit  les effets  et  on
voudrait en connaître la cause.

Le  cas   le  plus  célèbre  d'utilisation   de  la  \textit{statistique
bayesienne} est  le test de  grossesse. Les médecins  \og disposent\fg{}
d'un échantillon de femmes enceintes ou non (et donc de $\bbp(E)$ et $\bbp(\overline{E})$) et d'un test de
grossesse. Ils font subir le test à tout l'échantillon et disposent donc
de    statistiques   sur    $\bbp(T\mid    E)$,   $\bbp(\overline{T}\mid
\overline{E})$, $\bbp(T\mid \overline{E})$ et $\bbp(\overline{T}\mid E)$
mais ce qui intéresse le médecin et surtout la femme qui utilise le test
c'est $\bbp(E\mid T)$ et $\bbp(\overline{E}\mid \overline{T})$...

\subsection{Ind\'ependance}

La notions d'évènements indépendants est l'une des difficultés du calcul
des  probabilités.  Comme souvent,  cette  notion purement  mathématique
renvoie, par  son appellation, à  une notion intuitive utilisée  dans le
langage  courant.  Il  faut  bien  garder  en  mémoire  que  le  mot  du
vocabulaire courant  est souvent un <<~faux  ami~>>. \footnote{On aurait
  aussi  bien parler  de  szjwrttrpgklance, mais  cela  aurait été  plus
  difficile à prononcer.} Donnons tout d'abord sa définition.



\begin{definition}[Évènements
  indépendants\index{evenements@évènements!indépendants}]
Les évènements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $\bbp(A\cap
B)=\bbp(A)\times\bbp(B)$
    \end{definition}



Ainsi,      dans      notre      exemple      de     dés,      on      a
$\bbp(A)\times\bbp(B)=\frac{1}{6}\times\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\bbp(A\cap
B)$, donc le  lancer du 2\up{ème} dé est indépendant  du premier, ce qui
est rassurant.


Cette notion  est purement abstraite  et ne renvoie qu'à  des propriétés
mathématiques dont la principale est:


\begin{theoreme}[Indépendance et probabilités conditionnelles]
  Soient  $A$ et  $B$ deux  évènements  tels que  $\bbp(B)\neq 0$.   Les
  évènements  $A$   et  $B$  sont   indépendants  si  et   seulement  si
  $\bbp(A\mid B)=\bbp(A)$
\end{theoreme}



On peut faire  dire ce que l'on veut à des  probabilités selon le modèle
choisi.

Supposons  que  sur   un  groupe  de  100  personnes,   20  portent  des
sous-vêtements en polystirène expansé  (pour avoir chaud l'hiver), 50 se
grattent la tête avec  l'index gauche et 10 font les deux  à la fois. On
met  ces  100   personnes  dans  une  boîte  et  on   en  tire  une  au
hasard.  Vérifiez que  les  évènements <<~la  personne  tirée porte  des
sous-vêtements en polystirène
expansé~>> et <<~ la personne tirée se gratte la tête avec
l'index gauche~>> sont indépendants.

\'Etudiez le même problème en considérant cette fois-ci que 15 personnes
se grattent la tête avec l'index gauche (pourquoi pas).
\footnote{De   façon   générale,    la   définition   probabiliste   de
  l'indépendance est plus large que la notion intuitive.}

Veillez   à  ne  pas   confondre  évènements   \textit{indépendants}  et
évènements \textit{incompatibles}.

On  peut  montrer  d'ailleurs   que  deux  évènements  incompatibles  de
probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

 En effet, A et B sont
incompatibles si, et seulement si, $A\cap B=\emptyset$, donc $\bbp(A\cap
B)=\bbp(\emptyset)=0$.   Si $\bbp(A)\neq  0$  et $\bbp(B)\neq  0$, on  a
forcément $\bbp(A\cap B)\neq \bbp(A)\times \bbp(B)$.



La  seule idée à  retenir est  que ,  si $A$  et $B$  sont indépendants,
\textbf{avoir  observé la réalisation  de \textit{A}  ne modifie  pas la
  probabilité d'une éventuelle réalisation de \textit{B}}.

Ainsi, en  supposant que la Française des  Jeux n'utilise pas
  de boules truquées, on peut  considérer que deux tirages successifs du
  loto sont indépendants.


  \begin{theoreme}[Indépendance mutuelle]
     Soit $\left( A_{i}\right)_{i\in
 I\subseteq \bbn} $ une suite d'\'{e}v\'{e}nements de $%
\mathcal{T}.$

\begin{enumerate}
\item On dit que ces \'{e}v\'{e}nements sont \textbf{ind\'{e}pendants deux \`{a}
deux} si, et seulement si:  
\begin{equation*}
\forall (i,j)\in I^{2},\ i\neq j,\bbp (A_{i}\cap A_{j})=\bbp
(A_{i})\times\bbp (A_{j})
\end{equation*}

\item On dit que ces \'{e}v\'{e}nements sont \textbf{mutuellement ind\'{e}pendants}
si, et seulement si, pour toute partie J de I on a:

$$\bbp \left( \bigcap\limits_{j\in J}A_{j}\right) =\displaystyle\prod\limits_{j\in J}\bbp
(A_{j})$$

\end{enumerate}
  \end{theoreme}




\section{Variables aléatoires réelles finies}



On travaillera \textit{en général} dans l'espace probabilisé
$(\Omega,\TR,\bbp)$                 avec
 $\Omega=\bigl\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n,...\bigr\}$ un univers
 dénombrable, voire le plus souvent fini
de cardinal $n$.  









\subsection{Définition}

L'ensemble  $\PR(\bbr)$  est  bien  une  tribu  mais  il  pose  quelques
problèmes  lors  d'une étude  plus  approfondie  des probabilités.  Dans
$\bbr$, on utilisera donc une  tribu particulière qui correspond en fait
à  la tribu à  laquelle on  pense \og  naturellement\fg{}, celle  créée à
partir des intervalles:


\begin{definition}[Tribu borélienne]
On  note  $\mathbf{B}(\bbr)$ l'ensemble  des  parties \textit{engendrées}  (par
intersections et réunions dénombrables) par les intervalles de $\bbr$.
\end{definition}

Vous vérifierez qu'il s'agit d'une tribu. 



  \begin{definition}[Variable aléatoire réelle]
     On appelle {variable
aléatoire  réelle  finie}  toute  application de  $\Omega$  dans  $\bbr$
 vérifiant:
$$\forall I\subseteq \bbr,\ X^{-1}(I) \in \TR$$
    \end{definition}

Cette d\'{e}finition nous assure que $X^{-1}(I)$ est un \'{e}v\'{e}nement
dont on peut calculer la probabilit\'{e}.


  
Une v.a. est \emph{réelle} car X est à valeurs dans $\bbr$ et \emph{finie}
  car l'univers est fini donc l'ensemble image de X aussi.
\begin{DANGER}
Vous noterez  qu'une \emph{variable}  aléatoire réelle (v.a.r.  pour les
intimes) est en fait une \emph{fonction}~!...
\end{DANGER}


Nous noterons $\mathcal{V}_{X}=X\left( \Omega \right) $ l'ensemble des
valeurs prises par la v.a. $X$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[decoration={random steps,segment length=2mm}]

\draw [decorate,fill=blue!20]
(0,0) circle (1.25cm) node {$A=X^{-1}(A')$};
\draw [decorate]
(0,0) circle (2cm);
\draw [->]
(7,-3) -- (7,3); 
\draw [blue,line width=3pt]
(7,-1) -- (7,-0.75);
\draw [blue,line width=3pt]
(7,-0.25) -- (7,1);

\node[right] at (7,3) {$(\VR_X,\PR(\VR_X),\bbp_X)$};
\node[left] at (-1,2) {$(\Omega,\TR,\bbp)$};
\node[right,blue] at (7,0) {$A'\in\PR(\VR_X)$};

\draw[->, thick, dashed] (0,0.25) to [out=70,in=110] node [sloped,above] {$X$} (6.9,0);



\end{tikzpicture}
\end{center}




Soit $x_1,\cdots,x_k$ les différentes valeurs prises par la
fonction $X$.

On note $\{X=x_i\}$ l'événement <<~la variable aléatoire prend la
valeur $x_i$~>>. Il se note rigoureusement $\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x_i\}$, ce qui se lit <<~l'ensemble des $\omega$ tels
que $X(\omega)=x_i$~>> ou encore $X^{-1}\left(\{x_i\}\right)$.

La  v.a.r.  X  induit  une   nouvelle  probabilité  (ou  plutôt  loi  de
probabilité    comme    nous    allons    le    voir)    $\bbp_X$    sur
$(\bbr,\mathbf{B}(\bbr))$.  Par exemple, $\bbp_X(\{2\})=\bbp(\{\omega\in\Omega
\mid X(\omega)=2\})$.


\medskip

La d\'{e}finition pr\'{e}c\'{e}dente n'est pas tr\`{e}s parlante, il faut
essentiellement retenir que l'on va s'int\'{e}resser \`{a} des \'{e}v\'{e}%
nements d\'{e}crits par des nombres, les variables al\'{e}atoires nous
permettent de d\'{e}crire, et donc de noter, facilement des \'{e}v\'{e}%
nements \`{a} l'aide de nombres.

 Si $\mathcal{V}_{X}$ est r\'{e}duit \`{a} un
singleton, $\mathcal{V}_{X}=\left\{ \alpha \right\} ,$ on dit que $X$ est
une variable certaine, on note alors $X=\alpha .$

\subsection{Loi de probabilité}


  \begin{definition}[Loi de probabilité d'une v.a.r.]
  Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\bbp_X$ de $\mathbf{B}(\bbr)$ dans $[0,1]$
définie par
$$\bbp_X\colon\begin{array}{rll} \mathbf{B}(\bbr)  &\to & [0,1]  \\ B &
\mapsto  &  \bbp(\{X^{-1}(B)\})=\bbp(\{\omega\in\Omega\mid  X(\omega)\in
B\})=\bbp(X\in B) = \bbp_X(B)\end{array}$$
    \end{definition}
  

\textbf{Vérifiez  que $\bm{\bbp_X}$ vérifie  les axiomes  de Kolmogorov}
donc que $\bbp_X$ est bien une mesure de probabilité sur $(\bbr,\mathbf{B}(\bbr))$.


Dans  la   plupart  des  cas,  on   étudiera  $\bbp(X=x)$,  c'est-à-dire
$\bbp(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)=x\})$.


Si $x\not\in X(\Omega)$, alors $\{X=x\}=\emptyset$ et donc
$\bbp(\{X=x\})=0$.



Définir \textit{la loi de probabilité d'une expérience aléatoire}
reviendra donc à: 

\begin{itemize} 

\item déterminer toutes les valeurs
possibles $x_1,\cdots,x_n$ prises par $X$; \item calculer les
probabilités $p_1,\cdots,p_n$ des événements correspondants; \item
regrouper les résultats dans un tableau du type~:



\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Valeurs prises par $X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline Probabilité correspondante $\bbp(\{X=x_i\})$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}





Vous n'oublierez pas de vérifier que $p_1+\cdots+p_n=1$ d'après la
loi des probabilités totales.


En général, on se trouve dans la situation suivante:

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\matrix[matrix of math nodes,row sep=1cm,column sep=1cm]{
|(A)| { \Omega } & |(B)| {\bbr} \\
|(Aprime)| {\bbr} & |(Bprime)| {\bbr} \\
};
\begin{scope}[every node/.style={pos=0.5,font=\scriptsize}]
\draw[->] (A) -- (B)
node[auto=left] {$X$}
;
\draw[->] (A) -- (Aprime) node[auto=right] {$\bbp \text{ inconnue }$};
\draw[->] (B) -- (Bprime) node[auto=left] {$\bbp_X \text{ connue}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

\end{center}


\begin{NB}
  Dans la vraie vie, on connaît les valeurs prises par la v.a.r. mais on
  ne connaît pas bien $\Omega$, voire pas du tout. On réfléchit donc sur
  les lois et non pas sur des ensembles comme au lycée. 

Par  exemple, on  peut vouloir  réfléchir  au nombre  de plantages  d'un
réseau. On  estime statistiquement les probabilités de  tomber 0, 1,
2, etc. fois  en panne dans une  journée. On ne sait pas  trop ce qu'est
$\Omega$ mais on peut parler de la loi de $X$. 


En  fait, une  variable  aléatoire \og  transporte\fg{}  les calculs  de
probabilités d'un univers inconnu vers des valeurs réelles connues.


La  v.a.r. a  pour  effet de  remplacer  la tribu  $\TR$  par une  tribu
$X^{-1}(\PR(\VR_X))$ en général  plus petite: elle condense l'information
sur l'univers  en une information plus grossière  (numérique) mais c'est
déjà  bien car en  général on  ne connaît  de toute  manière pas  ou peu
l'univers de départ!...

\textbf{On  retiendra donc  que le  \og praticien\fg{}  travaille la  plupart du
temps  avec des  lois de  probabilités et  non pas  des  ensembles: cela
simplifie son travail  car il peut travailler sur  des espaces complexes
(l'univers de départ est souvent trop complexe voire inconnu) sans les connaître.
}\end{NB}

L'information donnée par la loi est souvent plus grossière: par exemple,
on lance  deux dés et on  regarde la somme  des deux faces. La  tribu de
départ contient  $2^{36}$ évènements alors que  la tribu de  la loi n'en
contient que $2^{11}$ (il y a 11 sommes possibles).

