\documentclass[xcolor=hyperref,hyperef={naturalnames,pdfpagelabels},french]{beamer}
\usepackage{etex}
\usepackage[beamer]{preambuleTrm}

\usepackage{movie15}
%\usepackage{multimedia}
\usepackage{tikz}
 \usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing} 
\usepackage{ulem,movie15,amscd}
\usepackage{blkarray}
\usepackage[xcas]{pro-mat}

\renewcommand\mat[1][]{\ensuremath{{\rm mat}_{\BR#1}}}

\newcommand\mn[1][3]{ \ensuremath{\mathfrak{M}_{#1}(\bbr)\ }}


\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{red}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{red},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{0.9white}}

\graphicspath{{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}

%\logo{\includegraphics[scale=0.25]{osteo2}}

\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Quelques outils mathématiques pour étudier le mouvement d'un bras de robot}

\subtitle{Algèbre - Géométrie INFO2}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

%\institute{OSTÉOBIO}% (optional, but mostly needed)

\institute{\textsc{IUT} de Nantes - Dpt d'informatique }
\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{\today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\setcounter{tocdepth}{2}



\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}





\begin{document}




\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}





\section{De l'homme au robot}


\begin{frame}
Voici  une  figure extraite  d'un  article  de  la revue  \emph{Clinical
  Biomechanics}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6.5cm]{skelet1}\caption{Équivalent   cinématique
    du système thorax/humérus/avant-bras} 
\end{center}\label{skelet1}
\end{figure}
\end{frame}


% \begin{frame}
%   Les auteurs %\citep{clinical} 
% mettent en avant la nécessité d'une modélisation
% mathématique d'un système anatomique en mouvement. 

% \pause

% Cette  modélisation doit  ensuite être  complétée par  la  définition de
% systèmes de coordonnées en 2D~:

% \end{frame}


% \begin{frame}
%   \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=6cm]{skelet4}\caption{Description  de systèmes
%     de coordonnées 3D pour l'humérus} 
% \end{center}\label{skelet4}
% \end{figure}
% \end{frame}






\section{Robot plan}



\subsection{Deux degrés de liberté}

\begin{frame}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{stickman1}\caption{L'homme~:~première version}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{robotCours1b}
\caption{Mouvement d'un bras à 2 degrés de liberté\label{dl2}}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}


\subsection{Trois degrés de liberté}



\begin{frame}
  


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{saint}\caption{L'homme~:~deuxième version\label{saint}}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}






\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.95]{robotCours2b}

\caption{Mouvement d'un bras à 3 degrés de liberté\label{dl3}}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}




\subsection{Y a-t-il unicité du mouvement~?}


\begin{frame}
  

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.9]{robotCours3b}
\caption{Mouvement  d'un   bras  à  3   degrés  de  liberté   :  version
  alternative vers la même position finale\label{dl4}}
\end{center}
\end{figure}


\end{frame}




\begin{frame}
  

\begin{alertblock}{Attention}
  La connaissance  de l'état final  et de l'état  initial ne suffit  pas à
connaître le mouvement qui a conduit de l'un à l'autre de manière précise.
\end{alertblock}
\end{frame}





% \begin{frame}
%   \begin{center}
%    \includemovie[externalviewer,autostart,poster=bras_articule.jpeg]{0.9\textwidth}{0.9\textheight}{bras_articule.avi}
% \end{center}
% \end{frame}



\subsection{Mouvements relatifs}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{robotCours4b}
\caption{Mouvement d'un bras à 3  degrés de liberté : repères permettant
  de décrire les mouvements relatifs\label{dl5}}
\end{center}
\end{figure}



Pouvez-vous devinez la trajectoire de P dans le repère $\oijn[E]{1}$~?


\end{frame}





\section{Mouvement à 6 degrés de liberté}




\begin{frame}
  Fermez  les  yeux et  regardez  un de  vos  bras.  Pour schématiser,  on
considèrera  comme  origine  la   fixation  supérieure  de  l'humerus  à
l'épaule.  Faites-le bouger les yeux toujours fermés et
faites la liste des mouvements, degrés de libertés, repères mobiles.

\end{frame}

\begin{frame}
  Tendez votre  bras au maximum  et imaginez la  demi-sphère approximative
que  vous pouvez atteindre  en faisant  bouger votre  bras au  niveau de
l'épaule. Pouvez-vous  atteindre n'importe  quel point à  l'intérieur de
cette demi-sphère en faisant fonctionner toutes les articulations~?

