%\RequirePackage{atbegshi}
\documentclass[french]{beamer}
\usepackage{etex}

\usepackage[beamer,utf8,fourier]{preambuleTrm}
%\usepackage[french,vlined,boxed]{algorithm2e}
\usepackage{bookmark,multido}
%\usepackage{xlop}
\usepackage{tkz-graph,tkz-berge}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{automata,fit,trees,matrix,arrows,decorations.pathmorphing,shapes.arrows,chains,positioning}
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty,font=footnotesize}

%\usepackage{multimedia}
% \usepackage{cclicenses}
% \usepackage{cclicence}
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]

\usepackage{algo}

\renewcommand{\algocommentfont}{\small\ttfamily\itshape}

\newcommand\nor{\downarrow}
\newcommand\nand{\mid}

\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}


\graphicspath{{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}}




\lstset{numbers=none,language=sage,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{orange!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!red},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}





\setcounter{tocdepth}{2} %\setcounter{page}{0}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}


\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Probabilités}

\subtitle{INFO1 - Semaines 17 à 24}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{\textsc{IUT} de Nantes - Dpt d'informatique }% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[scale=0.15]{logo_iut}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Dernière mise à jour: \today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\AtBeginSubsubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}





\section{Avant la formalisation}



\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item expérience aléatoire
    \item univers
\item évènement élémentaire
\item évènement certain
\item évènement impossible
\item tribu
\item mesurer a priori
\item isomorphisme

  \end{itemize}
\end{frame}





\section{Espace probabilisable - Espace probabilisé}




\begin{frame}
  
\begin{definition}[Tribu]
Une tribu $\TR_\Omega$ définie sur un univers $\Omega$ est une partie de
$\PR(\Omega)$ qui vérifie:
\begin{enumerate}
\item $\Omega\in \TR_\Omega$;
\item   $A\in\TR_\Omega   \Longrightarrow   \complement_\Omega   A   \in
\TR_\Omega$;
\item       $\forall      I\subseteq\bbn$,       $(A_i)_{i\in      I}\in
\TR_{\Omega}^{|I|}\Longrightarrow \displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\in \TR_\Omega$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[Espace probabilisable]
  Soit $\TR_\Omega$ une tribu définie sur l'univers $\Omega$. On dit que
$\bigl(  \Omega,\TR_\Omega  \bigr)$  est  un espace  probabilisable  (ou
espace d'évènements). Les éléments de la tribu sont appelés \textbf{évènements}.
\end{definition}


\end{frame}














\begin{frame}
\begin{figure}
  \includegraphics[height=0.6\textheight]{kolmogorov}
\caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
\end{figure}
\end{frame}













\begin{frame}

\begin{definition}[Axiomes de \foreignlanguage{russian}{КОЛМОГОРОВ} ]\label{probadef}
  Soit $\left(\Omega,\TR  \right)$ un espace  probabilisable. On appelle
\textbf{mesure   de  probabilité}  (ou   probabilité  tout   court)  une
application Pr définie sur $\TR$ vérifiant:
\begin{enumerate}
\item $\forall A \in \TR,\ \bbp(A)\in [0,1]$;
\item $\bbp(\Omega)=1$;
\item  $\forall(A,B)\in   \TR\times\TR,\
  A\cap B=\emptyset \Longrightarrow \bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$
\end{enumerate}


On dit alors que $\left(\Omega,\TR,\bbp\right)$ est un \textbf{espace probabilisé}.
\end{definition}




\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{center}
    Équiprobabilité
  \end{center}

\pause


Univers infini?
\end{frame}






\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{monica}
\end{center}
\end{frame}






\begin{frame}


\begin{theorem}[Principales propriétés]
 Soit  $(\Omega,\TR,\bbp)$  un espace  probabilisé. La
    probabilité $\bbp$ vérifie:
    \begin{enumerate}
    \item $\bbp \left(\complement_\Omega{A}\right)=1-\bbp(A)$~;
    \item $\bbp(\emptyset)=0$~;
    \item $\forall(A,B)\in  \TR\times\TR,\
      A\subset B\imp \bbp(A)\ie \bbp(B)~$~;
    \item $\forall(A,B)\in  \TR\times\TR,\
      \bbp(A\cup  B)=\bbp(A)+\bbp(B)-\bbp(A\cap B)$  (cas particulier  de la
formule du crible de \textsc{Poincaré}).
    \end{enumerate}
\end{theorem}
\end{frame}



\begin{frame}

\begin{definition}[Système complet d'évènements]
  Une famille $A_1$, $A_2$,...,$A_n$ d'évènements non vides de $\TR$ forme un système complet
d'évènements si, et seulement si:
\begin{itemize}
\item   $\forall   i\neq   j$,   $A_i\cap   A_j=\emptyset$   (évènements
  incompatibles deux à deux);
\item $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$.