% \begin{tikzpicture}
% \path[mindmap,concept color=black,text=white]
% node[concept] {$A_1$}
% [clockwise from=0]
% % note that ‘sibling angle’ can only be defined in
% % ‘level 1 concept/.append style={}’
% child[concept color=green!50!black] {
% node[concept] {$A_2$}
% }
% child[concept color=blue] {
% node[concept] {$A_3$}
% }
% child[concept color=red] { node[concept] {$A_4$} }
% child[concept color=orange] { node[concept] {$A_5$} };
% \end{tikzpicture}


%\begin{figure}
%\begin{center}
\begin{tikzpicture}[outer    sep=0pt,decoration={random    steps,segment
length=2mm}]

\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n1) at (0,0)
[circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,red] {$A_1$};
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1]
 (n2) at (30:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,blue] {$A_2$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (blue)]
(n2);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n3) at (80:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,orange] {$A_3$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (orange)]
(n3);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n4) at (330:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,green!20!black] {$A_4$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (green!20!black)]
(n4);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n5) at (280:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,black] {$A_5$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (black)]
(n5);


\fill[red] (7,0) circle (2pt) node[right=2pt] (x1){$x_1$};
\fill[blue] (7,0.75) circle (2pt) node[right=2pt] (x2){$x_2$};
\fill[orange] (7,1.5) circle (2pt) node[right=2pt] (x3){$x_3$};
\fill[green!20!black] (7,-0.75) circle (2pt) node[right=2pt] (x4){$x_4$};
\fill[black] (7,-1.5) circle (2pt) node[right=2pt] (x5){$x_5$};
\draw[->,red] (n1) -- (x1);
\draw[->,blue] (n2) -- (x2);
\draw[->,orange] (n3) -- (x3);
\draw[->,green!20!black] (n4) -- (x4);
\draw[->,black] (n5) -- (x5);

\draw[->] (7,-2.6) -- (7,3.5);

% \node[decorate,draw=black, opacity=0.5,fill opacity = 0.5,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(x1) (x2) (x3)
% (x4) (x5)] {};


\node[right]    at    (7.1,2.2)    {$\substack{(\VR_X,\PR(\VR_X),\bbp_X)\\
\text{connu mais}\\ \text{plus grossier}}$};
\node[right] at (7,3.25) {$\bbr$};
\node[left,red] at (-0.25,2.2) {$\substack{(\Omega,\TR,\bbp)\\ \text{inconnu}}$};


\draw[->, thick, dashed] (-0.15,2.5) to [out=70,in=110] node [sloped,above] {$X$} (6.9,2.5);


%\draw [decorate] (5,0) circle (2cm); 
\end{tikzpicture}
%\end{center}
%\caption{La v.a.r. induit un système complet d'évènements de $\Omega$}
%\end{figure}

\textbf{À  partir  de la  loi,  on induit  un  système  complet d'évènements  sur
$\Omega$}: la  connaissance de la  loi nous donne des  renseignements sur
l'univers mais souvent de manière grossière (par \og paquets\fg{}).


\begin{DANGER}
  Deux v.a.r. peuvent  avoir la même loi sans être  égales! On lance $n$
  fois une pièce non truquée. Considérez  X le nombre de pile tombés et
  $n-X$ le nombre de face. Ces deux v.a.r. suivent la même loi binomiale
  de mêmes  paramètres $n$ et 1/2  et pourtant elles ne  sont pas égales
  (ni même égales presque partout  ce qui signifie sauf sur un évènement
  de probabilité nulle mais ceci est une autre histoire).
\end{DANGER}
\subsection{Variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes}






La      notation      $\bbp(X=x_i,Y=y_j)$      signifie      usuellement
$\bbp(\{X=x_i\}\cap\{Y=y_j\})=\bbp(X=x_i \text{ et } Y=y_j)$.

On peut donc définir un \textbf{vecteur aléatoire} $Z=(X,Y)$ tel que $$\bbp(Z=(x_i,y_j))=\bbp(X=x_i,Y=y_j)$$

On peut  se représenter l'espace  produit à l'aide  d'une représentation
cartésienne: on  parle alors d'évènements \og parallèles\fg{}  à des \og
axes\fg{}    (les   $\Omega_i$),   ces    \og   axes\fg{}    étant   \og
orthogonaux\fg{}.  Un système  complet  d'évènements est  alors une  \og
base\fg{}. Tous ces ponts  de vocabulaire reliant plusieurs théories est
un plaisir évident pour le  mathématicien qui pourra faciliter la vie de
l'informaticien mais  vous pouvez laisser  cela de côté dans  un premier
temps...



\begin{definition}[Couple de variables indépendantes]
  Les v.a.r. X  et Y sont dites indépendantes si,  et seulement si, pour
  toute partie $(A,B)\in\VR_X\times \VR_Y$, 
$$\bbp(X\in A, Y\in B)=\bbp(X\in A)\cdot \bbp(Y\in B)$$
\end{definition}
 

\begin{definition}[Variables aléatoires mutuellement indépendantes]
 Si $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots ,X_{k}$ sont $k$ v.a. d\'{e}finies sur $%
\Omega $, on dit qu'elles sont mutuellement ind\'{e}pendantes si, et seulement si,  quels que
soit $(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{k})\in\VR_{X_1}\times\VR_{X_2}\times\cdots\times\VR_{X_k}$ on a : 
\begin{equation*}
\bbp \left( X_{1}\in I_{1},X_2\in I_2,...,X_k\in I_k\right) 
=\bbp  \left( X_{1}\in  I_{1} \right)\times  \bbp \left(  X_{2}\in I_{2}
\right)\times\cdots\times \bbp \left( X_{k}\in I_{k} \right)
\end{equation*}  
\end{definition}



\textbf{Attention!} L'ind\'{e}pendance deux \`{a} deux de variables al\'{e}%
atoires  n'entraine pas  leur ind\'{e}pendance  mutuelle, comme  nous le
 verrons en TD.




\subsection{Fonctions de répartition}






\begin{definition}[Fonction de répartition]
  Soit X une v.a.r. On appelle fonction de répartition de X la fonction
 F de $\bbr$ dans $\bbr$ définie par:

$$F_X(x)=\bbp(X \leqslant  x)=\bbp_X(]-\infty,x])$$
\end{definition}

On note souvent cette fonction $F_X$.



Voici quelques propriétés que vous démontrerez:

\begin{theoreme}[Propriétés de $F_X$]\label{th:fonc_rep}
  \begin{enumerate}
\item $\forall x\in \mathbb{R},F_X(x)\in \left[ 0,1\right] $

\item $F_X$ est croissante (sens large).

\item $F_X$ est continue \`{a} droite en tout point.

\item $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }F_X(x)=0$

\item $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }F_X(x)=1$

\item $\bbp \left(  a<X\leq b \right) =\bbp_X(]a,b])=F_X(b)-F_X(a)$

\item $F_X(a)=\bbp \left(  X\leq a \right)= \bbp_X(]-\infty,a])=1-\bbp \left(  X>a%
 \right) $

\item $\bbp \left(  X=a \right) =\underset{x\rightarrow a^{+}}{%
\lim }F_X(x)-\underset{x\rightarrow a^{-}}{\lim }F_X(x)=F_X(a)-\underset{%
x\rightarrow a^{-}}{\lim }F_X(x).$ Par cons\'{e}quent en tout point $a$ o\`{u} 
$F_X$ est continue on a $\bbp \left(  X=a \right) =0.$
\end{enumerate}
\end{theoreme}












\subsection{Espérance mathématique}


  \begin{definition}[Espérance mathématique]
    On appelle {espérance mathématique} de la variable
aléatoire discrète $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\cdot \bbp_X(x_1)+x_2\cdot \bbp_X(x_2)+\cdots+x_n\cdot
\bbp_X(x_n)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot \bbp_X(x_i)$$
    \end{definition}
  

Exemple: on lance un dé honnête. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du dé est pair et 1 sinon.

Notons $\omega_i$ l'événement \og le  numéro de la face est $i$ \fg, alors $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \big\}$
et 



\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline $i$ & 1&2&3&4&5&6\\
\whline $\bbp(\omega_i)$ & 1/6 & 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\\
\whline $X(\omega_i)$ & 1&2&1&2&1&2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}



D'après le théorème précédent, on a $\bbe(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}=\frac{3}{2}$


Nous aurions pu procéder autrement pour définir la loi de probabilité:



\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
Valeurs $x_i$ prises par X &1&2\\
\whline
 $\bbp_X(x_i)$ & 1/2 &1/2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}



alors, d'après la définition, $\bbe(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$






\begin{theoreme}[Espérance de $\bm{f\circ X}$]
 Soit X  une v.a.r. Soit $f:\bbr\to\bbr$  telle que $f\circ  X$ soit une
 v.a.r. Alors $$\bbe(f\circ X)=\displaystyle\sum_{n\in\bbn}^{}f(x_n)\cdot\bbp(X=x_n)=\displaystyle\sum_{n\in\bbn}^{}f(x_n)\cdot\bbp_X(x_n)$$


\end{theoreme}
Cette propriété sera admise dans un premier temps.







\subsection{Variance}

La variance mesure l'<<~écart~>> par  rapport à l'espérance en faisant
la somme  des carrés des \og  distances \fg entre chaque  valeur prise
par la variable  aléatoire et l'espérance pondérées  par la probabilité
correspondante, ce qui donne: 

  \begin{definition}[Variance]
    $\bbv(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot \bbp(X=x_i)=\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot \bbp_X(x_i)$
    \end{definition}
  


On a choisi d'utiliser les carrés de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes~; on aurait pu choisir une autre méthode mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue. La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. On va donc définir une distance proprement dite en en prenant la racine carrée~:~c'est ce qu'on appelle l'\textbf{écart-type}.


  \begin{definition}[Écart-type]
    $\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}$
    \end{definition}
  
Vous pouvez obtenir espérance, variance et écart-type très simplement à l'aide des modules statistiques de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable aléatoire en liste 1, les probabilités correspondantes en liste 2.



\subsection{Linéarité de l'espérance}

À partir de variables aléatoires existantes, on peut en créer de nouvelles.

 Avec des notations usuelles on obtient 
\begin{itemize}
\item $aX+b$ : $\omega_i\mapsto aX(\omega_i)+b$ avec $a$ et $b$ des réels.
\item $X+Y$ : $\omega_i\mapsto X(\omega_i)+Y(\omega_i)$
\end{itemize}

On peut alors démontrer les propriétés suivantes :






  \begin{theoreme}[Linéarité de l'espérance]
    \begin{itemize}
    \item  $\bbe(aX+b)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\cdot \bbp_X(x_i)=a\bbe(X)+b$
\item $\bbe(X+Y)=\bbe(X)+\bbe(Y)$
    \end{itemize}
    \end{theoreme}
  


Les démonstrations sont similaires.  Notons $Y=aX+b$.  

Pour  tout
$\omega_i\in\Omega$ on a  $Y(\omega_i)=aX(\omega_i)+b$ et donc $y_i=ax_i+b$
avec les notations usuelles donc $\bigl\{\omega\in\Omega | Y(\omega)=y_i\bigr\}=\bigl\{\omega\in\Omega | aX(\omega)+b=ax_i+b\bigr\}=\bigl\{\omega\in\Omega | X(\omega)=x_i\bigr\}$

Alors
$\bbe(Y)=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i\bbp(Y=y_i)=\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\bbp(X=x_i)=a\sum_{i=1}^nx_i\bbp(X=x_i)+b\sum_{i=1}^n\bbp(X=x_i)$


On en déduit que $\bbe(Y)=a\bbe(X)+b$.








\subsection{Théorème de König-Huygens}

Johann \textsc{König}  (1712-1757) fut un  mathématicien allemand, élève
de  Jean \textsc{Bernoulli}  et  Christian \textsc{Huygens}  (1629-1695)
était lui néerlandais.


\begin{theoreme}[Théorème de König-Huygens]
  $$\bbv(X)=\bbe \left((X-\bbe(X))^2\right)=\bbe \left(X^2\right)-\bigl(\bbe(X)\bigr)^2$$
\end{theoreme}

À démontrer en TD...

\subsection{V.a.r. centrée réduite}

\begin{definition}
Soit  X  une  v.a.r.  qui  admet  une variance  non  nulle.  On  appelle
 v.a.r. centrée réduite associée à X la v.a.r.:

$$X^\star=\frac{X-\bbe(X)}{\sigma(X)}$$
\end{definition}


Cette définition en est-elle une? Que valent $\bbe(X^\star)$ et $\bbv(X^\star)$?












\subsection{Fonction indicatrice d'un évènement}


Soit A un évènement aléatoire appartenant à $\TR_\Omega$. Définissons la
variable aléatoire X:

$$X(\omega)=
\begin{cases}
  1 \text{ si } \omega\in A\\
0 \text{ si }\omega \not\in A
\end{cases}
$$

On  note   cette  variable   aléatoire  $X=\indi{A}$  et   on  l'appelle
\textbf{fonction indicatrice} de A.


\begin{theoreme}[Interprétation  d'une probabilité en  terme d'espérance
d'un v.a.]

$$\bbe(\indi{A})=\bbp(A)$$
  
\end{theoreme}

Preuve?