\end{frame}


\begin{frame}
  Imaginez  maintenant que  le coude  soit rendu  rigide (une  rotation en
moins), disons  dans une  position où l'humerus  et l'avant-bras  sont à
angle droit~:~pouvez-vous vous  gratter sous les aisselles~? Pouvez-vous
saisir le livre posé verticalement sur votre table~?

\end{frame}



\begin{frame}
  Toujours avec  ce handicap, imaginez  que vous disposiez d'une  pince au
bout d'une  tige télescopique dont  vous pouvez animer  le moteur~:~cela
arrange-t-il  vos  affaires~?   Comment  décrire  ce  nouveau  mouvement
élémentaire~? 

\end{frame}



\section{Déplacement d'un solide dans l'Espace}

\subsection{Définition}


\begin{frame}
On peut montrer (et  nous l'admettrons) que tout \emph{déplacement} dans
l'espace est 

\begin{itemize}
\item soit une \emph{translation} ;
\item soit une \emph{rotation} ;
\item  soit une \emph{rotation}, soit une \emph{composée}
de translations et de rotations. 
\end{itemize}
\end{frame}
 




\begin{frame}
  \begin{definition}[Déplacement]
     Un déplacement est une transformation de l'Espace qui conserve les distances et
    les angles orientés.
Intuitivement, on prend un objet et on le \emph{déplace} sans le déformer.
  \end{definition}
\end{frame}



\subsection{Déplacements \og simples\fg{}}






\begin{frame}
   \begin{definition}[translation]
      Une  translation   est  un   déplacement  qui  consiste   à  faire
      \emph{glisser} un solide sans changement de
      direction, de sens, de longueur. 
      \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{translation1}
\caption{Translation dans l'espace}\label{trans1}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{alertblock}{Translation non rectiligne}
     Dans  l'esprit  de trop  d'étudiants,  translation  est synonyme  de
    translation  rectiligne mais  attention! Le  solide suivant  est en
    translation :
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{translation2}
\caption{Translation dans l'espace}\label{trans2}
\end{center}
\end{figure}
  \end{alertblock}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{definition}[rotation]
     Une rotation  dans l'Espace  est définie par  la donnée d'un  \emph{axe} et
    d'un  \emph{angle}. Le  solide  \og tourne\fg{}  alors d'un  certain
    angle autour d'un certain axe. 
  \end{definition}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6.7cm]{rotation1}
\caption{Rotation dans l'espace}\label{rot1}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\subsection{Déplacements composés}



\subsubsection{Composée de deux rotations}

\begin{frame}
  
On part d'un domino~:

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6.7cm]{domino0}
\caption{Domino}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}




\begin{frame}
  
On effectue une rotation  d'axe $(Oz)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ suivie
d'une rotation  d'axe $(Oy)$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$.

\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{domino1}
\caption{Rotation d'axe $(Oz)$ suivie d'une rotation d'axe $(Oy)$}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}








\begin{frame}
  
On inverse l'ordre des rotations

\end{frame}


\begin{frame}  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{domino2}
\caption{Rotation d'axe $(Oy)$ suivie d'une rotation d'axe $(Oz)$}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\subsubsection{Composée de d'une rotation et d'une translation}





\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{vissage1}
\caption{Translation suivie d'une rotation}\label{vis}
\end{center}
\end{figure}


\end{frame}







\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{vissage2}
\caption{Même rotation suivie de la même translation}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}




\subsubsection{Cas particulier du vissage}



\begin{frame}
  \begin{definition}
    Un vissage  est la composée  d'une rotation et d'une  translation de
    vecteur de même direction que celle de l'axe de la rotation.
  \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{vissage4}
\caption{Vissage~:~translation suivie de rotation}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{vissage3}
\caption{Vissage~:~rotation suivie de translation}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}




% \subsection{Déplacement dans le corps humain}


% \begin{frame}
%   \begin{center}
%    \includemovie[externalviewer,autostart,poster=courbures_dynamiques.jpeg]{0.5\textheight}{\textheight}{courbures_dynamiques.avi}
% \end{center}
% \end{frame}

% \begin{frame}
%   \begin{center}
%    \includemovie[externalviewer,autostart,poster=courbures_dynamiques2.jpeg]{86pt}{168pt}{courbures_dynamiques2.avi}
% \end{center}
% \end{frame}

\section{Exercices}


\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
    En  utilisant  des  objets  géométriques  simples  (sphères,  cylindres,
pavés, etc.)  donnez au moins un  exemple de solide ayant  $k$ degrés de
liberté avec $k$ un entier compris entre 0 et 6.

