\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\entete{R�visions 2008}{R�visions 2008}{TS}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\small


\begin{center}
  {\Huge R�visions 2008}
\medskip

\hrule

\end{center}




\vspace{0,5cm}


\begin{center}
  \fbox{\Large\decofourleft\hfill Sujet 1\hfill\decofourright}
\end{center}




\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}\\
\textbf{Commun  \`a tous les candidats}\\
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par 	$f(x) = 	\dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$ et soit $H$ la fonction d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par $H(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ et $H$ sont bien d\'efinies sur $[1~;~+ \infty[$
		\item 	Quelle relation existe-t-il entre $H$ et $f$ ?

		\item 	Soit $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij{} du plan. Interpr\'eter en termes d'aire le nombre $H(3)$.
	\end{enumerate}

\item On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre $H(3)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout r\'eel $x > 0,~  \dfrac{x}{\text{e}^x - 1} = x \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$.
		\item  En d\'eduire que $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = 3\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right) -\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right) - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$.
		\item  Montrer que si $1\leqslant x \leqslant  3$, alors $\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right)\leqslant  \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right)$.
		\item  En d\'eduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$ puis de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\ 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\

\noindent \emph{Cet exercice contient une restitution organis\'ee de connaissances.}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie A}\\
On suppose connus les r\'esultats suivants :\\
\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.\\
	Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un r\'eel :\\
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, o\`u $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
\emph{D\'emonstration de cours} :  d\'emontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui \`a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
Dans un rep\`ere orthonorrnal direct du plan complexe \Ouv{} d'unit\'e graphique $2$~cm, on consid\`ere les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives 
 \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~ z_{B},~� z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item Comment construire \`a la r\`egle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le rep\`ere \Ouv ?
		\item Quelle est la nature du quadrilat\`ere $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan d\'efinis par :
$E = r(A)$ et $F = r(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Comment construire \`a la r\`egle et au compas les points $F$ et $E$ dans le rep\`ere pr\'ec\'edent ?
		\item  Donner l'\'ecriture complexe de $r$.
		\item  D\'eterminer l'affixe du point $E$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\ 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\
On suppose connu le r\'esultat suivant :\\
Une application $f$ du plan muni d'un rep\`ere orthonormal direct dans lui-m\^eme est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une \'ecriture complexe de la forme $z'= az +b$, o\`u $a \in \C^*$ et $b \in \C$.\\

\medskip

\noindent \emph{D\'emonstration de cours} :  on se place dans le plan complexe. D\'emontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
Dans le plan complexe muni d'un rep\`ere orthonomal direct \Ouv{} on consid\`ere les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives 
 \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
 \begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner le module et un argument-de chacun des quatre nomlres complexes $z_{A},~ z_{B},~ z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item Construire \`a la  r\`egle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unit\'e graphique $2$~cm).
		\item D\'eterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En d\'eduire la nature du quadrilat\`ere $ABCD$.
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere la similitude directe $g$ dont l'\'ecriture complexe est $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer les \'el\'ements caract\'eristiques de $g$. 
		\item  Construire \`a la r\`egle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~ C$ et $O$. 
		\item  Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le d\'emontrer.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}\\ 
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
\parbox{0.45\linewidth}{On consid\`ere un t\'etra\`edre $ABCD$.\\
On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des ar\^etes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$.\\
On d\'esigne par $G$ l'isobarycentre des points
$A,~B,~C$ et $D$.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){A} \uput[ul](3.25,4){B} \uput[dr](4.4,0.7){C} \uput[d](2.2,0){D} 
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.\\
\medskip

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.\\
 (On dit que le t\'etra\`edre $ABCD$ est \'equifacial, car ses faces sont isom\'etriques).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilat\`ere $IKJL$ ? Pr\'eciser \'egalement la nature des quadrilat\`eres $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  En d\'eduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de m\^eme, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item   Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En d\'eduire que $(IJ)$ est orthogonale \`a la
droite $(AB)$. Montrer de m\^eme que $(IJ)$ est orthogonale \`a la droite $(CD)$.
		\item  Montrer que $G$ appartient aux plans m\'ediateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item   \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, m\^eme incompl\`ete, ou d'initiative, m\^eme non fructueuse, sera prise en compte dans l'\'evaluation.}\\
Comment d\'emontrerait-on que $G$ est le centre de la sph\`ere circonscrite au t\'etra\`edre $ABCD$ ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}\\ 
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
\emph{On cherche \`a mod\'eliser de deux fa\c{c}ons diff\'erentes l'\'evolution du nombre, exprim\'e en millions, de foyers fran\c{c}ais poss\'edant un t\'el\'eviseur \`a \'ecran plat, en fonction de l'ann\'ee.}\\

\medskip

\noindent Les parties A et B sont ind\'ependantes\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A : un mod\`ele discret}\\
Soit $u_{n}$ le nombre, exprim\'e en millions, de foyers poss\'edant un t\'el\'eviseur \`a \'ecran plat l'ann\'ee $n$.\\
 On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier les variations de $f$ sur [0 ; 20].
		\item En d\'eduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		\item On donne en \textbf{annexe} la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal.\\
Repr\'esenter, sur l'axe des abscisses,  \`a l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer par r\'ecurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et d\'eterminer sa limite.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\noindent \textbf{Partie B : un mod\`ele continu}\\
Soit $g(x)$ le nombre, exprim\'e en millions, de tels foyers l'ann\'ee $x$.\\
 On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle

\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\]