On dit aussi que la famille $(A_i)$ forme une \textbf{partition} de $\Omega$.
\end{itemize}
\end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}
 
\begin{theorem}[Théorème des probabilités totales (version 1)]
Soit   $(A_i)_{1  \leqslant   i   \leqslant  n}$   un  système   complet
d'évènements, alors:

$$\forall E\in \TR,\ \bbp(E)=\sum_{i=1}^n \bbp(E\cap A_i)$$
  
\end{theorem}

\end{frame}



\section{Probabilités conditionnelles}






\subsection{Un exemple pour comprendre}\label{exprobacon}



\begin{frame}
  \begin{center}
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{craps}
  \end{center}
\end{frame}





\subsection{Définition}



\begin{frame}
  
\begin{definition}[Probabilité  conditionnelle]
Soient $A$  et $B$  deux événements d'un  espace probabilisé  muni d'une
probabilité  $\bbp$,  avec  $\bbp(B)\neq0$.  \textbf{La  probabilité  de
  \textit{A}        sachant        \textit{B}}        est        définie
par $$\bbp_B(A)=\frac{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$
\end{definition}
\end{frame}




\subsection{Formules des probabilit\'es totales: le retour}


\begin{frame}
\begin{theorem}[Probabilités totales (version 2)]
Supposons donc qu'il  existe une partition $A_1$, $A_2$,  ... , $A_n$ de
$\Omega$, et soit $B\in\TR_\Omega$.

$$\bbp(B)=\bbp(B\cap A_1)+\bbp(B\cap A_2)+\cdots+\bbp(B\cap A_n)$$
\end{theorem}
\end{frame}



\subsection{Arbre}


\begin{frame}
Arbre
\end{frame}





\subsection{Formule de BAYES}

\begin{frame}
 
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{bayes}
\end{center}
\caption{1702 - 1761}
\end{figure}

\end{frame}







\begin{frame}
 
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{asimo}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}
 

\begin{theorem}[Formule de \textsc{Bayes}]
Soit $\left(\Omega,\TR,\bbp\right)$ un espace probabilisé et $(A_i)_{i\in
 I\subseteq \bbn}$ un système complet d'évènements.

$$\forall     B\in     \TR,\quad     \bbp_B(A_k)=\frac{\bbp_{A_k}(B)\times
 \bbp(A_k)}{\displaystyle\sum_{i\in I}\bbp_{A_i}(B)\times \bbp(A_i)}$$
  
\end{theorem}


\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Poids de témoignage}
$$Ev(p) = \log_{2} \frac{p}{(1-p)}$$

Exprimé en bits

$$Ev(p) = 10\,\log_{10} \frac{p}{(1-p)}$$



Exprimé en dB



\end{frame}

\begin{frame}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{barbies}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\subsection{Ind\'ependance}


\begin{frame}
 

\begin{definition}[Évènements
  indépendants\index{evenements@évènements!indépendants}]
Les évènements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $\bbp(A\cap
B)=\bbp(A)\times\bbp(B)$
    \end{definition}

\end{frame}




\begin{frame}

\begin{theorem}[Indépendance et probabilités conditionnelles]
  Soient  $A$ et  $B$ deux  évènements  tels que  $\bbp(B)\neq 0$.   Les
  évènements  $A$   et  $B$  sont   indépendants  si  et   seulement  si
  $\bbp_B(A)=\bbp(A)$
\end{theorem}

\end{frame}




\begin{frame}


  \begin{theorem}[Indépendance mutuelle]
     Soit $\left( A_{i}\right)_{i\in
 I\subseteq \bbn} $ une suite d'\'{e}v\'{e}nements de $%
\mathcal{T}.$

\begin{enumerate}
\item On dit que ces \'{e}v\'{e}nements sont \textbf{ind\'{e}pendants deux \`{a}
deux} si, et seulement si:  
\begin{equation*}
\forall (i,j)\in I^{2},i\neq j,\bbp (A_{i}\cap A_{j})=\bbp
(A_{i})\times\bbp (A_{j})
\end{equation*}

\item On dit que ces \'{e}v\'{e}nements sont \textbf{mutuellement ind\'{e}pendants}
si, et seulement si, pour toute partie J de I on a:

$$\bbp \left( \bigcap\limits_{j\in J}A_{j}\right) =\displaystyle\prod\limits_{j\in J}\bbp
(A_{j})$$

\end{enumerate}
  \end{theorem}
\end{frame}





\begin{frame}
  

\begin{exercice}
  L'exp\'{e}rience   al\'{e}atoire  est  le   lancer  de   deux  d\'{e}s
  parfaits. Soit $%
A_{1}$ l'évènement \og le premier d%
\'{e} donne un r\'{e}sultat pair\fg{}, $A_{2}$ l'évènement \og le deuxi\`{e}me d\'{e} donne un r\'{e}%
sultat pair\fg{} et $A_{3}$ l'évènement \og la somme des num\'{e}ros tir\'{e}s est paire\fg{}. 