Par exemple, une boule posée sur un plan a 5 degrés de liberté.
  \end{block}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{block}{Jokers}
    
\begin{description}
\item[4 degrés de liberté] plan-cylindre~;
\item[3  degrés  de  liberté]   plan-plan,  rotule  (sphère  pivotant  à
  l'intérieur d'un bloc)~;
\item[2 degrés de liberté] verrou~:~cylindre glissant à l'intérieur d'un
  bloc~;
\item[1 degré de liberté] glissière (une translation) ou rotoïde (une rotation).
\end{description}

  \end{block}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
    Vous êtes  immobile, debout,  les bras le  long du corps.  Vous faites
  glisser votre main vers le haut le long du corps supposé vertical. Comment décrire
  le mouvement de votre coude par rapport à un de vos orteils supposé fixe~?
  \end{block}
\end{frame}



% \begin{frame}
%   \begin{block}{Exercice}
%  On  effectue   une  rotation  de  30\textdegree{}   autour  de  chaque
%   axe (dans l'ordre $(Ox)$ puis $(Oy)$ puis $(Oz)$)~:~esquissez la position finale dans chaque cas. 

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=6cm]{local_global}
% \end{center}
% \end{figure}
%   \end{block}
% \end{frame}




% \begin{frame}
%   \begin{block}{Exercice}
% Le crâne est translaté \og vers le bas\fg{}. Décrivez le mouvement de C6
% dans le repère absolu puis dans un repère lié à C7.
% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=6cm]{relatif_absolu}
% \end{center}
% \end{figure}

%   \end{block}
% \end{frame}






% \begin{frame}
%   \begin{block}{Exercice}
% On met le  rachis en charge~:~décrire le mouvement  de chaque vertèbre
%   dans le repère fixe lié au bassin puis dans celui lié à L3.


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=6cm]{rachis}
% \end{center}
% \end{figure}
%   \end{block}
% \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
 Les  six  dés étaient  dans  la même  position  au  départ (celle  qui
  correspond à la rangée du bas).

On considère les trois rotations d'angle 90\textdegree{} liées au repère
mobile d'origine le centre du dé et d'axes perpendiculaire aux faces \og
un\fg{}, \og deux\fg{} et \og trois\fg{}.

De combien de façons peut-on combiner ces rotations~?

Le premier dé  en haut à gauche  a subi trois rotations, le  second à sa
droite  en a  subi deux  et les  autres aucune.  Déterminer la  \og face
finale\fg{} de chaque combinaison de trois rotation.


\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice (suite)}

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{des}
\end{center}
\end{figure}

  \end{block}
\end{frame}


\section{Vecteurs et déplacement}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{chemin}
\caption{Déplacement et vecteur}\label{vect}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}


\section{Base et repère}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{figIni3db.3}\caption{\label{base}Décomposition
    d'un vecteur dans une base}
\end{center}
\end{figure}


\end{frame}



\begin{frame}
\begin{theorem}[base de l'Espace]
    Soit  $\ve{e_1}$ et $\ve{e_2}$  deux vecteurs  non colinéaires~:~ils
    définissent un plan vectoriel.  Soit $\ve{e_3}$ un troisième vecteur
    n'appartenant pas à ce plan  vectoriel, alors la famille de vecteurs
    $\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$ 
    forme une BASE de l'Espace et pour n'importe quel vecteur $\ve{u}$
    de l'Espace, il existe trois nombres $(x,y,z)$ tels que

\[\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}\]

Les nombres $x$, $y$ et $z$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{u}$ dans
la base $\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$.
    \end{theorem}

\end{frame}



\begin{frame}
  \frametitle{Repère orthonormé direct}
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{repere2}
\caption{Repère orthonormé direct}\label{ron}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\section{Matrices}

\subsection{Matrice d'une application linéaire}


\begin{frame}
  \frametitle{Application linéaire}

\[f\pav{\ve{u}+\ve{v}}=f\pav{\ve{u}}+f\pav{\ve{v}}\quad  \text{pour tous
  vecteurs }\ve{u}\text{ et }\ve{v}\]

\[f\pav{\alpha   \ve{u}}=\alpha   f\pav{\ve{u}}\qquad\text{pour   tout
  vecteur $\ve{u}$ et tout nombre réel $\alpha$}\]