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle :
		\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
		\item  R\'esoudre l'\'equation (E$_{1}$) et en d\'eduire les solutions de l'\'equation (E).
		\end{enumerate}
\item Montrer que $g$ est d\'efinie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpr\'eter le r\'esultat.
\item En quelle ann\'ee le nombre de foyers poss\'edant un tel \'equipement d\'epassera-t-il $5$~millions ?
 \end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{\`A rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=0.4286cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(24,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\end{pspicture}
\end{center}






\vspace{0,5cm}


\begin{center}
  \fbox{\Large\decofourleft\hfill Sujet 2\hfill\decofourright}
\end{center}





\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}\\
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $]- \infty~;~ 6[$ par 
\[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\]
On d\'efinit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(U_{n}\right)$ par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_{0}&=&-3\\
U_{n+1}&=&f\left(U_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  La courbe repr\'esentative de la fonction $f$  est donn\'ee sur la feuille jointe accompagn\'ee de celle de la droite d'\'equation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(U_{0}~;~ 0\right),~
M_{1}\left(U_{1}~;~ 0\right),~ M_{2}\left(U_{2}~;~ 0\right),~ M_{3}\left(U_{3}~;~ 0\right)$ et $M_{4}\left(U_{4}~;~ 0\right)$.\\
 Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence \'eventuelle de la suite $\left(U_{n}\right)$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que si $x < 3$ a alors 	$\dfrac{9}{6 - x}< 3$.\\
	En d\'eduire que $U_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.
		\item  \'Etudier le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right)$.
		\item  Que peut-on d\'eduire des questions 2. a. et 2. b. ?
	\end{enumerate}
\item  On consid\`ere la suite $\left(V_{n}\right)$ d\'efinie par $V_{n} = \dfrac{1}{U_{n} - 3}$ 	pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithm\'etique de raison  $- \dfrac{1}{3}$.
		\item  D\'eterminer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\

\medskip

\noindent \textbf{PARTIE A :  Question de cours}\\
 Quelles sont les propri\'et\'es de compatibilit\'e de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?\\
  D\'emontrer la propri\'et\'e de compatibilit\'e avec la multiplication. 
  
  \medskip
 
\noindent \textbf{PARTIE B}\\
 On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'\'ecriture d'un nombre en base $12$. Par exemple :

\[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $N_{1}$ le nombre s'\'ecrivant en base 12 :
		\[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\]
D\'eterminer l'\'ecriture de $N_{1}$ en base 10.
		\item   Soit $N_{2}$ le nombre s'\'ecrivant en base 10 :
\[N_{2} = 1\:131 = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10
+ 1\]
D\'eterminer l'\'ecriture de $N_{2}$ en base $12$.
	\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Dans toute la suite}, un entier naturel $N$ s'\'ecrira de mani\`ere g\'en\'erale en base 12 :

\[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que $N \equiv a_{0}\quad  (3)$. En d\'eduire un crit\`ere de divisibilit\'e par $3$ d'un nombre \'ecrit en base 12.
		\item � l'aide de son \'ecriture en base $12$, d\'eterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son \'ecriture en base $10$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que $N \equiv  a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$. En d\'eduire un crit\`ere de divisibilit\'e par $11$ d'un nombre \'ecrit en base 12.
		\item \`A l'aide de son \'ecriture en base 12, d\'eterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son \'ecriture en base $10$.
	\end{enumerate}
\item Un nombre $N$ s'\'ecrit $\overline{x4y}^{12}$.	D\'eterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}\\
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
Deux \'eleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur d\'efinitive qu'\`a l'\^age de trois mois :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour les alevins du premier \'elevage, entre l'\^age de deux mois et l'\^age de trois mois, 10\:\%
 n'ont pas surv\'ecu, 75\:\%
  deviennent rouges et les 15\:\% restant deviennent gris.
\item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxi\`eme \'elevage, entre l'\^age de deux mois et l'\^age de trois mois, 5\:\% n'ont
pas surv\'ecu, 65\:\% diviennent rouges et les 30\:\% restant deviennent gris.
\end{itemize}
Une animalerie ach\`ete les alevins, \`a l'\^age de deux mois : 60\:\% au premier \'eleveur, 40\:\% au second.
\begin{enumerate}
\item  Un enfant ach\`ete un poisson le lendemain de son arriv\'ee \`a l'animalerie, c'est-\`a-dire \`a l'\^age de
deux mois.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilit\'e que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$.
		\item   D\'eterminer la probabilit\'e qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
		\item   Sachant que le poisson est gris \`a l'\^age de trois mois, quelle est la probabilit\'e qu'il provienne du premier \'elevage ?
 	\end{enumerate}
\item Une personne choisit au hasard et de fa�on ind\'ependante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilit\'e qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\item  L'animalerie d\'ecide de garder les alevins jusqu'\`a l'\^age de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur d\'efinitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas.\\
	 Soit $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain alg\'ebrique de l'animalerie par
poisson achet\'e. D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$ et son esp\'erance math\'ematique, arrondie au centime.
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}\\
\textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
L'espace est rapport\'e \`a un rep\`ere \Oijk{} orthonorm\'e. Soit $t$ un nombre r\'eel.
On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$	et la droite $\mathcal{D}$ de syst\`eme d'\'equations param\'etriques :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&9 + 4t\\
y&=&6 + t\\
z&=&2 + 2t\\
\end{array}\right.\]
Le but de cet exercice est de calculer de deux fa�ons diff\'erentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une \'equation cart\'esienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire \`a la droite $\mathcal{D}$ et passant par A.
		\item V\'erifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient \`a la droite $\mathcal{D}$.
		\item Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et 
le plan $\mathcal{P}$.
		\item Exprimer la  distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En d\'eduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de  $d$.
\end{enumerate}
		
