\chapterimage{odeillo}
\chaptertext{}
\setcounter{chapter}{3}
\maple
\chapter{Autour des formes quadratiques}


\section{Réduction d'une conique}

On   utilisera   la  bibliothèque   \verb+linalg+   ou  (exclusif!)   la
bibliothèque \verb+LinearAlgebra+.

Je vous propose des solutions avec la première citée.

Testez \verb+matrix+:

\begin{lstlisting}[caption={}]
matrix([[1,2],[3,4]])
\end{lstlisting}

On  entrera une forma  quadratique $q(x)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$  sous la
forme d'une liste \verb+[a,b,c,d,e,f]+.

Créez  une fonction  \verb+q2a:=proc(Q)+ qui  renvoie la  matrice  de la
partie quadratique de q.

La  fonction  \verb+eigenvectors(A)+  renvoie  une liste  contenant  des
listes du type $[\lambda,{\rm dim}(E_\lambda),\{\ve{v}_\lambda\}]$.

La     fonction      \verb+normalize(liste)+     renvoie     $\frac{{\tt
    liste}}{\no{{\tt liste}}}$.

Créez   une  fonction   \verb+EV:=proc(Q)+  qui   renvoie   une  matrice
orthogonale de vecteurs propres et la matrice diagonale associée.

Par exemple, pour $Q=[1,6,1,4,0,1]$ on obtient:

$$
\begin{bmatrix}
  \frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  4&0\\
0&-2
\end{bmatrix}
$$

ou dans l'ordre inverse.

La  fonction   \verb+transpose(M)+  renvoie   la  transposée  de   M  et
\verb+evaml(A&*B)+ renvoie la matrice produit de A par B.

En écrivant sous forme matricielle la forme quadratique exprimée dans la
nouvelle base, affichez la forme quadratique réduite.

Dans l'exemple précédent, on doit par exemple obtenir:

$$4X^2-2Y^2-2 \sqrt{2}X+2 \sqrt{2}Y+1+
$$


On  peut \og  récupérer\fg{} les  coefficients à  l'aide de  la fonction
\verb+coeff+.

Par    exemple,   si    on   appelle    QR   le    polynôme   précédent,
\verb+coeff(QR,X^2)+ renvoie 4.


Créez une  fonction qui renvoie  le type de conique  (parabole, ellipse,
hyperbole) ou la  nature de la dégénérescence (réunion  de deux droites,
droites sécantes, vide, etc.), une  équation réduite si possible du type
$\alpha x^2+\beta y^2+\gamma=0$, les éléments caractéristiques, un tracé
de la  conique dans  l'ancien et le  nouveau repère (on  pourra utiliser
\verb+implicitplot+).



\section{Réduction d'une quadrique}

Si  vous êtes  en forme,  adaptez  ce qui  vient d'être  fait à  l'étude
générale d'une quadrique...

\section{À Centrale}
\begin{exercice}[Centrale,  2010]

    Soit $(\SR)$ la surface d'équation\quad
    $\displaystyle  \frac{x^2}{9} + y^2 - \frac{z^2}{4} = 1$
    \begin{enumerate}
        \item Nature de $(\SR)$ ? Donner un paramétrage de
            $(\SR)$. Tracer $(\SR)$ avec Maple.
        \item Déterminer l'intersection de $(\SR)$ avec le plan d'équation
            $z=\alpha$.
        \item Calculer le volume du solide défini par
            $\displaystyle \Bigl\{M(x, y, z) \mid \frac{x^2}{9} + y^2 -
              \frac{z^2}{4} = 1 \text{ et }
            a≤z≤b\Bigr\}$
        \item La surface $(\SR)$ admet-elle des points singuliers ?
        \item Donner l'équation du plan tangent à $(\SR)$ au point
            $M_t=(3\cos t, \sin t, 0)$.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
  
\begin{exercice}[Centrale, 2010]

    Soit $(\mcal{E})$ la surface d'équation $\displaystyle  x^2+y^2+4z^2=1$.
    \begin{enumerate}
        \item Représenter $(\mcal{E})$.

        \item Soit $R_t$ la rotation d'axe dirigé et orienté par
            $\vc u= \left(\begin{smallmatrix}
                4\\3\\0 \end{smallmatrix}\right)$
            et d'angle $t$.

            Soit $(x', y', z')$ l'image de $(x, y, z)$ par $R_t$.
            Exprimer $(x', y', z')$ en fonction de $(x, y, z)$.

        \item Déterminer une équation de $(\mcal{E}_t)$ l'image de $(\mcal{E})$
            par $R_t$.
    \end{enumerate}


Pour le c), un petit Joker...

\begin{lstlisting}[caption={}]
# Avec LinearAlgebra

M := <x, y, z>;
Mt := Transpose(Rt).M;
eq := x^2 + y^2 + 4*z^2 - 1;
eqt := simplify(subs({x=Mt[1], y=Mt[2], z=Mt[3]}, eq));

# Avec linalg

M := matrix(3,1,[x, y, z]);
Mt := evalm(transpose(Rt) &* M);
eq := x^2 + y^2 + 4*z^2 - 1;
eqt := simplify(subs({x=Mt[1], y=Mt[2], z=Mt[3]}, eq));
\end{lstlisting}

\end{exercice}

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMapleMPstar"
%%% End: 