\pause


Donc si \[\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+ z \ve{e_3}\] 


\pause

alors 

\[f\pav{\ve{u}}=x f\pav{\ve{e_1}}+y f\pav{\ve{e_2}}+ z f\pav{\ve{e_3}}\]




\end{frame}




\begin{frame}
  
\[ \begin{blockarray}{cccc}
        f\pav{\ve{e}_1}
                &  f\pav{\ve{e}_2}  &  f\pav{\ve{e}_3}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        a_{11} & a_{12}  & a_{13} & \ve{e_{1}}  \\
        a_{21} & a_{22} & a_{33}& \ve{e_{2}} \\
        a_{31} & a_{32}  & a_{33} & \ve{e_{3}}  \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        \]



\pause

Cela traduit par exemple le fait que~:

\[
f\pav{\ve{e_1}}=a_{11} \ve{e_1}+a_{21} \ve{e_2}+ a_{31} \ve{e_3}
\]

\end{frame}

\subsection{Produit de matrices}


\subsubsection{Produit de deux matrices \og carré\fg{}}
\newlength{\myunit}
\setlength{\myunit}{.9cm}

%1

\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  b_{12}& b_{13}  \\ 
  b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 
  b_{31} & b_{32} & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);

\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}




%2



\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);

\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2)%
      node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
% \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2)%
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
% \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2)%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}












%4






\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2)%
      node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2)%
       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
% \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2)%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}


%5






\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2)%
      node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2)%
       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2)%
       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}



%6






\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2)%
      node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
\draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2)%
      node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
\draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2)%
      node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
\draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
                  to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
                  %
                  % to (C-3-3.north west);
\draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


\end{frame}



\subsubsection{Produit d'une matrice \og carré\fg{} et d'une matrice \og colonne\fg{}}


\begin{frame}[fragile]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
   \node[node style sp] {b_{11}};  \\ 
  \node[node style sp] {b_{21}};  \\ 
  \node[node style sp] {b_{31}};   \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$1$ colonne}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11}  \\ 
   \node[node style sp,red] {c_{21}}; \\ 
  c_{31} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$1$ colonne}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-1.south);
\draw[blue] (B-1-1.west)  -- (C-2-1.west);
\draw[blue] (B-1-1.east)  -- (C-2-1.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-1)%
      node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
\draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-1)%
      node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
\draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-1)%
      node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
\draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
                  to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
                  %
                  % to (C-3-3.north west);
\draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-1.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{frame}

\section{Rotations, translations et bases}


\subsection{Translation}

\begin{frame}
  
Notons $\ve{v}$  le vecteur de  la translation de  coordonnées $(a,b,c)$
dans une base orthonormée.

On obtient immédiatement que~:
\pause


\begin{center}
  \begin{align*}
    t\pav{\ve{e_1}}&=\ve{e_1}+\ve{v}=\ve{e_1}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
    \ve{e_3}=(1+a)\ve{e_1}+b \ve{e_2}+c \ve{e_3}\\
    t\pav{\ve{e_2}}&=\ve{e_2}+\ve{v}=\ve{e_1}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
    \ve{e_3}=a\ve{e_1}+(1+b) \ve{e_2}+c \ve{e_3}\\
    t\pav{\ve{e_1}}&=\ve{e_1}+\ve{v}=\ve{e_3}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
    \ve{e_3}=a\ve{e_1}+b \ve{e_2}+(1+c) \ve{e_3}\\
  \end{align*}
\end{center}


\end{frame}

\begin{frame}
  


 \[ \begin{blockarray}{cccc}
     t\pav{\ve{e}_1}&  t\pav{\ve{e}_2}  &  t\pav{\ve{e}_3}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        1+a & a & a   & \ve{e_1}  \\
        b & 1+b  & b   & \ve{e_{2}} \\
        c & c & 1+c & \ve{e_{3}} \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        \]
\end{frame}


\subsection{Rotation}


\begin{frame}
  
Dans un premier temps, nous étudierons une rotation d'axe $\ve{e_3}$.




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{rotation2}
\caption{Rotation d'un vecteur}\label{rot2}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}
  
On observe que $\ve{e_3}$ est invariant
car il a la même direction que l'axe de rotation.

Il  suffit  donc  de  se  placer  dans le  plan  $\pav{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  et  de
déterminer les images des deux vecteurs de base.