	
		
		\begin{center}
		\textbf{ANNEXE (\`a rendre avec la copie)}
		
		\bigskip
		
		\psset{unit=1.3cm}
		\begin{pspicture}(-3,-1)(6,7)
		\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-1)(6,7)
		\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt](0,0)(-3,-1)(6,7)
		\psplot{-1}{6}{x}
		\psplot[linecolor=blue]{-3}{4.713}{9 6 x sub div}
		\end{pspicture}
		\end{center}






\vspace{0,5cm}


\begin{center}
  \fbox{\Large\decofourleft\hfill Sujet 3\hfill\decofourright}
\end{center}





\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.\\
\emph{Une r\'eponse exacte rapporte $0,5$ point ; une r\'eponse inexacte enl\`eve $0,25$ point  ; l'absence de r\'eponse est compt\'ee $0$ point. Si le total est n\'egatif, la note est ramen\'ee \`a z\'ero.}\\
Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct d'origine O.

\begin{enumerate} \item Une solution de l'\'equation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $3$&  \textbf{b.} i&  \textbf{c.} $3 + \text{i}$\\
\end{tabularx}
\item Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est \'egal \`a :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $|z| + 1$&  \textbf{b.} $|z - 1|$&  \textbf{c.} $|\text{i}\overline{z} + 1|$\\
\end{tabularx}
\item Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$. Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$&  \textbf{b.} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$&  \textbf{c.} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\
\end{tabularx}
\item  Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i}  \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $n = 3$&  \textbf{b.}$n = 6k + 3$, avec $k$ relatif&  \textbf{c.} $n = 6k$ avec $k$ relatif\\
\end{tabularx}
\item Soient A et B deux points d'affixe respective i et $-1$. l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ v\'erifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est : \\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} la droite (AB)&  \textbf{b.} le cercle de diam\`etre [AB]&  \textbf{c.} la droite perpendiculaire \`a (AB) passant par O\\
\end{tabularx}
\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - \text{i}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ v\'erifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour \'equation : \\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $y = -x + 1$&  \textbf{b.} $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$&  \textbf{c.} $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ r\'eel\\
\end{tabularx}
\item Soient A et B les points d'affixes respectives $4$ et $3\text{i}.$ L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isoc\`ele avec $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est : \\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $1 - 4\text{i}$&  \textbf{b.} $-3\text{i}$&  \textbf{c.} $7 + 4\text{i}$\\
\end{tabularx}
\item L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'\'equation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.} $\{1 - \text{i}\}$&  \textbf{b.} L'ensemble vide&  \textbf{c.} $\{1 - \text{i}~;~1 + \text{i}\}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
Un responsable de magasin ach\`ete des composants \'electroniques aupr\`es de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\:\% au premier fournisseur et 75\:\% au second.\\
La proportion de composants d\'efectueux est de 3\:\% chez le premier fournisseur et de 2\:\% chez le second.\\
On note :\\
\begin{itemize}
\item D l'\'ev\`enement \og le composant est d\'efectueux \fg ;
\item F$_{1}$ l'\'ev\`enement \og le composant provient du premier fournisseur \fg ;
\item F$_{2}$ l'\'ev\`enement \og le composant provient du second fournisseur \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre pond\'er\'e.
\item Calculer $p\left(\text{D} \cap \text{F}_{1} \right)$, puis d\'emontrer que $p(\text{D}) = \nombre{0,0225}$.
\item Sachant qu'un composant est d\'efectueux, quelle est la probabilit\'e qu'il provienne du premier fournisseur ?
\end{enumerate}
\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approch\'ee des r\'esultats \`a $10^{-3}$ pr\`es.}
\item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilit\'e qu'au moins deux d'entre eux soient d\'efectueux ?
\item La dur\'ee de vie de l'un de ces composants est une variable al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit une loi de dur\'ee de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de param\`etre $\lambda$, avec $\lambda$ r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Sachant que $p(X > 5) = 0,325$, d\'eterminer $\lambda$.\\
Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$.
\item Quelle est la probabilit\'e qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ?
\item Quelle est la probabilit\'e qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a d\'ej\`a dur\'e plus de 3~ans ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
\noindent \textbf{Partie A : question de cours}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $[a~;~+ \infty[$. Compl\'eter la phrase suivante :\\
\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre r\'eel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est \'egale \`a $\ell$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'\'equation $y = - x - 1$ est asymptote \`a $(\mathcal{C})$. On a repr\'esent\'e sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre r\'eel. \' Ecrire, en fonction de $a$, une \'equation de la tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. V\'erifier que $b - a = - 1$.
\item En d\'eduire une construction, \`a effectuer sur la feuille annexe, de la tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera appara\^{\i}tre le point $N$ correspondant.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer graphiquement le signe de $f$.
\item En d\'eduire pour tout entier naturel non nul $n$ les in\'egalit\'es suivantes :
\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
\item En utilisant l'in\'egalit\'e (1), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
\item En utilisant l'in\'egalit\'e (2), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes un encadrement de 
\[ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n, \]
puis sa limite en $+ \infty$.
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
Soit OABC un t\'etra\`edre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projet\'e orthogonal de O sur le plan (ABC).\\
Le but de l'exercice est d'\'etudier quelques propri\'et\'es de ce t\'etra\`edre.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale \`a la droite (BC) ?\\
Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale \`a la droite (BC) ?
\item D\'emontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On d\'emontrera de fa\c{c}on anlogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce r\'esultat est ici admis.
\item Que repr\'esente le point H pour le triangle ABC ?
\end{enumerate}
\item L'espace est maintenant muni d'un rep\`ere orthonorm\'e \Oijk.\\
 On consid\`ere les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer une \'equation cart\'esienne du plan (ABC).
\item D\'eterminer une repr\'esentation param\'etrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC).
\item D\'emontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonn\'ees $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la distance du point O au plan (ABC).
\item Calculer le volume du t\'etra\`edre OABC. En d\'eduire l'aire du triangle ABC.
\item V\'erifier que le carr\'e de l'aire du triangle ABC est \'egal \`a la somme des carr\'es des aires des autres faces de ce t\'etra\`edre.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier.
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier.
\item En d\'eduire que $6^{40} \equiv 1\:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$.
\item D\'emontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question $x$ et $y$ d\'esignent des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'equation
\[  (E) \qquad 65x - 40y = 1\]
n'a pas de solution.
\item Montrer que l'\'equation
\[  (E') \qquad 17x - 40y = 1\]
admet au moins une  solution.
\item D\'eterminer \`a l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'\'equation $\left(E'\right)$.
\item R\'esoudre l'\'equation $\left(E'\right)$.\\
En d\'eduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inf\'erieur \`a $40$ tel que \\$17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $a$, d\'emontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$, alors $b^{33} \equiv a \quad [55]$.
\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{ANNEXE (\`a rendre avec la copie)}