\section{Quelques lois discrètes classiques}


\subsection{Loi uniforme (discrète)}

C'est la loi qui correspond au tirage équiprobable d'un jeton blanc dont
on note le numéro dans une
urne qui contient $n$ jetons blancs numérotés.


%
  \begin{definition}[Loi uniforme]
    On  dit que  $X~:~\Omega\longrightarrow \llbracket1\,,\,n\rrbracket$
    suit une \textbf{loi 
      uniforme}   sur    $\llbracket1\,,\,n\rrbracket$   et   on   note
      $X\leadsto\mathcal U\left(\llbracket1\,,\,n\rrbracket\right)$ si~:
\[X(\Omega)=\llbracket1\,,\,n\rrbracket\quad    \text{et}\quad   \forall
k\in\llbracket1\,,\,n\rrbracket,\ \bbp(X=k)=\frac{1}{n}\] 
    \end{definition}
%  


Calculons   l'espérance    et   la   variance    de   $X\leadsto\mathcal
U\left(\llbracket1\,,\,n\rrbracket\right)$.


$\bbe(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\bbp(X=k)=\sum_{k=1}^nk
\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$. 


De manière analogue, on obtient que
$\bbv(X)=\frac{n^2-1}{12}$ sachant que 
$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 

%\vfill

%\eject

\subsection{Loi de Bernoulli: to be or not to be}


%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=2.8cm]{to-be2}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-2.4cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}
On place des jetons blancs et des noirs dans une urne. 
 On suppose que
toutes  les conditions  sont réunies  pour effectuer  le  tirage d'un
jeton dans  le cadre  d'équiprobabilité et que  la proportion  de jetons
blancs est $p$. Que dire de la variable aléatoire qui vaut 1 si le jeton tiré
est blanc et 0 s'il est noir?



  \begin{definition}[Loi de Bernoulli]
    On dit  que la v.a.r.  finie  X suit la \textbf{loi  de Bernoulli de
      paramètre \textit{p}} si:
    \begin{itemize}
    \item  $p\in       ]0\,;\,1[$,
      $X(\Omega)=\bigl\{0\,,\,1\bigr\}$;
\item   $\bbp(X=1)=p$.
    \end{itemize}
      
   On note alors $X\leadsto \mathcal B(1,p)$
 
    \end{definition}
  


On dit aussi que X  est une \textbf{variable aléatoire de Bernoulli}. Sa
loi de probabilité est simple à décrire~:


\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\textwidth}{Y{1}}
\whline
$x_i$ &0&1\\
\whline
 $\bbp(X=x_i)$ & 1-p &p\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}






Il est simple de déterminer son espérance et sa variance~:

\begin{itemize}
\item $\bbe(X)=0\times  \bbp(X=0)+1\times
  \bbp(X=1)=p$~;
\item  $\bbv(X)=(0-p)^2\times\bbp(X=0)+(1-p)^2\times\bbp(X=1)=p^2(1-p)+(1-p)^2p=p(1-p)$.
\end{itemize}

\subsection{Loi binomiale}

Dans les mêmes conditions que  précédemment, on effectue $n$ tirages d'un
jeton avec  remise. À chaque  tirage on associe une  v.a.r. indépendante
des autres qui suit la loi
de Bernoulli de paramètre $p$. Les issues élémentaires $\omega$ de ces $n$
tirages sont des <<~mots~>> de $n$ lettres, chaque lettre étant un
$B$ (pour blanc) ou un $\overline{B}$. On définit alors la variable aléatoire $X$ à
valeurs dans $\{0,1,2,...,n\}$, donnant le nombre de jetons
blancs de ces  issues élémentaires, c'est à dire que X  est la somme des
v.a.r.  finies  élémentaires suivant  la  loi  de  Bernoulli de  manière
indépendante.  




  \begin{definition}[Loi binomiale]
     On dit  que la v.a.r.  finie  X suit la \textbf{loi binomiale de
      paramètres \textit{n} et \textit{p}} si $n\in\bbn\setminus \bigl\{0\bigr\}$, $p\in ]0\,;\,1[$, $X(\Omega)=\llbracket
    1\,,\,n\rrbracket$  et   si  l'expérience  est  une   suite  de  $n$
    expérience de Bernoulli de paramètre $p$ menées indépendamment.

 On note alors $X\leadsto \mathcal B(n,p)$

    \end{definition}
  





On s'intéresse maintenant à l'événement $(X=k)$, c'est à dire
l'ensemble des mots de $n$ lettres écrits avec $k$ $B$ et $n-k$
$\overline{B}$. Notons  $B_j$ l'évènement \og obtenir un  jeton blanc au
j\up{ème} tirage\fg{}. Chaque   tirage d'une boule étant indépendant
des autres, on a 


$$\bbp(\omega)=\bbp(B_1)\times\cdots\times\bbp(B_k)\times\bbp(\overline{B_{k+1}})\times\cdots\times\bbp(\overline{B_n})=p^k(1-p)^{n-k}$$

comme l'illustre cet arbre:


\begin{center}
  \includegraphics{CHAP8bernoullicours}
\end{center}


Il reste à déterminer combien il y a de tels mots. Ce sont les
anagrammes   (permutations   distinctes)   du   mot   de   $n$   lettres
$BB...B\bar{B}\bar{B}...\bar{B}$. Il y en a $n!$ qu'il faut diviser par
les $k!$ permutations des B  et les $(n-k)!$ permutations des $\bar{B}$,
c'est-à-dire $\CR_{n}^{k}$.
Finalement, on obtient:


  \begin{theoreme}[]
    Pour toute  v.a.r. finie $X\leadsto\mathcal B(n,p)$, on  a, pour tout
    $k\in X(\Omega)$, $$\bbp(X=k)=\CR_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
    \end{theoreme}
  


Vous démontrerez que $\bbe(X)=np$ et $\bbv(X)=np(1-p)$.


\subsection{Loi hyperg\'{e}om\'{e}trique}

Mod\`{e}le : on consid\'{e}re une urne contenant $N$ boules ($N\in \mathbb{N}%
^{\ast }),$ la proportion de boules blanches dans l'urne \'{e}tant $p.$ On
tire simultan\'{e}ment $n$ boules (les boules sont choisies au hasard) et $X$
est la v.a. qui indique le nombre de boules blanches tir\'{e}es. On dit que $%
X$ suit la loi hyperg\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tres $N,$ $n$ et $p$ not%
\'{e}e $\mathcal{H}(N,n,p).$

On retiendra :

\begin{itemize}
\item $X$ peut prendre toute valeur enti\`{e}re de l'intervalle 
$\left\{ \text{Max}\left\{ 0,n-N(1-p)\right\} ,\text{Min}\left\{ n,Np\right\} \right\}$
\item $k\in \mathcal{V}_{X},$ $\bbp \left( \left\{ X=k\right\} \right) =\dfrac{%
\CR_{Np}^{k}\CR_{N(1-p)}^{n-k}}{\CR_{N}^{n}}$

\item $\bbe(X)=np,$ $\bbv(X)=np(1-p)\dfrac{N-n}{N-1}$
\end{itemize}

\subsection{Loi g\'{e}om\'{e}trique}

Mod\`{e}le  :  on  r\'{e}p\`{e}te  ind\'{e}finiment une  \'{e}preuve  de
Bernoulli dont la probabilité de succès est $p$.


Les r\'{e}p\'{e}titions \'{e}tant mutuellement ind\'{e}pendantes, $X$ d\'{e}%
signe le rang de l'essai donnant pour la premi\`{e}re fois un succ\`{e}s. On
dit que $X$ suit la loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p$ et on \'{e}%
crit $X\leadsto \mathcal{G}(p).$ On retiendra : 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\mathcal{V}_{X}=\mathbb{N}^{\ast } \\ 
k\in \mathbb{N}^{\star },\bbp \left( \left\{ X=k\right\} \right) =p(1-p)^{k-1}
\\ 
\bbe(X)=\frac{1}{p},\bbv(X)=\dfrac{1-p}{p^{2}}%
\end{array}%
\end{equation*}



La  loi géométrique  modélise donc  le \textbf{temps  d'attente jusqu'au
premier succès}.



\subsubsection*{Problème du collectionneur}


%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{wonka}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-2.6cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}

Voici une  application classique de  la loi géométrique:  \textit{en Syldavie,le
petit Ivan collectionne les images du  chocolat Wonka. Il y a $n$ images
différentes.  Lorsqu'il aura  obtenu les  $n$ images,  il aura  droit de
visiter les  usines Wonka. À chaque  fois qu'il achète  une tablette, la
probabilité  d'obtenir une  image quelconque  est $1/n$.  Soit  $T_n$ le
temps d'attente (en  nombre de tablettes achetées) pour  obtenir les $n$
images. Calculez $\bbe(T_n)$.}

\smallskip

Soit $X_i$  la variable aléatoire correspondant au  temps d'attente pour
passer     de    $i-1$     images    différentes     à     $i$    images
différentes. Quand on est dans  l'état $i-1$, on dispose de $i-1$ images
différentes.  Si on tombe  sur l'une  des $i-1$  images dont  on dispose
(avec la probabilité $\frac{i-1}{n}$), on
reste  dans  l'état  $i-1$,  sinon,  on  passe à  l'état  $i$  (avec  la
probabilité $\frac{n-(i-1)}{n})$. 

 Ainsi, $X_i\leadsto  \mathcal{G}(p_i)$
avec $p_i=\frac{n-(i-1)}{n}$.  
On en déduit que $\bbe(X_i)=\frac{1}{p_i}=\frac{n}{n+1-i}$.

Or,                    $T_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$,                    donc
$\bbe(T_n)=\bbe(X_1)+\bbe(X_2)+\cdots+\bbe(X_n)$:



$$\bbe(X_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{p_i}=n
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+1-i}=n
\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\cdots + \frac{1}{2}+1\right)$$

Par exemple, avec $n=10$:

\begin{lstlisting}[caption={}]
-->k=[1:10];

-->10*sum(1 ./k)
 ans  =
 
    29.289683  
\end{lstlisting}

Il faut en moyenne acheter 30 tablettes pour obtenir les dix images.

\subsection{Loi de Pascal}

Mod\`{e}le : on r\'{e}p\`{e}te ind\'{e}finiment une \'{e}preuve $\mathcal{E}$
de Bernoulli de probabilité de succès $p$.

Les r\'{e}p\'{e}titions \'{e}tant mutuellement ind\'{e}pendantes, $X$ d\'{e}%
signe le rang de l'essai amenant le $r^{\grave{e}me}$ succ\`{e}s. On dit
que $X$ suit la loi de Pascal de param\`{e}tres $r$ et $p$ et on \'{e}crit $%
X\leadsto \mathcal{P}\!\!a\,(r,p)$.
 On retiendra (démonstration en TD): 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\mathcal{V}_{X}=\left\{ r,r+1,r+2,r+3,\cdots \right\} \\ 
k\in \mathcal{V}_{X},\bbp \left( \left\{ X=k\right\} \right) =\CR%
_{k-1}^{k-r}p^{r}(1-p)^{k-r} \\ 
\bbe(x)=\dfrac{r}{p},\bbv(X)=\dfrac{r(1-p)}{p^{2}}%
\end{array}%
\end{equation*}%
Si $r=1$ on retrouve la loi g\'{e}om\'{e}trique.

\subsection{Loi binomiale n\'{e}gative}

Mod\`{e}le : on r\'{e}p\`{e}te ind\'{e}finiment une \'{e}preuve $\mathcal{E}$
de Bernoulli de probabilité de succès $p$.

Les r\'{e}p\'{e}titions \'{e}tant mutuellement ind\'{e}pendantes, $X$ d\'{e}%
signe le nombre d'\'{e}checs pr\'{e}c\'{e}dant le $r^{\grave{e}me}$ succ%
\`{e}s. On dit que $X$ suit la loi binomiale n\'{e}gative de param\`{e}tres $%
r$  et $p$ et  on \'{e}crit  $X\leadsto \mathcal{J}(r,p).$  On retiendra
(démonstration en TD): 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\mathcal{V}_{X}=\mathbb{N} \\ 
k\in \mathbb{N},\bbp \left( \left\{ X=k\right\} \right) =\CR%
_{k+r-1}^{k}p^{r}(1-p)^{k} \\ 
\bbe(x)=\dfrac{r(1-p)}{p},\bbv(X)=\dfrac{r(1-p)}{p^{2}}%
\end{array}%
\end{equation*}

\subsection{Loi de Poisson}



 \setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=2.8cm]{poisson2}
\caption{Siméon-Denis  \textsc{Poisson} \\(1781 - 1840)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage} 

La variable al\'{e}atoire $X$ suit la loi de Poisson de param\`{e}tre $%
\lambda $ si $X$ peut prendre toute valeur enti\`{e}re $k$ avec la probabilit%
\'{e} $\bbp \left( \left\{ X=k\right\} \right) =\dfrac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }%
}{k!}.$ On retiendra aussi : $\bbe(X)=\lambda $ et $\bbv(X)=\lambda .$

\subsubsection{Que modélise la loi de Poisson?}


Considérons une probabilité définie par:

$$
p_j(\pi_n,n)=
\begin{cases}
\CR_n^j(\pi_n)^j(1-\pi_n)^{n-j}\quad \text{ si } j \leqslant n\\
0 \quad \text{si } j>n
\end{cases}
$$



Ainsi, cette  suite de  probabilités est une  extension sur  $\bbn$ tout
entier de la loi binomiale $\BR(n,\pi_n)$.