\end{frame}

\begin{frame}
  

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{rotation3}
\caption{Projection orthogonale de la rotation d'un vecteur}\label{rot3}
\end{center}
\end{figure}

\pause



\begin{center}
\begin{align*}
\ve{e'_1}&=\cos\theta \ve{e_1}+\sin\theta \ve{e_2}\\
\ve{e'_2}&=\cos\pav{\theta+\frac{\pi}{2}}\ve{e_1}+\sin\pav{\theta+\frac{\pi}{2}}\ve{e_2}=\sin\theta\ve{e_1}+\cos\theta \ve{e_2}\\
\end{align*}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
  
\[ \begin{blockarray}{cccc}
     r\pav{\ve{e_1}}&  r\pav{\ve{e_2}}  &  r\pav{\ve{e_3}}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0   & \ve{e_{1}}  \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0   & \ve{e_{2}} \\
        0          &          0  & 1   & \ve{e_{3}} \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        \]
\end{frame}

\section{Rotations et calcul matriciel}

\subsection{Détermination de l'image d'un vecteur}

\begin{frame}
  
Soit  $\ve{u}$ un vecteur  de coordonnées  $(x,y,z)$. Cela  signifie que
$\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}$.

Soit $r$ la rotation d'axe $\ve{e_3}$ et d'angle $\theta$.

\end{frame}


\begin{frame}
  

On obtient alors que~:
\begin{center}
  \begin{align*}
    r(\ve{u})&=x r\pav{\ve{e_1}}+y r\pav{\ve{e_2}}+z r\pav{\ve{e_3}}\\
             &=x
             \pav{\cos(\theta)\ve{e_1}+\sin(\theta)\ve{e_2}}+y\pav{-\sin(\theta)\ve{e_1}+\cos(\theta)\ve{e_2}}+z
             \ve{e_3}\\
            &=(x\cos(\theta)-y\sin(\theta))\ve{e_1}+(x\sin(\theta)+y\cos(\theta))\ve{e_2}+z \ve{e_3}
  \end{align*}
\end{center}

\end{frame}





\begin{frame}
  
Notons     $R$     la     matrice     de    $r$     dans     la     base
canonique
et  $U$ la  matrice colonne  des coordonnées  de $\ve{u}$  dans  la base
canonique.
Calculons $R\times U$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  
\begin{promat}
promat([[cos(theta),-sin(theta),0],[sin(theta),cos(theta),0],[0,0,1]],[[x],[y],[z]],[["R","U","R\\times U"]])
\end{promat}
\end{frame}





\subsection{Généralisation}

\begin{frame}
\begin{block}{Propriété~:~expression matricielle de l'image d'un vecteur}
 Soit M la matrice d'un déplacement dans une certaine base $\BR$ de
    $\bbr^3$.

Soit  $U$  la  matrice  colonne  des coordonnées  d'un  certain  vecteur
$\ve{u}$ dans cette base.

Alors la  matrice colonne des coordonnées de  $f\pav{\ve{u}}$ dans cette
base vaut~:
\[{\rm mat}_{\BR}f\pav{\ve{u}}=M\times U\]

\end{block}
\end{frame}


\subsection{Matrice d'une composée}

\begin{frame}
  \begin{block}{Retenir~:~composée d'applications}
 On note  $\f \circ  g$ l'application composée  de $g$ suivie  de $f$
    (attention à l'ordre~!).

Ainsi,  $\f  \circ  g(x)=f\big(g(x)\big)$~:~on  calcule $g(x)$  puis  on
calcule l'image par $f$ du vecteur obtenu.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  

Considérons deux déplacements $f$ et $g$. 

\pause

Notons $M={\rm mat}_{\BR}f$, $N={\rm mat}_{\BR}g$ et 
$U={\rm mat}_{\BR}\ve{u}$.

\pause

 Or 
\[f\circ g\pav{\ve{u}}=f\Big(g\pav{\ve{u}}\Big)\]

donc

\pause

\[{\rm mat}_{\BR}f\circ g\pav{\ve{u}}=M\times (N\times   U)=(M\times N)\times U\]

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Propriété~:~expression matricielle de la composée de deux
    applications linéaires}
 Soit M la matrice d'un déplacement dans une certaine base $\BR$ de
    $\bbr^3$.

 Soit N la matrice d'un déplacement dans la même  base.