\bigskip

\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3,6)
\psplot{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline(-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$}
\end{pspicture}
 \end{center}






\pagebreak


\begin{center}
  \fbox{\Large\decofourleft\hfill Sujet 4\hfill\decofourright}
\end{center}











\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\

\begin{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.}

\medskip

\noindent On suppose connu le r\'esultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ d�rivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.\\
Soit $a$ un r\'eel donn\'e.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'\'equation $y' = ay$.
\item Soit $g$ une solution de l'\'equation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante.
\item  	En d\'eduire l'ensemble des solutions de l'\'equation $y' =  ay$.
\end{enumerate}
\item  On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle (E) : $y'= 2y + \cos x$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer deux nombres r\'eels $a$ et $b$ tels que la fonction $f_{0}$ d\'efinie sur $\R$ par :
	\[f_{0}(x) = a \cos x + b \sin x\]
	 soit une solution $f_{0}$ de (E).
\item 	R\'esoudre l'\'equation diff�rentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~ :~ y' =  2y$.
\item 	D\'emontrer que $f$ est solution de (E) si et seulement si $f - f_{0}$ est solution de $\left(\text{E}_{0}\right)$.
\item 	En d\'eduire les solutions de (E).
\item 	D\'eterminer la solution $k$ de (E) v\'erifiant $k\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\ 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.\\
\emph{On fera une figure que l'on compl\'etera avec les diff\'erents \'el\'ements intervenant dans l'exercice.}
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la r\'eflexion (sym\'etrie axiale) 	d'axe (AB).\\
Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe \\$z' =  -\text{i}\overline{z} + 1 + \text{i}$.
\item  	On note $H$ l'homoth\'etie de centre A et de rapport $-2$. Donner l'\'ecriture complexe de $H$.
\item  	On note $f$ la compos\'ee $H \circ S$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une similitude.
\item 	D\'eterminer l'\'ecriture complexe de $f$.
\end{enumerate}
\item  On appelle $M''$ l'image d'un point $M$ par $f$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = -2\vect{\text{A}M}$ est la droite (AB).
\item 	D\'emontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = 2\vect{\text{A}M}$ est la perpendiculaire en A \`a la droite (AB).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
Le plan $\mathcal{P}$ est rapport\'e � un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.\\
\emph{On fera une figure qui sera compl\'et\'ee au fur et \`a mesure.}\\
Soit $f$ l'application qui \`a tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe :
\[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. D\'eterminer l'affixe du point E$'$, image de E par $f$
\item  D\'eterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$.
\item  On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.\\
Soit $M$ un point distinct des points O, A et B.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diff\'erent de $0,~ 1$ et $-1$, on a :
\[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\]

\item  En d\'eduire une expression de $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}$	en fonction de	$\dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$ puis une expression de l'angle $\left(\vect{M'\text{A}},~\vect{M'\text{B}}  \right)$ en fonction de l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}  \right)$
\end{enumerate}
\item 	Soit $\Delta$ la m\'ediatrice du segment [A, B]. Montrer que si $M$ est un point de $\Delta$ distinct du point O, alors $M'$ est un point de $\Delta$.
\item  Soit $\Gamma$ le cercle de diam\`etre [A, B].
\begin{enumerate}
\item  Montrer que si le point $M$ appartient � $\Gamma$ alors le point $M'$ appartient \`a la droite (AB).
\item  Tout point de la droite (AB) a-t-il un ant\'ec\'edent par $f$ ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Commun � tous les candidats}\\
L'espace est muni d'un rep\`ere orthonormal \Oijk.