\textit{Supposons} que  la suite $(\pi_n)$  tende vers 0 quand  $n$ tend
vers l'infini de telle sorte que $$\
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n\pi_n= \lambda\in\bbr^\star_+
$$

Il faut également se souvenir que:

$$\forall t\in\bbr,\quad 
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{t}{n}\right)^n=\mathrm{e}^{t}
$$

Alors on montre (au tableau pendant l'amphi...) que:

$$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}p_j(n,\pi_n)=\frac{\lambda^j\mathrm{e}^{-\lambda}}{j!}
$$



Ainsi, la loi de Poisson  modélise bien le nombre
d'apparitions de  phénomènes rares (le  nombre de pannes sur  un systèmes
GNU, le  nombre de  sessions sans panne  d'un système Windows,  le nombre
d'étudiants d'info travaillant leur  cours, etc.) dans une suite infinie
d'évènements  ($\pi_n\sim \frac{\lambda}{n}$  est \og  petit\fg{}  et $n$
est \og grand\fg{}).



\section{Somme de v.a.r. indépendantes - Stabilité}

\subsection{Convolution}

Le  produit  de  convolution   intervient  dans  de  nombreux  domaines,
particulièrement en  probabilités et en théorie du  signal. On l'utilise
sous sa forme continue (à l'aide d'une intégrale qui est une somme...continue) ou discrète (à l'aide
d'une somme...discrète).

On  peut   l'exprimer  de  manière  universelle  avec   un  symbole  \og
$\som$\fg{}  bien  pratique  car   souvent  les  propriétés  des  sommes
discrètes et  continues sont les  mêmes (par exemple,  l'espérance d'une
loi continue ou discrète peut s'exprimer de la même manière).


$$f(x)\otimes g(x)=\som f(t)\cdot g(x-t)=\som f(x-t)\cdot g(t)$$


signifie que cet opérateur $\otimes$ signifie à la fois:


$$f(x)\otimes                       g(x)=\displaystyle\int_{\bbr}^{}f(t)\cdot
g(x-t)\;\mathrm{d}t=\displaystyle\int_{\bbr}^{}f(x-t)\cdot
g(t)\;\mathrm{d}t$$

et

$$f(n)\otimes g(n)=\displaystyle\sum_{k\in\bbz}^{}f(k)\cdot g(n-k)=\sum_{k\in\bbz}^{}f(n-k)\cdot g(k)$$

En particulier, avec l'écriture usuelle des suites:


$$u_n\otimes                  v_n=\displaystyle\sum_{k\in\bbz}^{}u_k\cdot
v_{n-k}=\sum_{k\in\bbz}^{}u_{n-k}\cdot v_{k}$$



\subsection{Somme de v.a.r. indépendantes}

\begin{theoreme}[Somme de v.a.r. indépendantes]
Si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes
  $$\bbp(X+Y=k)=\sum_{i\in\bbz}\bbp(X=i)\cdot\bbp(Y=k-i)=\sum_{i\in\bbz}\bbp(X=k-i)\cdot\bbp(Y=i)=\bbp(X=k)\otimes \bbp(Y=k=)$$
\end{theoreme}

Ceci reste à démontrer...en TD of course!


% \begin{remarque}
%   Cette  formule se  généralise   au cas  de la  somme  de $n$
%   v.a.r. indépendantes.
% \end{remarque}



\subsection{Applications}


\subsubsection{Loi binomiale comme somme de lois de Bernoulli}
Commencez par considérer la somme de $1$ variable aléatoire indépendante de
Bernoulli de  même paramètre $p$...  puis généralisez par  récurrence au
cas de $n$ variables aléatoires de Bernoulli de même paramètre $p$.

Cela nous  donnera également  un moyen d'obtenir  l'espérance de  la loi
binomiale $\BR(n,p)$.

\begin{remarque}
Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ est une loi binomiale de paramètre $(1,p)$...
\end{remarque}



\subsubsection{Stabilité de la loi binomiale}


Montrez que  si $X\leadsto \BR(n,p)$  et $Y\leadsto \BR(m,p)$  sont deux
v.a.r. indépendantes alors
$X+Y\leadsto \BR(n+m,p)$.

\subsubsection{Stabilité de la loi de Poisson}

\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{l}
X\leadsto \mathcal{P}(\lambda ) \\ 
Y\leadsto \mathcal{P}(\mu ) \\ 
X\text{ et }Y\text{ ind\'{e}pendantes}%
\end{array}%
\right\} \Rightarrow Z=X+Y\leadsto \mathcal{P}(\lambda +\mu )
\end{equation*}%
D\'{e}monstration : cherchons la loi de probabilit\'{e} de $Z.$ % L'\'{e}v\'{e}%
% nement $\left\{ Z=k\right\} $ est l'\'{e}v\'{e}nement 
% \begin{equation*}
% \left\{ X+Y=k\right\} =\bigcup\limits_{i=0}^{k}\left( \left\{ X=i\right\} \cap %
% \left\{ Y=k-i\right\} \right)
% \end{equation*}%
% par cons\'{e}quent 
% \begin{equation*}
% \bbp \left( \left\{ Z=k\right\} \right) =\sum\limits_{i=1}^{k}\bbp \left( \left\{
% X=i\right\} \cap \left\{ Y=k-i\right\} \right)
% \end{equation*}%
% et c
Comme les v.a. sont ind\'{e}pendantes 
\begin{eqnarray*}
\bbp \left(  Z=k \right) &=&\sum\limits_{i=1}^{k}\bbp \left( %
 X=i \right) \cdot \bbp \left(  Y=k-i \right) \\
\bbp \left(  Z=k \right) &=&\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda
^{i}e^{-\lambda }}{i!}.\dfrac{\mu ^{k-i}e^{-\mu }}{(k-i)!}=e^{-(\lambda +\mu
)}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{k!}\frac{k!}{i!(k-i)!}\lambda ^{i}\mu ^{k-i}
\\
\bbp \left(  Z=k \right) &=&\frac{e^{-(\lambda +\mu )}}{k!}%
\sum\limits_{i=1}^{k}\CR_{k}^{i}\lambda ^{i}\mu ^{k-i}=\frac{%
(\lambda +\mu )^{k}}{k!}.e^{-(\lambda +\mu )}
\end{eqnarray*}

\begin{idee}[ Preuve de 
$\bm{\ds\lim_{n\to+\infty}\pa{1+\fr{x}{n}}^n=e^{x}}$ ] 
\bigskip

 Montrez
que $\ds\lim_{u\to0}\fr{\ln(1+u)}{u}=1$ en reconnaissant un taux
de variation. Alors
\begin{eqnarray*}
(1+x/n)^n&=& \mathrm{e}^{n\ln(1+x/n)}\\
&=& \mathrm{e}^{n\frac{\ln(1+x/n)}{x/n}\cdot x/n}\\
&=&\mathrm{e}^{x\cdot\frac{\ln(1+x/n)}{x/n}}
\end{eqnarray*}


Conclusion?  \end{idee} 


\section{Chameau aléatoire}


Les fonctions suivantes pourront vous être utiles: que font-elles?...


\begin{lstlisting}
let count = fun liste ->
  let rec compte = fun l accu ->
    match l with
    |[]   -> accu
    |t::q ->
      let c = List.partition (fun x -> x = t) l in
      compte (snd c) ((t,List.length (fst c))::accu)
  in compte liste [];;


let tirage_1 = fun (couple : int * int) ->
  (fst couple)  + Random.int (snd couple - fst couple + 1);;

let som = fun liste -> List.fold_left (+) 0 liste;;

let range = fun n ->
  let rec gen = fun k acc ->
    if k < 0 then acc
    else gen (k-1) (k::acc)
in gen (n-1) [];;

let vec_alea = fun (tirage : 'a -> 'b) (args : int * 'a ) ->
  List.fold_left (fun acc x -> (tirage (snd args))::acc) [] (range (fst args));;

let tirage_n = fun (args : int * ( int * int) ) ->
  som (vec_alea tirage_1 args);;
\end{lstlisting}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
% E X E R C I C E S
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vfill

\eject

\section{EXERCICES}
{

\begin{exercice}[Formule du crible de Poincaré: cas de trois évènements]

Déterminez $\bbp(A\cup B\cup C)$ en fonction des probabilités de A, B, C,
$A\cap B$, $A\cap C$, $B\cap C$ et $A\cap B\cap C$.
  
\end{exercice}


\begin{exercice}[Un peu de technique]
  Soit $(\Omega,\TR,\bbp)$ un espace probabilisé. Déterminez $n$ tel que,
  pour tous évènements A et B de $\TR$, $\bbp(A\cup B)+\bbp(A\cup \overline{B})+\bbp(\overline{A}\cup
B)+\bbp(\overline{A}\cup \overline{B})=n$

\medskip

Déterminez également les signes de $\bbp(A\cap B)-\bbp(A)+\bbp(\overline{B})$
et                  de                  $\bbp(A\cap                 B\cap
C)-1+\bbp(\overline{A})+\bbp(\overline{B})+\bbp(\overline{C})$.

\end{exercice}



\begin{exercice}[Définition d'une probabilité]
Soit  $\Omega=\bigl\{\omega_1,\omega_2,...\bigr\}$  un  ensemble  infini
dénombrable. On suppose que, pour  tout entier naturel non nul $k$, $\bbp
\left(\bigl\{\omega_k\bigr\}\right)=\frac{\lambda}{37^k}$ avec $\lambda$
un réel.

Existe-il   une   valeur   de   $\lambda$   telle   que   $\left(\Omega,
  \PR(\Omega),\bbp\right)$ soit un espace probabilisé?
\end{exercice}

\begin{exercice}[Paradoxe des anniversaires]
Quelle est  la probabilité qu'au  moins deux personnes dans  cette salle
aient leur anniversaire le même jour (on négligera les années bissextiles...)?
\end{exercice}


\begin{exercice}[Problèmes historiques]
  Tout a  commencé au XVII\eme  siècle, lorsque les  Princes demandèrent
  aux mathématiciens de les aider à gagner au jeu...
\begin{enumerate}
\item Le Prince de Toscane demande à Galilée pourquoi, en lançant
trois dés,  on obtient  plus souvent un  total de  10 qu'un total  de 9,
alors qu'il  y a  dans les  deux cas exactement  6 façons  d'obtenir ces
résultats.
\item Le Chevalier de Méré soutient à Pascal que les deux jeux
suivants sont favorables  au joueur: obtenir au moins un  6 en lançant 4
fois de suite un dé, et obtenir  au moins un double 6 en lançant 24 fois
de suite 2 dés.
\end{enumerate}

Vous simulerez ces expériences à l'aide de votre logiciel préféré et vous démontrerez
les résultats observés.
\end{exercice} 



\begin{exercice}[Simulations]
\begin{enumerate}
\item On lance trois fois de suite une pièce de monnaie.  On compte
combien de fois on obtient pile: simuler informatiquement et démontrez
dans le cas général.
\item Faites de même avec l'expérience aléatoire suivante: on dispose de
trois urnes,  la première  contenant 7 boules  blanches et 4  noires, la
seconde 5 blanches  et 2 noires et la troisième 6  blanches et 3 noires.
On  tire une  boule dans  chaque urne  et on  note le  nombre  de boules
blanches obtenues.
\item On tire successivement et avec remise quatre boules dans une urne
qui  contient 7  boules blanches  et 3  roses.  On  compte le  nombre de
tirages contenant exactement  deux boules blanches - au  moins une boule
blanche.
\item On lance dix fois une pièce de monnaie et on s'intéresse au nombre
maximal de résultats consécutifs égaux.

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[Indépendance mutuelle]
On lance un dé deux fois. On considère les évènements:
\begin{itemize}
 \item A: \og Le premier lancer a donné un numéro pair\fg{};
 \item B: \og Le second lancer a donné un numéro impair\fg{};
 \item C: \og La somme des deux numéros est un chiffre pair\fg{}.
\end{itemize}

Les évènements sont-ils deux à deux indépendants? Mutuellement indépendants?
  
\end{exercice}


\begin{exercice}[Roulette]
  Le rouge  est sorti  dix fois de  suite à  la roulette: quelle  est la
probabilité qu'il sorte une onzième fois?