Alors~:
\[{\rm mat}_{\BR}f\circ g=M\times N\]

En particulier, avec les notations habituelles, 


\[{\rm mat}_{\BR}f\circ g\pav{\ve{u}}=(M\times N)\times U\]

  \end{block}
\end{frame}


\section{Inverse d'une matrice}


\subsection{Notion d'inverse}

\begin{frame}
  un  nombre non nul
admet un  inverse \emph{pour la  multiplication des nombres  réels} signifie  que pour tout réel non  nul $x$, il existe  un nombre réel
non nul $x^{-1}$ tel que $x\times  x^{-1}=1$. On dit alors que ce nombre
est \emph{inversible pour la multiplication des réels}.
\end{frame}


\subsection{Matrice identité}

\begin{frame}
  
Il est aisé de vérifier que $\begin{pmatrix}1&0&0\\
                                            0&1&0\\
                                            0&0&1\end{pmatrix}$       est
l'élément neutre du produit des matrices. Notons $I_3$ cette matrice.

\pause

Chercher l'inverse  d'une matrice $M$, c'est donc  déterminer la matrice
$M^{-1}$,    {\bf    si    elle    existe},    telle    que    $M\times
M^{-1}=I_3$.
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{definition}[inverse d'une matrice]
    Une matrice $M$ est inversible dans $\mathfrak{M}_3(\bbr)$ si, et
    seulement  si,  il  existe  une  matrice notée  $M^{-1}$  telle  que
    \[M\times M^{-1}=M^{-1}\times M=I_3\]

On appelle alors $M^{-1}$ l'inverse de $M$ dans $\mathfrak{M}_3(\bbr)$.
    \end{definition}
\end{frame}



\subsection{Déterminant d'une matrice de $ \mathfrak{M}_2(\bbr)$}

\begin{frame}
   Deux vecteurs du plan de coordonnées
$(a,b)$  et  $(a',b')$  sont  colinéaires  si, et  seulement  si,  leurs
coordonnées sont proportionnelles.

\pause

 Il  existe donc un réel $\lambda$ tel
que $a=\lambda a'$ et $b=\lambda b'$ 

\pause

\[ab'-a'b=\lambda ab-\lambda ab=0\]

\pause

On appelle  \emph{déterminant} de  la matrice $A=\begin{pmatrix}  a & a'\\  b &
  b'\\ \end{pmatrix}$ le nombre $ab'-a'b$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  

\renewcommand{\myunit}{0.7 cm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-1.65,0) { $\det(A)=$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |%
            ] at (0,0)
{%
 a & a'   \\ 
  b &b'\\  
}; 

% les barres
\draw[gray] (A-1-1.north west) -- (A-2-2.center);
\draw[gray](A-2-2.center)--(A-1-2.center);
\draw[gray](A-1-2.center)--(A-2-1.south west);
\node at (2,0) { $=ab'-a'b$};



 \end{tikzpicture} 
 \end{center}


\end{frame}





\subsection{Déterminant d'une matrice de $ \mathfrak{M}_3(\bbr)$}

\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-2.8,0) { $(-1)^{(1+1)}$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-1-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-1-1.east) -- (A-1-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
 \end{tikzpicture} 
 \end{center}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node at (-2.8,0) { $+(-1)^{(2+1)}$};




% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.east) -- (A-2-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);

\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);

\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
 \end{tikzpicture} 
 \end{center}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}



\node at (-2.8,0) { $+(-1)^{(3+1)}$};



% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-3-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-3-1.east) -- (A-3-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{frame}




\begin{frame}

\[\det(A)=
a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ 
       a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}-
a_{21}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ 
       a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}+
a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ 
       a_{22}& a_{23}\end{vmatrix}
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
 Calculons le déterminant de $A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1
\end{pmatrix}$
\end{example}
\end{frame}








\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-2.8,0) { $(-1)^{(1+1)}$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-1-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-1-1.east) -- (A-1-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
 \end{tikzpicture} 
 \end{center}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}



\node at (-2.8,0) { $+(-1)^{(2+1)}$};




% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.east) -- (A-2-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);

\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);

\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
 \end{tikzpicture} 
 \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node at (-2.8,0) { $+(-1)^{(3+1)}$};


% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-3-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-3-1.east) -- (A-3-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
  
\end{frame}



\begin{frame}
  
C'est-à-dire~:

\begin{align*}
\det(A)&=
1\times\begin{vmatrix}1&-2\\ 
       3& 1\end{vmatrix}-
2\times\begin{vmatrix}2&3\\ 
       3& 1\end{vmatrix}+
(-2)\times\begin{vmatrix}2&3\\ 
       1& -2\end{vmatrix}\\
&=(1+6)-2(2-9)-2(-4-3)\\
&=7+14+14\\
&=35
\end{align*}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{theorem}[déterminant d'une matrice inversible]
    Une matrice est inversible si,  et seulement si, son déterminant est
    non nul.
    \end{theorem}
\end{frame}