Les évènements sont-ils mutuellement indépendants? Deux à
deux indépendants?
\end{exercice}
\end{frame}












\section{Variables aléatoires réelles finies}




\subsection{Définition}


\begin{frame}

  \begin{definition}[Variable aléatoire réelle finie]
     On appelle {variable
aléatoire  réelle  finie}  toute  application de  $\Omega$  dans  $\bbr$
 vérifiant:
$$\forall I\subseteq \bbr,\ X^{-1}(I) \in \TR$$
    \end{definition}

\end{frame}



\subsection{Loi de probabilité}
\begin{frame}
  
  \begin{definition}[Loi de probabilité d'une v.a.r.]
  Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\f$ de $\bbr$ dans $[0,1]$
définie par
$$\f~:\ x\mapsto \bbp(\{X=x\})$$
    \end{definition}
  
\end{frame}




\subsection{Variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes}


\begin{frame}
  

\begin{definition}[Variables aléatoires mutuellement indépendantes]
 Si $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots ,X_{k}$ sont $k$ v.a. d\'{e}finies sur $%
\Omega $, on dit qu'elles sont mutuellement ind\'{e}pendantes si, et seulement si,  quels que
soient les intervalles $I_{1},I_{2},I_{3},\cdots ,I_{k}$ on a : 
\begin{equation*}
\bbp \left( \bigcap\limits_{i=1}^{k}\left( X_{i}^{-1}\left( I_{i}\right)
\right) \right) =\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{k}\bbp \left( X_{i}^{-1}\left(
I_{i}\right) \right)
\end{equation*}  
\end{definition}
\end{frame}






\subsection{Fonctions de répartition}




\begin{frame}
\begin{definition}[Fonction de répartition]
  Soit X une v.a.r. On appelle fonction de répartition de X la fonction
 F de $\bbr$ dans $\bbr$ définie par:

$$F(x)=\bbp(\{X \leqslant  x\})$$
\end{definition}

On note souvent cette fonction $F_X$.
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Propriétés de $F_X$]
  \begin{enumerate}
\item $\forall x\in \mathbb{R},F_X(x)\in \left[ 0,1\right] $

\item $F_X$ est croissante (sens large).

\item $F_X$ est continue \`{a} droite en tout point.

\item $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }F_X(x)=0$

\item $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }F_X(x)=1$

\item $\bbp \left( \left\{ a<X\leq b\right\} \right) =F_X(b)-F_X(a)$

\item $F_X(a)=\bbp \left( \left\{ X\leq a\right\} \right) =1-\bbp \left( \left\{ X>a%
\right\} \right) $

\item $\bbp \left( \left\{ X=a\right\} \right) =\underset{x\rightarrow a^{+}}{%
\lim }F_X(x)-\underset{x\rightarrow a^{-}}{\lim }F_X(x)=F_X(a)-\underset{%
x\rightarrow a^{-}}{\lim }F_X(x).$ Par cons\'{e}quent en tout point $a$ o\`{u} 
$F_X$ est continue on a $\bbp \left( \left\{ X=a\right\} \right) =0.$
\end{enumerate}
\end{theorem}
\end{frame}






\subsection{Espérance mathématique}


\begin{frame}


  \begin{definition}[Espérance mathématique]
    On appelle {espérance mathématique} de la variable
aléatoire $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\times \bbp(X=x_1)+x_2\times \bbp(X=x_2)+\cdots+x_n\times
\bbp(X=x_n)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot \bbp(X=x_i)$$
    \end{definition}
  

\end{frame}






\begin{frame}
 
\begin{theorem}[Espérance de foX]
 Soit X  une v.a.r. Soit $f:\bbr\to\bbr$  telle que $f\circ  X$ soit une
 v.a.r. Alors $$\bbe(f\circ X)=\displaystyle\sum_{n\in\bbn}^{}f(x_n)\bbp(\{X=x_n\})$$


\end{theorem}
Cette propriété sera admise dans un premier temps.


\end{frame}




\subsection{Variance}




\begin{frame}
   \begin{definition}[Variance]
    $\bbv(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot \bbp(X=x_i)$
    \end{definition}
  

\end{frame}

\begin{frame}
  

  \begin{definition}[Écart-type]
    $\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}$
    \end{definition}
  
\end{frame}













\subsection{Linéarité de l'espérance}



\begin{frame}
  

  \begin{theorem}[Linéarité de l'espérance]
    \begin{itemize}
    \item  $\bbe(aX+b)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\times \bbp(X=x_i)=a\bbe(X)+b$
\item $\bbe(X+Y)=\bbe(X)+\bbe(Y)$
    \end{itemize}
    \end{theorem}
  
\end{frame}




\subsection{Théorème de König-Huygens}


\begin{frame}
\begin{theorem}[Théorème de König-Huygens]
  $$\bbv(X)=\bbe \left((X-\bbe(X))^2\right)=\bbe \left(X^2\right)-\bigl(\bbe(X)\bigr)^2$$
\end{theorem}
\end{frame}





\subsection{V.a.r. centrée réduite}



\begin{frame}

\begin{definition}[V.a.r.c.r.]
Soit  X  une  v.a.r.  qui  admet  une variance  non  nulle.  On  appelle
 v.a.r. centrée réduite associée à X la v.a.r.:

$$X^\star=\frac{X-\bbe(X)}{\sigma(X)}$$
\end{definition}



Cette définition en est-elle une? Que valent $\bbe(X^\star)$ et $\bbv(X^\star)$?



\end{frame}








\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