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere le point A de coordonn\'ees $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonn\'ees $(1~;~5~;~-1)$.\\
D\'eterminer une repr\'esentation param\'etrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\item 	On consid\`ere les plans (P) et (Q) d'\'equations cart\'esiennes respectives \\$x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$.\\
D\'emontrer que les plans (P) et (Q) sont s\'ecants. On donnera une repr\'esentation param\'etrique de leur droite d'intersection, not\'ee $(d')$.\\
Montrer que le vecteur de coordonn\'ees $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$.
\item 	D\'emontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.
\item On consid\`ere le point H de coordonn\'ees $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonn\'ees $(3~;~0~;~-4)$.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que H appartient � $(d)$ et que H$'$ appartient \`a $(d')$.
\item  D\'emontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$.
\item  Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, c'est-\`a-dire la distance HH$'$.
 \end{enumerate}
\item  D\'eterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot \vect{\text{HH}'} = 126$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}\\
\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\

\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere la fonction $f_{1}$ d\'efinie sur $[0~;~+ \infty[$ par
\[f_{1}(x) = 2x - 2 + \ln \left(x^2 + 1\right).\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$.
\item  D\'eterminer la d\'eriv\'ee de $f_{1}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f_{1}$.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On consid\`ere la fonction $f_{n}$, d\'efinie sur $[0~;~ + \infty[$ par
\[f_{n}(x) =   2x -2 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 1\right)}{n}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $f_{n}$ en $+ \infty$.
\item  D\'emontrer que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0~;~ + \infty[$.
\item  D\'emontrer que l'\'equation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_{n}$ sur $[0~;~ + \infty[$
\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n,~ 0 < \alpha_{n} < 1.$
\end{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~ f_{n}\left(\alpha_{n+1}\right) > 0$.
\item \'Etude de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est croissante.
\item En d\'eduire qu'elle est convergente.
\item Utiliser l'expression $\alpha_{n} = 1 - \dfrac{\ln \left(\alpha_{n}^2 + 1\right)}{2n}$ pour d\'eterminer la limite de cette suite.
\end{enumerate}

\end{enumerate}






\pagebreak


\begin{center}
  \fbox{\Large\decofourleft\hfill Sujet 5\hfill\decofourright}
\end{center}





\noindent \textbf{Exercice 1 :\hfill 6 points}\\
D\'emonstration de cours
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que : pour tout $x \in [0~;~+\infty[,~ \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}\geqslant 1$.

\item  En d\'eduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire}
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[g(x)= 2\text{e}^x - x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.
\item  \'Etudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations.
\item  On admet que l'\'equation $g(x)= 0$ a exactement deux solutions r\'eelles.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que $0$ est l'une de ces solutions.
\item  L'autre solution est appel\'ee $\alpha$. Montrer que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.
\end{enumerate}
\item  D\'eterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du r\'eel $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le m�me signe.\\
\'Etudier le sens de variation de $f$.
\item  Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$, o\`u $\alpha$ est d\'efini dans la partie B.\\
En d\'eduire un encadrement de $f(\alpha)$. (On rappelle que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.)
\item  \'Etablir le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), repr\'esentative de $f$ dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique 2 cm).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 :\hfill 5 points}\\
\`A traiter par les \'el\`eves n'ayant pas choisi l'option math\'ematiques
\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie A :} Lectures graphiques
 
 \vspace{0,5cm}
 
\noindent \psset{xunit=1.75cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-5)(5,2)
\psplot[plotpoints=1000]{-1.625}{5}{x 1 add 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000]{-1.465}{5}{ 1 x 2 exp sub  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](3,0.7){$\mathcal{C}$} \uput[d](3,-0.4){$\Gamma$}
 \end{pspicture}

\noindent On donne dans un rep\`ere orthogonal les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ repr\'esentatives de deux fonctions d\'efinies et d\'erivables sur $\R$. On sait que l'une de ces fonctions est la fonction d\'eriv\'ee de l'autre, on peut donc les noter $g$ et $g'$.
\begin{enumerate}
\item  Associer \`a chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa repr\'esentation graphique. On justifiera le r\'esultat en donnant un tableau o\`u figurera sur l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~5\right]$
 le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$.
\item   Quel est le coefficient directeur de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit l'\'equation diff\'erentielle (E) : $y' + y = 2(x + 1)\text{e}^{-x}$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f_{0}$ d\'efinie sur $\R$ par $f_{0}(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'\'equation (E).
\item  R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E$'$) : $y' + y = 0$.
\item  Soit $u$ une solution de (E$'$). Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de (E).\\
On admettra que, r\'eciproquement, toute solution $f$ de (E) est de la forme $f = f_{0} + u$ o\`u $u$ est une solution de (E$'$).\\
En d\'eduire, pour $x \in \R$, l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de (E).
\item  Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de (E), d\'eterminer $g(x)$ pour $x \in  \R$.
\item  D\'eterminer la solution $h$ de l'\'equation (E) dont la repr\'esentation graphique admet au point d'abscisse $0$ une tangente de coefficient directeur $0$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 :\hfill 5 points}\\
\`A traiter par les \'el\`eves ayant choisi l'option math\'ematiques\\
On consid\`ere deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.\\
On pose $S = x + y$ et $P = xy$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de m�me que $y$ et $S$.
\item  En d\'eduire que $S = x+y$ et $P = xy$ sont premiers entre eux.
\item  D\'emontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parit\'es diff\'erentes (l'un pair, l'autre impair).
\end{enumerate}
\item  D\'eterminer les diviseurs positifs de $84$ et les ranger par ordre croissant.
\item  Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.
\item  D\'eterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ v\'erifiant les conditions suivantes:
\[\left\{\begin {array}{l c r}
a+b&=&84\\
ab &=& d^3\\
\end{array}\right.  \text{avec}~ d = \text{PGCD}(a~�;~b)\]
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 :\hfill 4,5 points}\\
Commun \`a tous les \'el\`eves 