\section{Produit scalaire - Matrices orthogonales}
\subsection{Produit scalaire de deux vecteurs}

\begin{frame}
   \begin{definition}[produit scalaire]
    Dans  un repère orthonormé  de $\bbr^3$,  deux vecteurs  $\ve{v}$ et
    $\ve{v'}$   ont   pour    coordonnées   respectives   $(x,y,z)$   et
    $(x',y',z')$. 

On appelle \emph{produit  scalaire} de $\ve{v}$ et $\ve{v'}$  et on note
$\psv{v}{v'}$ le nombre réel~:


\[\psv{v}{v'}=xx'+yy'+zz'\]

    \end{definition}
\end{frame}


\subsection{Représentation matricielle}

\begin{frame}
  \begin{definition}[matrice transposée]
    On appelle transposée de la matrice $A$ et on note $\vphantom{}^{\rm
      t}A$
    la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes.
    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\  \end{pmatrix}\]
  \end{example}

\pause

\[
\vphantom{}^{\rm t}A=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\\ \end{pmatrix}
\]


\end{frame}

\begin{frame}
  
Soit $\ve{v}$ et $\ve{v'}$ deux vecteurs de représentations matricielles
respectives $V$ et $V'$ dans une certaine base orthonormée.

Pour obtenir  matriciellement le produit scalaire des  deux vecteurs, on
effectue le produit $V\times\tr V'$.

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{definition}[vecteurs orthogonaux]
    Deux  vecteurs sont orthogonaux  si, et  seulement si,  leur produit
    scalaire est nul.
    \end{definition}
\end{frame}


\subsection{Norme d'un vecteur}


\begin{frame}
  \begin{definition}[norme d'un vecteur]
    Soit $\ve{v}$  un vecteur.  On  appelle norme de $\ve{v}$  le nombre
    noté $\nov{v}$ et défini par~:

\[\nov{v}=\sqrt{\psv{v}{v}}\]
    \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}
  
Ainsi,  si  $\ve{v}$  a   pour  coordonnées  $(x,y,z)$  dans  un  repère
orthonormé,  alors   $\nov{v}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.  Cela  vous  rappelle
sûrement un vieux théorème de collège...





\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{figIni3db.5}\caption{\label{norme}norme
    d'un vecteur}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\subsection{Matrices orthogonales}


\begin{frame}
  \begin{definition}[matrice orthogonale]
     Une  matrice  de $  \mathfrak{M}_3(\bbr)$  est  orthogonale si,  et
     seulement si, elle est inversible et $A^{-1}=\tr A$
    \end{definition}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{theorem}[caractérisation d'une matrice orthogonale]
    Une matrice de $ \mathfrak{M}_3(\bbr)$ est orthogonale si, et seulement si, ses colonnes
    forment une base orthonormée de $\bbr^3$.
    \end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}
  Reprenons  la  matrice  d'une
rotation d'angle  $\theta$ et d'axe  $(Oz)$ et appelons $C_1$,  $C_2$ et
$C_3$ ses colonnes~:

\pause

\[ R=\begin{blockarray}{ccc}
     C_1& C_2  &  C_3  \\
        \begin{block}{(ccc)}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0     \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0    \\
        0          &          0  & 1    \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        \]


\end{frame}



\begin{frame}
  
Alors la norme du vecteur associé à $C_1$ vaut

\pause

$\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta+0^2}=1$. 


\pause

Il en va de même pour $C_2$ et
$C_3$.

\pause

Formons à présent les produits scalaires~:

\pause

\[C_1\times \tr C_2=-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta+0=0\]

\pause

Il en va de même pour $C_1$ et $C_3$ ainsi que pour $C_2$ et $C_3$.

\pause

La matrice de cette rotation est donc orthogonale.

\end{frame}



\subsection{Quelques propriétés des matrices orthogonales}

\begin{frame}
\begin{block}{Propriété~:~déterminant d'une transposée et d'un produit }
    \[\det \tr A=\det A\]

\[\det A\times B=\det A\cdot \det B\]
    \end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{theorem}[déterminant d'une matrice orthogonale]
    Une matrice orthogonale a pour déterminant 1 ou $-1$
    \end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{theorem}[Détermination de l'axe d'une rotation]
    Si A est une matrice orthogonale de $ \mathfrak{M}_3(\bbr)$ différente de
    l'identité et  dont le  déterminant vaut 1,  alors A est  la matrice
    d'une rotation autour d'un axe.