On se  placera dans  le cas  très improbable que  la roulette  n'est pas
truquée  et  que  le casino  n'est  pas  dirigé  par  un mafieux  ou  un
ex-entraîneur d'une équipe de France et ex-ministre.
\end{exercice}



\begin{exercice}[Formule de B. et Monica B.]
   En Syldavie, $70\%$ des  habitants sont de sexe masculin et $60\%$
  des hommes et $25\%$ des femmes ont une photo de Monica B. dans
  leur portefeuille.  Un extra-terrestre  enlève au hasard  une personne
  syldave   et   découvre   une    photo   de   Monica   B.   dans   son
  portefeuille~:~quelle est la probabilité  que la personne enlevée soit
  une femme?
\end{exercice}

\begin{exercice}[Marylin et les chèvres]



%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{monty}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3.6cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}


Dans le numéro du 9  septembre 1990 de \textit{Parade}, Marilyn
\textsc{Vos Savant} connue  pour avoir un QI de 186,  soit l'un des plus
élevés au monde, répondit au courrier suivant:
\textit{Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three
doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a
door, say number 1, and the host, who knows what’s behind the doors,
opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, “Do
you want to pick door number 2?” Is it to your advantage to switch your
choice of doors?}
\begin{flushright}
Craig. F. Whitaker
Columbia, MD
\end{flushright}

%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=2.8cm]{hall}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}
Cette lettre décrit en fait  le déroulement d'un jeu télévisé des années
1970,  \textit{Let's  make  a  deal}, animé  par  Carol  \textsc{Merril}
 et\textbf{ Monty \textsc{Hall}}: c'est en référence à ce dernier qu'on donna son nom à ce
 problème  célèbre  (plus  tard,  un  haut représentant  de  la  culture
 française reprit ce jeu: ce fut Lagaf et son \textit{Bigdil}...).

Marilyn répondit qu'il valait mieux pour le candidat changer de porte quand le
 présentateur l'y invitait. Qu'en pensez-vous?
 

Vous pourrez  également proposer une simulation informatique. 
\end{exercice}



\begin{exercice}[Duel]
  Alexandre  et Évariste s'affrontent  en duel  au pistolet  suivant les
 règles suivantes:

\begin{itemize}
\item  Ils  tirent chacun leur
tour. Le premier qui atteint la cible a gagné...
\item  Lorsqu'il
tire, Alexandre atteint la cible  avec la probabilité $a$ ($0<a<1$) et il
la rate avec la probabilité $\overline{a}=1-a$.
\item  Lorsqu'il
tire, Évariste atteint  la cible avec la probabilité  $b$ ($0<b<1$) et il
la rate avec la probabilité $\overline{b}=1-b$.
\item  Alexandre
tire  le premier.\textit{Ainsi,  Alexandre (resp.  Évariste) n'effectue
que des tirs de rang impair (resp.  pair).}
\end{itemize}

 On considère,  pour tout
entier $n\geq1$, les évènements $A_{2n-1}$ : \og Alexandre gagne à l'issue
du tir numéro $2n-1$\fg{}, $B_{2n}$ : \og Évariste gagne à l'issue du tir numéro
$2n$\fg{}.


%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{duel}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3.2cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item  Calculez, en  fonction de  $a$ et  $b$, les  probabilités des
évènements   $A_1$,  $B_2$   et  $A_3$.   Plus   généralement,  calculez
$\mathbb{P}(A_{2n-1})$ et $\mathbb{P}(B_{2n})$.
\item  Pour $n\geq1$,  on  note $\CR_n$  (resp.  $D_n$) l'évènement:
\og Alexandre (resp.  Évariste) gagne à un tir dont le numéro est entre $1$
et $2n-1$  (resp. entre $2$  et $2n$)\fg{}. Calculer  $\mathbb{P}(C_{n})$ et
$\mathbb{P}(D_{n})$.
\item  Calculer $\alpha=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(C_{n})$
et   $\beta=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(D_{n})$.  Vérifier  que
$\alpha+\beta=1$. Comment interpréter ce résultat?
\end{enumerate}



\end{exercice}








\begin{exercice}[QCM]
  
Dites si les variables aléatoires  $X$ définies ci-dessous  suivent une loi  binomiale~? Donnez quand c'est possible $X(\Omega)$, les paramètres de la loi
ainsi que l'espérance.

\begin{enumerate}

\item Dans une classe on tire au sort et sans remise 5 élèves. $X$ est le nombre d'élèves travaillant pour les services secrets bordures dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes noires obtenues.
\item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de <<~5~>> obtenus.
\item Un circuit comprend 32 lampes en série.  Pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de 3/100. $X$ est le nombre de
lampes qui s'allument lorsqu'on appuie sur l'interrupteur. 

\item Même question avec cette fois des lampes en parallèle. 

\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[Lois usuelles]
  Dans chacune des expériences aléatoires ci-dessous, reconnaître une loi usuelle pour la variable aléatoire $X$. Donner alors son espérance.
\begin{enumerate}
\item  On  choisit une  carte  au  hasard dans  un  jeu  de $32$  cartes
numérotées. X = \og hauteur de la carte choisie\fg{}
\item Un lion mange à chaque repas une gazelle (avec probabilité 2/3) ou
 un zèbre (avec probabilité 1/3).  On suppose que la composition d'un
 repas est indépendante de celle des autres. X = \og nombre de zèbres mangés sur $10$ repas consécutifs\fg{}.
\item Dans un enclos se trouvent 
$15$ gazelles et  $30$ zèbres. Un lion mange à  chaque repas une gazelle
ou un zèbre, pris parmi les animaux de l'enclos. X = \og nombre de zèbres mangés sur $10$ repas consécutifs\fg{}.
\item On  tire une  à une les  cartes d'un  jeu de $32$  cartes, jusqu'à
 obtenir le valet de pique. X = \og nombre de tirage effectuées\fg{}.
\item On lance un dé à $6$ faces. X = \og chiffre obtenu\fg{}.
\item  Monica  a  dans  sa  poche  $7$  allumettes  et  $12$  pièces  de
monnaie. Il met sa main dans se poche et en sort $5$ objets. X = \og
nombre de pièces obtenues\fg{}.
\item Monica fait passer une audition pour trouver des partenanires pour
 son  prochain  film.  $3000$  candidats passent  l'audition.  Chaque
 candidat  réussit son  entretien  avec probabilité  $2/3$.  X =  \og
 nombre de candidats sélectionnés par Monica\fg{}.
\item  James   dort  chez   son  amie  Monica   qui  lui  a   prêté  son
 appartement. Il dispose  d'un trousseau de $7$ clés,  et ne sait pas
 laquelle ouvre la porte de l'appartement. Il les essaye une par une,
 en mettant de côté chaque clé essayée.  X = \og nombre d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé\fg{}.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Loi hypergéométrique]
  Justifiez la  valeur donnée dans  le cours de  $\bbp(\{X=k\})$ lorsque
  $X\leadsto \HR(N,n,p)$.
\end{exercice}









\begin{exercice}[Espérance géométrique]
   Nous avons prouvé au module précédent que:

$$\forall   q\in\bbr,\   |q|<1  \limp   S=\displaystyle\sum_{n
\geqslant 0}^{}q^n=\frac{1}{1-q}$$

Pour $|q|<1$, notons $T=\displaystyle\sum_{n \geqslant 1}^{}nq^{n-1}$ en
supposant que cette écriture a un sens. 

Calculer $(1-q)T$  en fonction  de S et  déduisez-en T  puis l'espérance
d'une loi géométrique.
\end{exercice}





\begin{exercice}[Attentes]
Combien faut-il en moyenne de lancers de dés pour obtenir les six faces?

Combien faut-il en moyenne de tirages d'un entier choisi au hasard entre 0 et
9 pour les obtenir tous ?
\end{exercice}






\begin{exercice}[Roulette]

 \setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3.2cm]{roulette}
%\caption{Siméon-Denis  \textsc{Poisson} \\(1781 - 1840)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-2.8cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage} 
  
Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36 dont 18 sont rouges et 18 sont noires, plus une case numérotée 0 de couleur verte.

Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois sa mise si la couleur choisie sort.

Un joueur qui mise sur un numéro de 1 à 36 gagne 36 fois sa mise si le numéro sort.

Il est interdit de miser sur le zéro.

\begin{enumerate}

\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur une couleur. Soit $C$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $C$ puis calculez $\bbe(C)$ et $\sigma(C)$.


\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur un numéro. Soit $N$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $N$ puis calculez $\bbe(N)$ et $\sigma(N)$.


\item Vaut-il mieux miser sur une couleur ou un numéro ?

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[Dé truqué]
  On considère 6 dés, cinq étant équilibrés. Le dernier est pipé de manière à ce que lorsque l'on lance ce dé, chacun des chiffres apparaît avec une probabilité proportionnelle à ce chiffre.
\begin{itemize}
\item[a)] Donner la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire égale au chiffre donné par le dé truqué lorsqu'on le lance.\end{itemize}
On effectue $n$ tirages successifs et indépendants d'un dé parmi les six.
\begin{itemize}\item[b)] Quelle est la loi suivie par la variable aléaoire égale au nombre de fois où on a tiré le dé truqué? Combien de tirages doit-on effectuer pour que la probabilité d'avoir obtenu le dé truqué parmi ceux tirés soit supérieure ou égale à $1/2$?\end{itemize}
On effectue $n$ tirages ($n\leq6$) successifs sans remise d'un dé parmi les six.
\begin{itemize}
\item[c)] Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire égale au nombre de fois où est tiré le dé truqué? Combien de tirages doit-on effectuer pour que la probabilité  d'avoir obtenu le dé truqué parmi ceux tirés soit supérieure ou égale à $1/2$?
\end{itemize}
\end{exercice}



\begin{exercice}[\og C'est sans danger...\fg{}]
  

 \setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3.2cm]{sansdanger}
%\caption{Siméon-Denis  \textsc{Poisson} \\(1781 - 1840)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-2.8cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage} 
Afin d'effectuer des économies dans le budget de l'État, le premier ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. Dans le but de promouvoir les liens sociaux, les dentistes sont maintenant choisis parmi les anciens
boxeurs aveugles et  parkinsoniens. Ils arrachent les dents de leurs
patients au hasard. 


Suite à  quelques plaintes,  une étude statistique  a été menée  dans le
cabinet d'un de ces nouveaux dentistes. Les syldaves venant le consulter ont toujours
une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent
encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est
selon  (une étude  précédente  a en  effet  montré que  les syldaves  ne
retournent jamais chez leur dentiste après une première consultation). 

L'étude  a été  effectuée sur  $n$ patients.   On note  $X$  la variable
aléatoire égale au
nombre de dents malades extraites à bon escient.

\begin{enumerate}

\item Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire
$X$. Calculez la probabilité pour qu'aucune dent malade n'ait été extraite.

\item Combien de patients doit-il traiter pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,9~?

\item Le  dernier patient  est prêt  à se sacrifier  pour la  gloire des
  statistiques syldaves et se laisse arracher
les dents une à une tant que la dent malade n'a pas été extraite.
On note $Y$ le nombre de dents saines que ce vaillant patriote
voit tomber de ses mâchoires endolories.


Calculez la probabilité pour qu'il reparte complètement édenté,
puis $\bbe(Y)$ et $\sigma(Y)$.

\end{enumerate}


\end{exercice}








\begin{exercice}[Indépendance de v.a.]
  L'exp\'{e}rience al\'{e}atoire est le lancer de deux d\'{e}s parfaits. $%
X_{1}$ est la variable de (Bernoulli) qui prend la valeur 1 si le premier d%
\'{e} donne un r\'{e}sultat pair 0 sinon, $X_{2}$ est la variable (de
Bernoulli) qui prend la valeur 1 si le deuxi\`{e}me d\'{e} donne un r\'{e}%
sultat pair et 0 sinon et $X_{3}$ est la variable (de Bernoulli) qui prend
la valeur 1 si la somme des num\'{e}ros tir\'{e}s est paire et 0 sinon. 

Les variables  aléatoires sont-elles mutuellement  indépendantes? Deux à
deux indépendantes?
\end{exercice}











\begin{exercice}[Théorème de König-Huygens]
  Démontrez ce théorème...
\end{exercice}



\begin{exercice}[Tirages sans remise avec condition d'arrêt]
  Une urne contient $n$ boules. On y effectue des tirages sans remise.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir $p$ boules données en $k$ tirages sans remise?
\item L'urne contient $p$ boules rouges et $n-p$ boules blanches. On note $T$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention des $p$ boules rouges.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $T(\Omega)$ puis $\bbp(T\leq k)$ pour $k\in T(\Omega)$. Vérifier que cette probabilité s'exprime en fonction de $\frac{\CR_{k}^{p}}{\CR_{n}^{p}}$.
\item Déterminer la loi de $T$.
\item On rappelle que, pour tout $r\in\N$, pour tout $q\in\{0,..,r\}$: $\underset{k=q}{\overset{r}{\sum}} \CR_{k}^{q}=\CR_{r+1}^{q+1}$. Calculer $\bbe(T)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}










%%


\begin{exercice}[Ordinateur syldave]
  Piotr a  récupéré un vieil ordinateur  de bord muni  d'un processeur 4
  bits sur un avion bordure
  abattu par  les forces du peuple  syldave. Il crée  un compilateur qui
  pour l'instant ne renvoie qu'un quartet (une chaîne de 4 bits)
  au hasard,  chaque bit valant  0 avec une  probabilité $p$. Soit  X la
  variable aléatoire égale au quartet renvoyé exprimé en base 10.
  \begin{enumerate}
  \item Établissez la loi de probabilité de X.
  \item Calculez son espérance et sa variance.
  \item Calculez la probabilité d'obtenir un nombre pair.
  \item Calculez la probabilité que le quartet soit un palindrome.
  \end{enumerate}
\end{exercice}





\begin{exercice}[Produit de variables aléatoires indépendantes]
Soit  $X_1$ et  $X_2$ deux  v.a.r.  discrètes finies  prenant leurs  valeurs
respectives dans  $I_1$ et  $I_2$. On rappelle  que $X_1$ et  $X_2$ sont
indépendantes  si, et  seulement  si, pour  tout  couple $(x_1,x_2)$  de
$I_1\times I_2$:
$$\bbp                                    \left(\bigl\{X_1=x_1\bigr\}\cap
\bigl\{X_2=x_2\bigr\}\right)=\bbp
\left(X_1=x_1\right)\times \bbp \left(X_2=x_2\right)$$
  

Montrez alors le théorème suivant:

\begin{theoreme}[Espérance d'un couple de v.a.r. indépendantes]
Si X et Y sont indépendantes alors $\bbe(XY)=\bbe(X)\times \bbe(Y)$
  
\end{theoreme}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Opérations sur la variance]

Comment  écrire $\bbv(aX)$,  $\bbv(X+b)$ et  $\bbv(X+Y)$ en  fonction de
$\bbv(X)$ et $\bbv(Y)$?
  