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item  R\'esoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'equation :
\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]
Les solutions seront not\'ees $z'$ et $z'', z'$ d\'esignant la solution dont la partie imaginaire est positive.\\
Donner les solutions sous forme alg\'ebrique puis sous forme exponentielle.
\item  Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{2007}$ sous forme exponentielle puis sous forme alg\'ebrique.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}\\
Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal direct \Ouv ; (unit\'e graphique : 2 cm).
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les points A d'affixe $1+ \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1- \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un m�me cercle de centre O dont on pr\'ecisera le rayon.\\
Tracer ce cercle puis construire les points A et B.
\item  On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_{1}$ de centre A et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_{2}$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$.\\
Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points.
\item  Soit I le milieu du segment [OB].
\begin{enumerate}
\item  Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ?
\item   Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$.\\
Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$
est \'egale \`a $3\sqrt{3} - \text{i}$.
\item   La conjecture \'emise \`a la question a est-elle vraie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 :\hfill 4,5 points}\\
Commun \`a tous les \'el\`eves\\
Un joueur ach\`ete 10 euros un billet permettant de participer \`a un jeu constitu\'e d'un grattage suivi d'une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilit\'e de
$\dfrac{1}{50}$ ou bien ne rien gagner.\\
G d\'esigne l'\'ev\`enement : \og Le joueur gagne au grattage \fg.\\
Il participe ensuite \`a une loterie avec le m�me billet. \`A cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200
euros, ou bien ne rien gagner.\\
L$_{1}$ d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur gagne 100 euros \`a la loterie \fg.\\
L$_{2}$ d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur gagne 200 euros \`a la loterie \fg.\\
P d\'esigne l'\'ev\`enement \og Le joueur ne gagne rien \`a la loterie \fg.\\
Si le joueur n'a rien gagn\'e au grattage, la probabilit\'e qu'il gagne 100 euros \`a la loterie est
$\dfrac{1}{70}$, et la probabilit\'e qu'il gagne 200 euros \`a la loterie est $\dfrac{1}{490}$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui pr\'ec\`edent.
\item   Calculer la probabilit\'e que le joueur ne gagne rien \`a la loterie, sachant qu'il n'a rien gagn\'e au
grattage. Compl\'eter l'arbre obtenu avec cette valeur.
\item   Au bout de chaque branche, indiquer le gain alg\'ebrique total du joueur, apr\`es grattage et loterie, d\'eduction faite du prix du billet.
\end{enumerate}
\item   En supposant le nombre de billets suffisamment grand pour que deux r\'esultats soient consid\'er\'es comme ind\'ependants.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e de ne rien gagner \`a ce jeu.
\item  Le joueur ach\`ete 10 billets, calculer la probabilit\'e pour qu'un ticket au moins soit gagnant \`a ce jeu.
\item  En utilisant votre calculatrice, combien doit-il acheter de billets pour avoir une probabilit\'e
strictement sup\'erieure \`a 0,5 de gagner ?
 \end{enumerate}
\item  On note $X$ la variable al\'eatoire qui repr\'esente le gain alg\'ebrique total du joueur, apr\`es grattage et loterie, d\'eduction faite du prix du billet.\\
La probabilit\'e de l'\'ev\`enement \og  X = 90 \fg{} est
$\dfrac{2}{125}$.\\
La probabilit\'e de l'\'ev\`enement \og X = 190 \fg{} est
$\dfrac{2}{250}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilit\'e que le joueur gagne 100 euros \`a la loterie, sachant qu'il a gagn\'e 100
euros au grattage, est \'egale \`a $\dfrac{1}{10}$.
\item  Calculer la probabilit\'e que le joueur ne gagne rien \`a la loterie, sachant qu'il a gagn\'e 100 euros au grattage.
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.
Calculer l'esp\'erance de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}


	\begin{center}

\psshadowbox{\textbf{\hspace{0,5cm}Examen de maturit\'e 2007 -- Suisse\hspace{0,5cm}}}


\normalsize

\textit{L\'utilisation de la calculatrice est autoris�e.}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill }\\

Soit le nombre complexe $z =  \alpha + \dfrac{1}{2}\text{i},~\alpha \in  \R_{+}$.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer en fonction de  $\alpha$ le module et l'argument de $z$ ainsi que de $z^n,~n \geqslant 1$.
\item  Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha$  la suite des nombres complexes $z,~ z^2,~ z^3,~ . . . ,\\ z^n,~ . . . $,
repr\'esent\'es dans le plan de Gauss, se rapproche-elle de l'origine ? s'\'eloigne-t-elle de
l'origine ? reste-t-elle \`a distance constante de l'origine ?
\item  D\'eterminer la plus petite valeur de $\alpha$  strictement positive pour laquelle le nombre $z^6 \in \R$.\\

\emph{Pour la suite de cette premi\`ere partie, on pose}  $\alpha = \dfrac{1}{2}$.