\end{exercice}



\begin{exercice}[Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson]

On  considère une suite  de v.a.r.  $X_n$ ayant  une loi  de probabilité
binomiale de paramètres $n$ et $\lambda/n$. Montrez que:
$$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bbp_{X_n}(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}
$$

On dit alors que la suite  de variables aléatoires $X_n$ converge en loi
(c.a.d.  $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bbp_{X_n}=\bbp_X$: la  loi de
$X_n$ converge vers  la loi de $X$. On étudie en  fait un cas particulier
de convergence de \textit{suite de fonctions}...)
vers une v.a.r. X de loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Déduisez-en une approximation de $\complement_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ lorsque
$n>>1$.


\subsubsection*{Application: la fusion amoindrit les risques}



 \setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3.2cm]{costa}
%\caption{Siméon-Denis  \textsc{Poisson} \\(1781 - 1840)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage} 

Deux  sociétés assurent  des  biens  très chers  mais  dont le  risque
d'accident est très faible: vaut-il  mieux fusionner ou bien les risques
s'additionnent-ils?

Prenons le cas d'une société d'assurance sicilienne ayant pour client la société
des croisières Costa.

\begin{enumerate}
\item Supposons que la société  Costa possède 500 navires dont la valeur
      est             de            5             millions            de
      $\mathrm{Schpz\check{r}s\mathring{w}}$.  L'assureur  rembourse  la
      perte  totale  d'un  navire,  évènement dont  la  probabilité  est
      estimée  à 0,001 pour  une année.  On suppose  que les  risques de
      pertes des navires sont indépendants.  Donner la loi de X égale au
      nombre de navires perdus au cours de l'année.
\item L'assureur rembourse  son client une fois par  an. Combien doit-il
      avoir dans son coffre pour qu'il puisse rembourser son client avec
      une  probabilité   de  0,999.  On   utilisera  l'approximation  du
      préambule et on utilisera une table de la loi de Poisson.
\item Une autre  compagnie assure les 500 navires de  la White Star dans
      les  mêmes conditions.  Les deux  compagnies décident  de fusionner
      suite au suicide  du président de la première  compagnie dont on a
      retrouvé  le corps  percé de  52 coups  de couteaux.  La compagnie
      d'assurance prend  donc en charge à présent  1000 navires. Refaire
      les    calculs    de    la    question   précédente    dans    ces
      conditions. Commentaires?
\end{enumerate}



\end{exercice}










\begin{exercice}[Opération sur une v.a.r.]
  Soit    X   une   v.a.r.    telle   que    $X(\Omega)=\bbn^\star$   et
 $\bbp(\{X=n\})=\frac{\lambda}{n!}$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminez $\lambda$.
   \item Calculer $\bbe(X)$.
   \item Calculer $\bbe \left(\frac{1}{1+X}\right)$
 \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Espérance et variance de la loi de Poisson]
  Démontrer les formules donnant l'espérance et la variance de la loi de
  Poisson.

On se souviendra de la série exponentielle évoquée au module précédent:

$$\forall x \in \bbr, \quad \displaystyle\sum_{k \geqslant 0}^{}\frac{x^k}{k!}=\mathrm{e}^{x}$$
\end{exercice}





%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{dory}
%\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-4.8cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}


\begin{exercice}[Les étudiants et le poisson]
Une \'{e}tude s\'{e}rieuse vient de prouver que le nombre d'\'{e}tudiants
arrivant en salle F22 entre 12h30 et 12h35 les jeudis suit une loi de
Poisson de param\`{e}tre $\lambda =3.$


\begin{enumerate}
\item Quel est, en moyenne, le nombre d'\'{e}tudiants qui arrivent entre
12h30 et 12h35 ?

\item Calculer la probabilit\'{e}, qu'entre 12h30 et 12h35 aucun \'{e}%
tudiant ne se pr\'{e}sente en F22.

\item Calculer la probabilit\'{e}, qu'entre 12h30 et 12h35 trois \'{e}%
tudiants se pr\'{e}sentent en  F22.

\item Calculer la probabilit\'{e}, qu'entre 12h30 et 12h35 plus de 4 \'{e}%
tudiants se pr\'{e}sentent en  F22.

\item Calculer la probabilit\'{e}, qu'entre 12h30 et 12h35 au moins un \'{e}%
tudiant se pr\'{e}sente en  F22.
\end{enumerate}
\end{exercice}




















\begin{exercice}[Détection d'erreur par répétition]
On considère une source  binaire d'information constituée d'une suite de
1 et  de 0 indépendants et  équiprobables. La source  émet à destination
d'un récepteur à travers un canal de transmission bruyant entraînant des
erreurs éventuelles en réception. 

Soit $p$ la probabilité, commune,  qu'un bit émis soit détecté comme son
complémentaire. On suppose que les  erreurs commises sur chaque bit sont
indépendantes mutuellement.

Pour tenter  de lutter contre ce  bruit, on utilise  le protocole simple
suivant:

\begin{itemize}
\item à l'émission, on répète une fois chaque bit;
\item à la  réception, la réception de $(b,b)$  entraîne la détection du
      symbole $b$;  la réception de $(b,\overline{b})$ donne  lieu à une
      demande   de   retransmission   d'un   nouveau  couple   de   bits
      identiques. On continue tant qu'un couple $(b,\overline{b})$ est reçu.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item En quoi consiste l'erreur résiduelle d'une telle stratégie? Donnez
      des exemples de chaînes transmises aboutissant à une erreur sur le
      bit détecté.
\item   Montrez  que  $\bbp(\text{erreur})=\bbp(\text{erreur}\mid\text{0
      émis})=\frac{p^2}{1-2p+2p^2}$.
\item Soit N la v.a.r. donnant le nombre de symboles émis par l'émetteur
      pour un  symbole utile  émis. Étudiez  la loi de  N et  donnez son
      espérance et sa variance.  Vous pourrez montrer que la loi de $N/2$ est
      géométrique.  Vous tracerez  l'allure des  courbes de  la  loi, de
      l'espérance et de la variance en fonction de $p$. Commentez.
      Étudiez le cas particulier où $p<<1$.
\end{enumerate}
\end{exercice}





%%






\begin{exercice}[Loi faible des grands nombres]
\textbf{Cet  exercice  est  en  fait  du cours  et  représente  même  un
résultat plus que primordial...}

  
Souvenez-vous : il y a bien longtemps, vous étiez en classe de
seconde et vous découvriez les probabilités. Vous lanciez un dé et
notiez la  fréquence d'obtention de tel ou tel résultat. Déjà fort
perspicace, vous aviez remarqué que plus vous lanciez le dé, plus
la fréquence d'obtention de 4, par exemple, tendait vers 1/6 qui,
vous l'avez appris depuis, est la probabilité d'obtenir 4 en
lançant un dé équilibré.

Pour résumer, plus vous répétez une expérience aléatoires dans des
conditions identiques et avec indépendance des résultats, plus la
\textsl{fréquence observée} de succès tend vers la probabilité de
succès : c'est ce qu'on appelle la loi faible des grands nombres
et nous allons essayer de prouver ce résultat dans le cas particulier de la loi binomiale.


 \subsection*{Inégalité de Markov}

 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité $\bbp_X$ et  ne prenant que des valeurs
 positives (rangées comme d'habitude dans l'ordre croissant) $x_1,
 x_2,\cdots, x_n$.

 Soit $a$ un nombre (qui sera notre seuil d'erreur
 fréquence/probabilité) strictement positif fixé.

 Le monde se sépare en deux catégories : les $x_i$ strictement inférieurs à
 $a$ et ceux qui lui sont supérieurs.

 Supposons par exemple que $x_1\ie x_2\ie \cdots x_{k-1}< a\ie
 x_{k}\ie\cdots\ie x_n$

 \begin{enumerate}
 \item Rappelez la définition de l'espérance $\bbe(X)$.

 \item Montrez que $\bbe(X)\se a \ds\sum_{i=k}^n \bbp_X(x_i)$.

 \item Déduisez-en l'inégalité suivante $\quad\ds
 \bbp_X([a,+\infty[)\ie\fr{\bbe(X)}{a}$.

\item Généralisez afin d'obtenir l'inégalité de\textsc{ Markov}: $\quad\ds
 \bbp_X([a,+\infty[])\ie\fr{\bbe(X^p)}{a^p}$ pour tout entier naturel non nul $p$.

 \item Déduisez-en cette autre formulation : $\bbp_X([0,a[)\se
 1-\fr{\bbe(X^p)}{a^p}$



 \item \textbf{Cas particulier de la loi binomiale}

 On suppose que $X$ suit la loi binomiale $\BR(n,p)$.
Donnez une majoration de $\bbp\pa{\fr{X}{n}\se a}$ et une minoration
de $\bbp\pa{\fr{X}{n}<a}$ à l'aide de l'inégalité de \textsc{Markov}.




\end{enumerate}



\subsection*{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}


\begin{enumerate}

\item \textbf{Variance}

La variance d'une variable aléatoire est la quantité qui mesure la
\textsl{dispersion} de $X$ autour de sa moyenne, c'est à dire son
espérance. Plus les valeurs sont dispersées, plus sa variance
augmente. On attend donc que si $X$ est une variable aléatoire
constante, sa variance sera nulle.


On aura remarqué que la variance est <<~homogène~>> à $X^2$.

\end{enumerate}

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
%\begin{figure}
  \includegraphics[width=3.5cm]{chebychev}
%\caption{Siméon-Denis  \textsc{Poisson} \\(1781 - 1840)}
%\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-6.3cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage} 
  
\begin{enumerate}

\item[2.] Appliquez l'inégalité de Markov astucieusement pour obtenir
l'\textbf{inégalité de \textsc{Bienaymé-Tchebychev}}
$$\bbp\big(|X-\bbe(X)|\se a\big)\ie\fr{\bbv(X)}{a^2}$$

Majorez alors la probabilité qu'une v.a.r. s'éloigne de $10\sigma(X)
$ de son espérance.


\item[3.]\textbf{Une application de ces inégalités}

Les inégalités de nos amis franco-russes permettent d'avoir une
estimation de certaines probabilités sans qu'on connaisse la loi
de probabilité. il faut toutefois être conscient que la
probabilité exacte peut être assez éloignée de la borne proposée.

Par exemple, le nombre de caleçons molletonnés fabriqués dans une
usine syldave en une semaine est une variable aléatoire
d'espérance 50 et de variance 25.

Estimez, grâce à l'inégalité de Markov, la probabilité que la
production de la semaine à venir dépasse 75 caleçons molletonnés.

Estimez, grâce à l'inégalité de Bianaymé-Tchebychev, la
probabilité que la production de la semaine à venir soit
strictement comprise entre 40 et 60 caleçons molletonnés. \een


\subsection*{Loi faible des grands nombres dans le cas  de la loi
binomiale}

 \begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif et $X$ une variable aléatoire quelconque.
 Montrez que
$\bbe(\lambda X)=\lambda \bbe(X)$ puis que $\bbv(\lambda
X)=\lambda^2\bbv(X)$.



\item Considérons maintenant le cas où $X$  obéit à la loi binomiale
$\BR(n,p)$.

Intéressons-nous à la probabilité d'obtenir $k$ succès au cours
des $n$ répétitions de l'épreuve.

Le rapport $k/n$ est alors le nombre relatif (la fréquence) de
succès.

Nous allons essayer de confirmer notre étude expérimentale, à
savoir que, plus $n$ est grand, plus le rapport $k/n$ est proche
de la probabilité $p$ de succès à chacune des épreuves.



On a démontré que la variance de $X$ vérifie $\bbv(X)=np(1-p)$

Montrez que $$\bbp\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}>a}\ie\fr{p(1-p)}{n a^2}
\qquad \text{ puis que }\qquad \lin \bbp\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}\ie a}=1$$

Qu'en déduisez-vous~?

\end{enumerate}

\end{exercice}


% \begin{exercice}[La nature est probabiliste!]
  