\item  D\'eterminer $n_{0} \in N^*$ tel que pour tout $n > n_{0},~ z^n$ est situ\'e \`a l'int\'erieur du disque
centr\'e \`a l'origine et de rayon $r = \dfrac{1}{100}$.
\item  Calculer en fonction de $n$ le module de $z^{n+1} - z^n = z^n(z - 1)$. Que repr\'esente g\'eom\'etriquement ce module ?
\item  D\'emontrer que la suite des longueurs des segments $\left[z^n z^{n+1}\right]$ est une suite g\'eom\'etrique
puis calculer la longueur de la ligne polygonale $\left[z z^2 z^3... z^n\right]$ lorsque $n$ tend vers infini.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill }\\
Les fonctions $f(x)$ et $g(x)$ poss\`edent les propri\'et\'es suivantes :
\begin{enumerate}
\item  La fonction $f(x)$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $2xy' - 3y = 0$.
\item  La fonction $g(x)$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $y'' = 2$.
\item  Les courbes repr\'esentatives des fonctions $f(x)$ et $g(x)$ se coupent au point I(4 ; 8).
\item  La pente de la tangente \`a la courbe repr\'esentative de la fonction $g$(x) au point I est \'egale \`a 10.\\
D\'eterminer les fonctions $f(x)$ et $g(x)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill }\\
On donne les quatre points A(-6 ~;~ 1 ~;~ 2), B(-3 ~;~ 5 ~;~  5), C(-2 ~;~ -2 ~;~ 1) et \\D(8~;~-1~;~ 1) ainsi que la
droite $a : \left\{\begin{array}{l c l}
 x &=& 5 + 2t\\
y &=& -1 + 2t\\
z &=& 4 - t\\
\end{array}\right.$\\
On note $\pi$ le plan (ABC), K le cylindre d'axe $a$ et de rayon 3, et
enfin  $\alpha$ d\'esigne le plan d'\'equation : $-x + 2y + 2z + 8 = 0$.
\begin{enumerate}
\item  \'Ecrire l'\'equation cart\'esienne du plan $\pi$.
\item  Calculer l'angle form\'e par la droite $a$ et le plan $\pi$.
\item  Montrer que le point D appartient au cylindre K.
\item  D\'eterminer l'\'equation de la sph\`ere $\Sigma$ tangente int\'erieurement au cylindre K en un cercle passant par le point D.
\item  Montrer que le plan   contient le point D et qu'il est tangent au cylindre K.
\item  Calculer les coordonn\'ees du point I qui est l'intersection de la g\'en\'eratrice du cylindre K passant par D et du plan $\pi$.
\item  \'Ecrire une repr\'esentation param\'etrique de la droite $t$ contenue dans le plan $\pi$ et tangente
au cylindre K au point I.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 \hfill }\\
Une urne contient $10$ boules noires et $n$ boules rouges. L'exp\'erience $\mathcal{E}$ consiste \`a tirer simultan\'ement 2 boules de l'urne. On note $p_{1}$ la probabilit\'e d'obtenir deux boules de couleur
diff\'erente, $p_{2}$ la probabilit\'e d'obtenir deux boules noires et $p_{3}$ la probabilit\'e d'obtenir deux boules rouges.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'e $p_{1}$ peut \?etre exprim\'ee par $p_{1} = \dfrac{20n}{n^2+19n+90}$.
\item  Pour une mise de $5$~francs, un joueur peut r\'ealiser l'exp\'erience E. Le joueur gagne $10$~francs s'il obtient deux boules de couleur diff\'erente et ne gagne rien dans les autres cas.\\
 D\'eterminer les valeurs de n pour lesquelles le jeu est favorable au joueur.\\
 
\noindent \emph{Pour la suite du probl\`eme, on pose} $n = 5$.
\item  Calculer les probabilit\'es $p_{1},~ p_{2}$ et $p_{3}$.
\item  L'exp\'erience $\mathcal{E}$ est r\'ealis\'ee 4 fois (on remet dans l'urne les deux boules tir\'ees apr\`es
chaque exp\'erience). Calculer la probabilit\'e des \'ev\`enements suivants.
A :  \og Obtenir exactement 3 fois deux boules noires. \fg
B :  \og Obtenir exactement 2 fois deux boules noires et 1 fois deux boules rouges. \fg
C : \og Exactement 3 boules rouges ont \'et\'e sorties de l'urne au cours des quatre exp\'eriences. \fg
D : \og Obtenir exactement une fois deux boules rouges sachant qu'exactement deux exp\'eriences ont donn\'e deux boules de couleur diff\'erente. \fg
\item  Combien de fois faut-il r\'ealiser l'exp\'erience $\mathcal{E}$ pour que la probabilit\'e d'obtenir au moins une fois deux boules de couleur diff\'erente soit sup\'erieure \`a $0,99$ ?
\item  L'exp\'erience $\mathcal{E}$ est r\'ealis\'ee $150$ fois. \\Calculer une valeur approximative de la probabilit\'e
d'obtenir entre $70$ et $80$ fois deux boules de couleur diff\'erente (bornes comprises) en justifiant votre m\'ethode de calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}

\psshadowbox{\textbf{\hspace{0.75cm}Examen d'admission \'Ecole polytechnique\hspace{0.75cm}
}}\\
Facult\'e de Sciences Appliqu\'ees Universit\'e libre de Bruxelles

\normalsize

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item 
 R\'esoudre dans IR l'\'equation
\[2^{4x+3} + 3\left(4^x\right) - 2^{-1} = 0.\]	
\bigskip
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer les valeurs r\'eelles des param\`etres $a,~ b,~ c$ pour que le polyn\^ome
$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + ax + c$
soit divisible par $1 - x^2$.
		\item Pour les valeurs des param\`etres trouv\'ees ci-dessus :
		\begin{enumerate}
			\item  d\'eterminer le quotient de la division du polyn\^ome $P$ par $1 - x$ ;
			\item factoriser $P$ au maximum dans $\R$
			\item factoriser $P$ au maximum dans $\C$ ; en d\'eduire les racines complexes de ce polyn\^ome et les repr\'esenter dans le plan de Gauss.
 		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	\bigskip
 