% Vous avez peut-être vu en cours de physique la loi de décroissance radioactive qui décrit l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs de
% l'échantillon $$N(t)=N_0e^{-\lambda t}$$ dans laquelle $N_0$ représente  le nombre de noyaux radioactifs de l'échantillon à l'instant
% $t=0$. J'imagine pourtant qu'en mathématiciens avertis cette loi a dû vous laisser perplexe : comment une fonction censée prendre des
% valeurs entières peut-elle être solution d'une équation différentielle linéaire et donc s'exprimer à l'aide d'une exponentielle ?!?

% Ainsi $N(1/\lambda)=N_0/e\not\in\bbn$ !!! Pour vous rassurer, on vous a dit qu'il s'agissait d'un nombre <<~moyen~>> de noyaux non
% désintégrés à l'instant $t$, mais quel concept se cache derrière cette <<~moyenne~>> ? Que se cache-t-il derrière cet ambigu $N(t)$~? Le
% modèle différentiel manquant cruellement de rigueur, appelons \textbf{les probabilités à la rescousse~!}



% \subsection*{Hypothèse de travail} Soit une matière fissile contenant
% $N$ atomes radioactifs . Dans le cas de la radioactivité <<~naturelle~>>, on peut considérer que les désintégrations des atomes sont
% indépendantes et que pour un intervalle de temps donné, chaque atome a la même probabilité d'être désintégré. De plus, le phénomène est
% homogène~: il n'y a pas de moments privilégiés où les désintégrations auraient plus de <<~chances~>> de se produire. Enfin, la
% probabilité qu'un noyau se désintègre dans un intervalle de temps $]t,t+\Delta t[$ ne dépend pas de $t$. On parle alors de \textsl{ loi
% de durée de vie sans vieillissement}~: un atome ne connaît ni d'adolescence (ouf!) ni de troisième âge. Il est en perpétuel âge mûr puis
% meurt brusquement.

% \subsection*{Hypothèse de modèle} Soit $\Delta t$ un intervalle de
% temps <<~très petit~>> fixé. D'après ce qui précède, on peut MOD\'ELISER la désintégration radioactive en disant que la probabilité qu'un
% atome se désintègre dans l'intervalle de temps $\Delta t$ vaut
% $$ p(\Delta t)\simeq\lambda \Delta t$$ avec $\lambda$ une
% constante positive ne dépendant que de la nature du noyau. Ainsi, pour une matière donnée, la probabilité pour le noyau de se désintégrer
% durant un intervalle de temps $\Delta t$ ne dépend que de $\Delta t$ et pas du moment où a été fait la mesure. On suppose qu'un physicien
% effectue $n$ mesures à intervalle de temps régulier $\Delta t=t/n$, $t$ étant un temps de mesure arbitrairement choisi (la seconde, par
% exemple).

% \subsection*{Une modèlisation probabiliste}

%  On\footnote{Il est utile de rappeler que ON est un pronom \textit{indéfini}...} lance vers les cieux $N$ pièces truquées de façon que la
%  probabilité d'obtenir FACE en retombant sur le plancher des vaches vaut $p=1-\lambda t$ : on détruit toutes les pièces donnant PILE et
%  on recommence avec les restantes jusqu'à avoir effectué $n$ lancers ou éliminé toutes les pièces. Comme vous l'avez deviné, $N$
%  représente le nombre de noyaux non encore désintégrés et $n$  le nombre d'intervalles de temps (de milliardièmes de secondes
%  ou ce que vous voulez) que dure  l'observation.

%  \been
%  \item Lorsque $n=1$, tout va bien : montrez que la probabilité pour qu'il reste $k$ pièces ( ou noyaux ) après 1 intervalle de temps
%  vaut $${\CR_N^k} p^k(1-p)^{N-k}$$
%  \item Pour les observations suivantes, les choses se compliquent car on ne connaît plus le nombre de pièces (noyaux) survivantes : le
%  nombre $N(\Delta t)$ de pièces restantes après $n$ lancers varie avec chaque expérience. On pense naturellement (!) à introduire une
%  \textit{variable aléatoire} qu'on notera $X_n$ et qui prend pour valeurs les différents $N(t)$ déterminés par chacune des expériences
%  possibles.
% \een
%  \sm

%  \subsection*{Une pause s'impose !}

%  $X_n$ est une fonction et s'appelle variable aléatoire. La notation $N(t)$ laisse penser que $N$ est une fonction (au sens mathématique
%  du terme) et pourtant c'est une valeur prise par la fonction $X_n$.

%  À part ça, d'un point de vue physique, il faut comprendre que le phénomène de désintégration est \textit{aléatoire} : on ne peut pas
%  savoir a priori combien exactement de noyaux seront désintégrés entre deux observations, mais on va va tenter de déterminer le nombre $moyen(?)$ de
%  désintégrations.

% \subsection*{Une désintégration binomiale}

% Intéressons-nous à une pièce (un noyau) : quelle est la probabilité pour qu'elle soit encore présente au $n$-ième lancer~? Compte tenu de
% l'indépendance des lancers (désintégrations), que pouvez-vous en déduire pour la variable aléatoire $X_n$~?

% Montrez que l'espérance mathématique $E(X_n)$ vaut $N(1-\la t/n)^n$.

% Maintenant, vous vous souvenez du résultat classique $\mathrm{e}^{x}=\lin\pa{1+\fr{x}{n}}^n$ et donc ici $$\lin N(1-\la t/n)^n=Ne^{-\la t}$$

% Miracle ! Le lien est fait. Nous savons maintenant \textit{en toute rigueur} ce que représente $N(1-\la t/n)^n$ (et par suite sa limite
% quand $n$ tend vers l'infini en extrapolant un peu) : c'est l'espérance de la variable aléatoire $X_n$ définie comme prenant pour valeurs
% les nombres $N(t)=N(n\Delta t)$ issus des diverses expériences possibles.


% \subsection*{Les maths au secours du sens physique}

% Une fois n'est pas coutume, les mathématiques enrichissent notre sens physique. Nous allons un peu déborder des programmes de
% mathématiques et de physique pour exploiter au maximum le résultat que nous venons d'obtenir.

% \sm

% Tout d'abord, nous pouvons calculer la valeur moyenne de $X_n$ mais nous sommes maintenant capables de calculer la probabilité de
% l'événement $X_n=k$ $$\bbp(X_n=k)= {\CR_N^k} p^{nk}(1-p)^{N-k}$$ On pourra même répondre à des questions du genre : quelle est la
% probabilité qu'une expérience donne un $N(t)$ supérieur à sa moyenne théorique $Ne^{-\la t}$ (dont $N(1-\la t/n)^n$ est une bonne
% approximation).

% \sm

% Le petit dessin suivant nous permet même de comprendre une propriété très importante :

% %\begin{maplegroup}
% %
% %\mapleresult
% %\begin{center}
% %\mapleplot{bibin201.eps}
% %\end{center}
% %
% %\end{maplegroup}
% %\begin{maplegroup}
% %\begin{mapleinput}
% %\end{mapleinput}
% %
% %\end{maplegroup}



% %\begin{maplegroup}
% %\begin{mapleinput}
% %\mapleinline{active}{1d}{with(plots): with(linalg): f:=(k,t)->stats[statevalf,pf,binomiald[30,evalf((1-t/180)^30)]](k-1):}
% %{%
% %}
% %\end{mapleinput}
% %
% %\begin{mapleinput}
% %\mapleinline{active}{1d}{A:=matrix(31,20,f):
% %\\plotsetup(plotoptions=`color,noborder`);
% %matrixplot(A,orientation=[-60,20],axes=frame,labels=[k,    t,
% %proba]);}{%
% %}
% %\end{mapleinput}

% %\mapleresult
% \begin{center}
% \includegraphics[height=5cm]{bibin301}
% \end{center}

% %\end{maplegroup}
% %\begin{maplegroup}
% %\begin{mapleinput}
% %\end{mapleinput}
% %
% %\end{maplegroup}









% Cette espèce de courbe en cloche tordue peut vous aider à visualiser que l'espérance correspond à peu de choses près aux valeurs suivant
% la ligne de crête et donc que la moyenne correspond à \textbf{la valeur la plus probable}, ce qui rassure d'autant plus le physicien.

% Ceci n'a rien d'évident a priori : il existe des lois de probabilités où la variable aléatoire n'a aucune chance de prendre pour valeur
% l'espérance mathématique\footnote{Donnez un exemple d'une telle loi...}. Pourtant, ça nous paraît normal car c'est le cas de figure des
% \textit{distributions normales} qu'on représente à l'aide de la fameuse <<~cloche~>> de Gauss


% % \begin{center}
% % \includegraphics{integ.4}
% % \end{center}

% que vous étudierez bientôt. Or, il se trouve que la Loi Binomiale tend vers la Loi Normale sous certaines conditions. La boucle
% est bouclée.

% \sm

% Toujours plus fort : on peut prouver que le pourcentage  de noyaux survivants $N(t)/N$ définit une variable aléatoire $X/N$ qui suit
% approximativement une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sqrt{\fr{m(1-m)}{N}}$ : ce dernier résultat indique que plus le
% nombre initial de noyaux est grand, plus les fluctuations relatives des désintégrations pourront être contrôlées.

% \sm

% Bref, vous découvrez une utilisation des probabilités sûrement insolite pour vous : loin d'être une discipline vaseuse pour turfiste,
% elles sont en fait un pilier de la science moderne.



% \end{exercice}








\begin{exercice}[Norme et Espace $\bm{\LR^1}$]
Nous    étudierons   l'an    prochain    la   notion    d'\textit{espace
vectoriel}. Disons pour  faire (très) court que c'est  un espace qui est
stable par  combinaisons linéaires: si j'additionne deux  vecteurs ou si
je multiplie  un vecteur par un  scalaire, je reste dans  l'espace et il
existe un vecteur nul.

Une \textit{norme}  est une application définie sur  un espace vectoriel
$\ER$, à
valeurs dans $\bbr_+$, notée le plus souvent $\|\cdot\|$ et vérifiant:


\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\ER,\ \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$;
\item  $\forall  x\in\ER,\   \forall  \lambda\in\bbr,\  \|\lambda  \cdot
      x\|=|\lambda|\times \|x\|$;
\item $\forall (x,y)\in\ER^2,\ \|x+y\| \leqslant \|x\|+\|y\|$.
\end{enumerate}

Vérifiez que  l'application définie sur l'ensemble  des v.a.r. possédant
une espérance  finie par  $\|X\|=\bbe(|X|)$ est une  norme. On  note cet
espace $\LR^1(\Omega,\TR_\Omega,\bbp)$ ou plus simplement $\LR^1$.

\end{exercice}




\begin{exercice}[Produit scalaire et espace $\bm{\LR^2}$]

Montrer  que l'espace  des v.a.r.  possédant une  variance finie  est un
espace    vectoriel   normé    si    on   le    muni    de   la    norme
$\|X\|_2=\sqrt{\bbe(X^2)}$.       Cet        espace       est       noté
$\LR^2(\Omega,\TR_\Omega,\bbp)$ ou plus simplement $\LR^2$. 
  

En fait, cette norme est déduite du \textit{produit scalaire} défini par
$\langle X,Y\rangle=\bbe(XY)$.

Un  produit  scalaire défini  sur  un  espace  vectoriel $\ER$  est  une
application à valeurs dans $\bbr$ vérifiant les propriétés suivantes:

\begin{enumerate}
\item $\forall (x,y)\in\ER^2,\ \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$;
\item   $\forall   (x,y,z)\in\ER^3,\   \langle   x+y,z\rangle   =\langle
      x,z\rangle+\langle y,z\rangle$;
\item $\forall (\lambda,(x,y))\in\bbr\times \ER^2,\ \langle \lambda\cdot
      x,y\rangle=\lambda\times\langle x,y\rangle$;
\item $\forall x\in\ER,\ \langle x,x\rangle \geqslant 0$;
\item $\forall x\in\ER,\ \langle x,x\rangle = 0 \Leftrightarrow x=0$.
\end{enumerate}

Vérifiez que  $\langle X,Y\rangle=\bbe(XY)$ définit  un produit scalaire
sur  l'espace  des v.a.r.  possédant une  variance finie.
\end{exercice}







\begin{exercice}[Covariance, corrélation et cosinus]
Toujours plus  fort dans  l'abstraction des notions  mathématiques: nous
allons  pouvoir parler d'angles  de v.a.r.,  de v.a.r.  orthogonales, de
cosinus...Tout est  géométrique et  algébrique en ce  bas monde?  Il est
amusant  de noter  que  si ces  propriétés  géométriques et  algébriques
semblent  se  retrouver  dans  de  très  nombreux  domaines,  elles  ont
également  tendance  à disparaître  de  l'enseignement secondaire,  mais
ceci est une autre histoire...

\begin{idee}[Les statistiques et moi...]
  J'ai  longtemps  été hermétique  à  toutes  ces  formules quand  elles
  m'avaient été présentées dans un  cadre purement statistique car je ne
  voyais pas la motivation de créer de telles fonctions.

Lorsque j'ai pu faire le lien avec l'intuition géométrique, tout s'est éclairé...
\end{idee}

\medskip

Souvenez-vous...En  géométrie,  vous  aviez  travaillé  sur  la  produit
scalaire,     avec     des     définitions     du     type:     $\langle
\ve{u},\ve{v}\rangle=\|\ve{u}\|\times \|\ve{v}\|\times \cos \left(\widehat{\ve{u},\ve{v}}\right)$.
  