\item Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ d\'efinie par
\[f(x) = \sqrt{|x|}\text{e}^{-x^2}\]
et $\mathcal{C}$ la courbe d'\'equation $y = f(x)$ ($\mathcal{C}$ est le graphe de $f$).
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction $f$ est-elle d\'erivable en $0$ ? Justifier (utiliser la d\'efinition de la d\'eriv\'ee).
		\item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
		\item D\'eterminer une \'equation cart\'esienne de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
		\item \'Etablir le tableau des variations de $f,~ f'$ et $f''$ contenant
	\begin{itemize}
		\item  les racines de $f,~ f'$ et $f''$ ;
		\item les signes de $f'(x)$ et de $f''(x)$ ;
		\item les extremums de $f$, les domaines de croissance et de d\'ecroissance de $f$ ;
		\item les points d'inflexion de $f$ et les domaines de concavit\'e vers le haut et vers le bas de $f$
	 \end{itemize}
		\item Tracer soigneusement la courbe $\mathcal{C}$ d'apr\`es les r\'esultats du d.
	\end{enumerate}	\bigskip
 
\item Soient $f$ et $g$ les fonctions de $R$ dans $R$ d\'efinies par
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}, \qquad  g(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note
\[I = \int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x, \quad  J =\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(x) + g(x)$, en d\'eduire $I + J$ (sans calculer $I$ ni $J$).
		\item  Calculer $J$ et en d\'eduire $I$.
		\item D\'emontrer que pour tout $x \in \R^+ ~:~ f(x) \leqslant  g(x)$.
		\item Calculer l'aire du domaine 
		$D  = \{(x~;~ y) \in  \R^2|0 \leqslant x \leqslant 1,~ f(x) \leqslant y \leqslant g(x)\}$.
	\end{enumerate}
	\bigskip
	 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $n \in \N$. Calculer 
		\[\int_{0}^n  [x]\:\text{d}x\]
o\`u $[x]$ est le plus grand entier inf\'erieur ou \'egal \`a $x$.
		\item Soit $t \in \R^+$. Calculer
		\[\int_{0}^t  [x]\:\text{d}x\]
\textbf{Indication :} $[t] \leqslant t < [t] + 1$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation
\[8x^4 - 8x^2 + 1 = 0.\]
		\item R\'esoudre l'\'equation $\cos 4z = 0$.
		\item D\'eduire de a. et b. la valeur de $\cos \dfrac{\pi}{8}$  et $\cos \dfrac{3\pi}{8}$.
	\end{enumerate}
	

\textbf{Partie I}\\
Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e d'origine O et d'axes $X$ et $Y$ , on donne les
points A(2 ; 0) et B(0 ; 1). Une droite mobile de coefficient angulaire $k$ coupe l'axe $X$ au point $P$ et l'axe $Y$ au point $Q$.
	\begin{enumerate}
		\item  d\'eterminer une \'equation cart\'esienne du lieu g\'eom\'etrique du point $M$ d'intersection
des droites A$Q$ et B$P$ ;
		\item discuter la nature de ce lieu g\'eom\'etrique en fonction de $k$ ;
		\item construire ce lieu pour $k = - 2$ (faire une figure en prenant comme unit\'e $2$~cm) ;
		\item construire ce lieu pour $k = 2$ (faire une figure en prenant comme unit\'e $2$~cm).
 	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\item \noindent \textbf{Partie II} Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e d'origine O et d'axes $X,~ Y$ et $Z$, on donne
le point P(0 ; 3 ; 4).
	\begin{enumerate}
		\item  \'etablir des \'equations cart\'esiennes de la droite $d$ parall\`ele \`a O$X$, passant par $P$ ;
		\item \'etablir une \'equation cart\'esienne du plan contenant $d$ et l'axe O$X$ ;
		\item d\'eterminer les coordonn\'ees des sommets Q et R du carr\'e OPQR, sachant que Q est
sur $d$ et que son abscisse est positive ;
		\item \'etablir des \'equations param\'etriques de la perpendiculaire $p$ au plan du carr\'e passant
par le centre de celui-ci ;
		\item d\'eterminer les coordonn\'ees des points S et S$'$, sommets des pyramides droites dont
le carr\'e est la base et dont les hauteurs mesurent cinq unit\'es de longueur ;
		\item d\'eterminer le cosinus de l'angle aigu des ar\^etes SO et SP, une \'equation cart\'esienne
du plan OPS, la longueur de l'ar\^ete OS ainsi que le volume du poly\`edre de sommets
OPQRSS$'$.
 	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\noindent \textbf{Partie III}
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer le barycentre de deux points distincts A et B de masses respectives $2$ et
$-1$.
		\item D\'eterminer le barycentre G de trois points non align\'es, A, B, C, affect\'es de masses
\'egales et le barycentre G$'$ de ces m\^emes points affect\'es de masses respectives $1,~ 1$ et $-1$.
		\item Soit $M$ un point quelconque du plan ABC.\\ Exprimer, en tenant compte des r\'esultats
du 2. les sommes vectorielles suivantes : $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}$ et $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}$.
		\item D\'eterminer le lieu des points $M$ tels que les sommes vectorielles consid\'er\'ees au 3.
soient des vecteurs orthogonaux.
 	\end{enumerate}

\end{enumerate}





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