On va retrouver ce genre de relation en probabilités.

\begin{definition}[Covariance]
Soit X et Y deux v.a.r.  $\LR^2$. On appelle \textit{covariance} de X et
Y et on note $\cov(X,Y)$ le réel:

$$\cov(X,Y)=\bbe \bigl((X-\bbe(X))(Y-\bbe(Y))\bigr)$$
  
\end{definition}


Vérifiez que:

\begin{theoreme}[Covariance et produit de v.a.r.]
  $$\cov(X,Y)=\bbe(XY)-\bbe(X)\bbe(Y)$$
\end{theoreme}

Vérifiez que la covariance définit un produit scalaire et démontrez que:

\begin{theoreme}[Variance de la somme de deux v.a.r.]

$$\bbv(X+Y)=\bbv(X)+\bbv(Y)+2\cov(X,Y)$$
\end{theoreme}

Vérifiez également que:

\begin{theoreme}[Covariance et v.a.r. indépendantes]
  $$\cov(X,Y)=0 \Longleftrightarrow X \ind Y$$

la notation $X \ind  Y$ indiquant que X et Y sont  indépendantes (il y a
effectivement un lien entre indépendance et orthogonalité...).
\end{theoreme}


On remarque  toutefois que la  covariance dépend de l'ordre  de grandeur
des  v.a.r.  :  on  va   donc  les  \og  normer\fg{},  c'est-à-dire  \og
neutraliser\fg{} leur ordre de grandeur en divisant par leur norme 2:

\begin{definition}[Coefficient de corrélation]
Soit  X et  Y deux  v.a.r.  $\LR^2$. On  appelle \textit{coefficient  de
corrélation}           de          X          et           Y          le
réel $$\rho(X,Y)=\frac{\cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}=\frac{\langle X,Y\rangle}{\|X\|_2\|Y\|_2}$$

en prenant comme produit scalaire la covariance.
  
\end{definition}

On  retrouve  alors  la  définition  du  cosinus  de  deux  vecteurs  du
plan. Vérifier que ce nouveau \og cosinus\fg{} est compris entre $-1$ et
1.

Comment interpréter  cet \og angle\fg{}  entre deux v.a.r.? En  fait, en
géométrie, plus le cosinus se rapproche de 1 en valeur absolue, plus les
vecteurs sont  \og liés\fg{} linéairement (ils  sont presque colinéaires
quoi...).


Nous allons donc chercher l'interprétation du coefficient de corrélation
en  tant que  \og mesure\fg{}  des \og  liens linéaires\fg{}  entre deux
variables.

Nous allons donc chercher la meilleure approximation linéaire de Y par une
fonction  affine  de  X  de   la  forme  $aX+b$  au  sens  habituel  des
\textbf{moindres  carrés},  c'est-à-dire   pour  minimiser  la  quantité
$\bbe\bigl((Y-(aX+b))^2\bigr)$.
Notons  $f(a,b)$ cette quantité.  Un résultat  classique de  l'étude des
fonctions  de deux  variables montre  qu'il  faut que  la dérivée  par
rapport  à $a$  et celle  par  rapport à  $b$ de  $f(a,b)$ doivent  être
nulles.

\og  Développez\fg{}  $f(a,b)$, c'est-à-dire  utilisez  la linéarité  de
l'espérance pour \og sortir\fg{} $a$ et $b$ des $\bbe$.

Dérivez alors  $f(a,b)$ par rapport  à $a$ puis  par rapport à  $b$: ces
deux quantités devant s'annuler, on obtient un système de deux équations
linéaires d'inconnues $a$ et $b$ que vous résoudrez.

Vérifiez que:

$$a=\rho(X,Y)\frac{\sigma(Y)}{\sigma(X)},\qquad b=\bbe(Y)-a\bbe(X)$$
 

Montrez     alors     que      le     carré     de     l'erreur     vaut
$\sigma^2(Y)(1-\rho^2(X,Y))$.   On   prouve   ainsi   que   \textbf{plus
$\bm{|\rho(X,Y)|}$ est proche de 1, meilleure est l'approximation affine}.


\begin{definition}[Droite des moindres carrés]
  La  droite  d'équation  $y=ax+b$  avec  $a$ et  $b$  les  coefficients
  calculés précédemment est appelée droite des moindres carrés de Y sur X.
\end{definition}



\begin{extra}[Vision géométrique]
Un mathématicien  a bien en tête  que nous travaillons  depuis un moment
dans l'\textit{espace  de Hilbert} $\LR^2$:  en gros, quelque  chose qui
ressemble à notre espace géométrique du lycée, vecteurs compris.

\og  L'espace des  $aX+b$\fg{}  est en  fait  un plan  de  base les  \og
vecteurs\fg{} X et $\indi{}$.

Trouver le  vecteur qui minimise $\bbe((Y-(aX+b))^2)$  c'est chercher la
projection orthogonale de Y sur le \og plan\fg{} engendré par X et 1.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{proj_cov}
\end{center}
%\end{figure}


On doit avoir:

\begin{enumerate}
\item $Y-(aX+b) \ind X \limp \langle(Y-aX-b,X)\rangle=\bbe((Y-aX-b)X)=0$;
\item $Y-(aX+b) \ind \indi{} \limp \langle Y-aX-b,\indi{}\rangle=\bbe((Y-aX-b)1)=0$;
\end{enumerate}

et on retrouve les mêmes résultats...

\end{extra}


\end{exercice}

\begin{exercice}[Table de Poisson]
Fabriquez-vous une table de Poisson dans ce style...

\begin{lstlisting}[caption={}]

!k\l  0.1     0.2     0.3     0.4     0.5     0.6     0.7     0.8     0.9     1       !
!                                                                                     !
!0    0.9048  0.8187  0.7408  0.6703  0.6065  0.5488  0.4966  0.4493  0.4066  0.3679  !
!                                                                                     !
!1    0.0905  0.1637  0.2222  0.2681  0.3033  0.3293  0.3476  0.3595  0.3659  0.3679  !
!                                                                                     !
!2    0.0045  0.0164  0.0333  0.0536  0.0758  0.0988  0.1217  0.1438  0.1647  0.1839  !
!                                                                                     !
!3    0.0002  0.0011  0.0033  0.0072  0.0126  0.0198  0.0284  0.0383  0.0494  0.0613  !
!                                                                                     !
!4    4.e-06  5.e-05  0.0003  0.0007  0.0016  0.0030  0.0050  0.0077  0.0111  0.0153  !
!                                                                                     !
!5    8.e-08  2.e-06  2.e-05  6.e-05  0.0002  0.0004  0.0007  0.0012  0.0020  0.0031  !
!                                                                                     !
!6    1.e-09  7.e-08  8.e-07  4.e-06  1.e-05  4.e-05  8.e-05  0.0002  0.0003  0.0005  !
!                                                                                     !
!7    2.e-11  2.e-09  3.e-08  2.e-07  9.e-07  3.e-06  8.e-06  2.e-05  4.e-05  7.e-05  !
 

!k\l  1.1     1.2     1.3     1.4     1.5     1.6     1.7     1.8     1.9     2       !
!                                                                                     !
!0    0.3329  0.3012  0.2725  0.2466  0.2231  0.2019  0.1827  0.1653  0.1496  0.1353  !
!                                                                                     !
!1    0.3662  0.3614  0.3543  0.3452  0.3347  0.3230  0.3106  0.2975  0.2842  0.2707  !
!                                                                                     !
!2    0.2014  0.2169  0.2303  0.2417  0.2510  0.2584  0.2640  0.2678  0.2700  0.2707  !
!                                                                                     !
!3    0.0738  0.0867  0.0998  0.1128  0.1255  0.1378  0.1496  0.1607  0.1710  0.1804  !
!                                                                                     !
!4    0.0203  0.0260  0.0324  0.0395  0.0471  0.0551  0.0636  0.0723  0.0812  0.0902  !
!                                                                                     !
!5    0.0045  0.0062  0.0084  0.0111  0.0141  0.0176  0.0216  0.0260  0.0309  0.0361  !
!                                                                                     !
!6    0.0008  0.0012  0.0018  0.0026  0.0035  0.0047  0.0061  0.0078  0.0098  0.0120  !
!                                                                                     !
!7    0.0001  0.0002  0.0003  0.0005  0.0008  0.0011  0.0015  0.0020  0.0027  0.0034  !
 

!k\l  2.5     3       3.5     4       4.5     5       5.5     6       6.5     7       !
!                                                                                     !
!0    0.0821  0.0498  0.0302  0.0183  0.0111  0.0067  0.0041  0.0025  0.0015  0.0009  !
!                                                                                     !
!1    0.2052  0.1494  0.1057  0.0733  0.0500  0.0337  0.0225  0.0149  0.0098  0.0064  !
!                                                                                     !
!2    0.2565  0.2240  0.1850  0.1465  0.1125  0.0842  0.0618  0.0446  0.0318  0.0223  !
!                                                                                     !
!3    0.2138  0.2240  0.2158  0.1954  0.1687  0.1404  0.1133  0.0892  0.0688  0.0521  !
!                                                                                     !
!4    0.1336  0.1680  0.1888  0.1954  0.1898  0.1755  0.1558  0.1339  0.1118  0.0912  !
!                                                                                     !
!5    0.0668  0.1008  0.1322  0.1563  0.1708  0.1755  0.1714  0.1606  0.1454  0.1277  !
!                                                                                     !
!6    0.0278  0.0504  0.0771  0.1042  0.1281  0.1462  0.1571  0.1606  0.1575  0.149   !
!                                                                                     !
!7    0.0099  0.0216  0.0385  0.0595  0.0824  0.1044  0.1234  0.1377  0.1462  0.149   !
 
 
!k\l  7.5     8       8.5     9       9.5     10      10.5    11      11.5    12      !
!                                                                                     !
!0    0.0006  0.0003  0.0002  0.0001  7.e-05  5.e-05  3.e-05  2.e-05  1.e-05  6.e-06  !
!                                                                                     !
!1    0.0041  0.0027  0.0017  0.0011  0.0007  0.0005  0.0003  0.0002  0.0001  7.e-05  !
!                                                                                     !
!2    0.0156  0.0107  0.0074  0.0050  0.0034  0.0023  0.0015  0.0010  0.0007  0.0004  !
!                                                                                     !
!3    0.0389  0.0286  0.0208  0.0150  0.0107  0.0076  0.0053  0.0037  0.0026  0.0018  !
!                                                                                     !
!4    0.0729  0.0573  0.0443  0.0337  0.0254  0.0189  0.0139  0.0102  0.0074  0.0053  !
!                                                                                     !
!5    0.1094  0.0916  0.0752  0.0607  0.0483  0.0378  0.0293  0.0224  0.0170  0.0127  !
!                                                                                     !
!6    0.1367  0.1221  0.1066  0.0911  0.0764  0.0631  0.0513  0.0411  0.0325  0.0255  !
!                                                                                     !
!7    0.1465  0.1396  0.1294  0.1171  0.1037  0.0901  0.0769  0.0646  0.0535  0.0437  !
\end{lstlisting}

  
\end{exercice}






\begin{exercice}[Simulation]
Simulez le  tirage successif  de cinq jetons  avec remise dans  une urne
contenant cinq  jetons blancs  et neuf jetons  noirs. On  s'intéresse au
nombre de jetons blancs obtenus. \\
Déterminez avec \textsf{OCaml} un tableau de fréquences pour 10000 simulations.\\
Calculez ensuite la valeur exacte de la probabilité d'obtenir exactement
deux jetons blancs en justifiant votre réponse.
\end{exercice}







\begin{exercice}[Le lièvre et la tortue]

On  dispose  d'un  dé  cubique  bien équilibré,  d'un  lièvre  et  d'une
tortue. On lance le dé. Si un \og 6\fg{}
sort, le  lièvre gagne, sinon la  tortue avance d'un mètre.  La tortue a
gagné lorsqu'elle a avancé cinq fois de suite.\\
Quelle est la probabilité pour la tortue de gagner?\\
Retrouvez expérimentalement ce résultat  en simulant 10000 parties de ce
jeu excitant.



\end{exercice}




\begin{exercice}[Simulation d'une loi de Poisson]

On veut simuler une v.a.r. $X$  qui suit une loi de Poisson de paramètre
$\lambda > 0$ en utilisant une fonction du module \lstinline+Random+.
\begin{enumerate}
\item Rappeler le résultat du cours donnant $\bbp_X(k)$ pour tout entier
      naturel $k$ en fonction de $k$ et $\lambda$.
\item  Déduisez-en que  pour  tout entier  naturel  $k$, $\bbp_X(k+1)  =
      \frac{\lambda}{k+1} \bbp_X(k)$.\\
Déterminez à l'aide de ce résultat une fonction
      \textsf{OCaml} \lstinline+poisson n lambda+ qui calcule par cette
      méthode  $\bbp_X(n)$ de  manière récursive  avec  \lstinline+lambda+ le
      paramètre de la loi. Vous devez obtenir par exemple:

\begin{lstlisting}[caption={}]
# poisson 2 1;;
- : float = 0.1839397  
\end{lstlisting}

\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}[Méthode de Monte-Carlo]
  
\end{exercice}






 


%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "Poly_Probas_Stats_13"
%%% End: 