La direction de l'axe est donnée en déterminant un vecteur invariant.
    \end{theorem}
\end{frame}



\begin{frame}
  
Voilà pour l'axe. En ce qui concerne l'angle, nous aurons besoin...d'une
nouvelle définition~!

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{definition}[trace d'une matrice carrée]
    La  trace  d'une matrice,  notée  ${\rm  tr}(A)$  est la  somme  des
    éléments de sa diagonale.
    \end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
$\begin{pmatrix}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0     \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0    \\
        0          &          0  & 1    \\
        \end{pmatrix}$
\end{example}

\pause

La trace vaut \pause $2\cos\theta+1$.

\end{frame}



\begin{frame}
  


Or il  existe une  belle propriété qui  dit que  la trace ne  change pas
lorsqu'on effectue des changements de base et donc...


\pause

 \begin{theorem}[détermination du cosinus de l'angle d'une rotation]
    Soit $r$  une rotation  de matrice A  dans une certaine  base. Alors
    l'angle $\theta$ de la rotation vérifie~:

\[\cos\theta=\frac{{\rm tr }(A)-1}{2}\]
    \end{theorem}

\end{frame}



\subsection{Produit vectoriel}


\begin{frame}
  \begin{definition}[produit vectoriel]
    Soit $\ve{v}$ et $\ve{v'}$ deux vecteurs de coordonnées $(x,y,z)$ et
    $(x',y',z')$ dans une base orthonormée directe.

On  appelle  produit vectoriel  de  $\ve{v}$  et  $\ve{v'}$ et  on  note
$\ve{v}\wedge \ve{v'}$ le vecteur dont les coordonnées sont~:

\[
\left(\begin{vmatrix}y & z\\y' & z'\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}x & z\\x' & z'\end{vmatrix},\begin{vmatrix}x & y\\x' & y'\end{vmatrix}\right)
\]


    \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}
  

On peut vérifier assez facilement que le \emph{vecteur} $v\wedge v'$ est
orthogonal à la fois à $\ve{v}$ et à $\ve{v'}$.



\pause


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{figIni3db.6}\caption{\label{pv}produit vectoriel}
\end{center}
\end{figure}



\end{frame}




\begin{frame}
  
On montre aussi le résultat important suivant~:

\[
\DecalNorme{\ve{v}\wedge \ve{v'}}=\nov{v}\times\nov{v'}\times\left|\sin \left(\ve{v},\ve{v'}\right)\right|
\]
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Remarque~:~disposition pratique}
   Une méthode  peu orthodoxe  mais pratique de  retenir la  formule de
    calcul du produit  scalaire est de le disposer  comme un déterminant
    d'une matrice de taille 3~:

\pause

\[\ve{v}\wedge \ve{v'}=\begin{vmatrix}
\ve{e_1}&\ve{e_2}&\ve{e_3}\\
x&y&z\\
x'&y'&z'\\
\end{vmatrix}
\]

\pause

puis de développer par rapport à la première ligne~:

\pause

\[
\ve{v}\wedge \ve{v'}=\begin{vmatrix}y & z\\y' & z'\end{vmatrix}\ve{e_1}-\begin{vmatrix}x & z\\x' & z'\end{vmatrix}\ve{e_2}+\begin{vmatrix}x & y\\x' & y'\end{vmatrix}\ve{e_3}
\]


\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
  
On peut donc montrer que $\ve{v}\wedge \ve{v'}=-\ve{v'}\wedge \ve{v}$



\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Remarque~:~règle du tire-bouchon}
  Très  grossièrement, quand  on  \og tourne\fg{}  de $\ve{v}$  vers
      $\ve{v'}$, on \og monte le long \fg{} de $\ve{v}\wedge \ve{v'}$ et
      \sout{vis} vice-versa
\end{block}
\end{frame}
\subsection{Exemple de détermination d'une rotation}



\begin{frame}
  \begin{example}

On  connaît la  matrice  d'une certaine  application  dans une  certaine
base~:


\[
A=\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]

\pause

Vérifiez que la matrice est orthogonale.

\pause

Calculez son déterminant. Conclusion~?



\end{example}
\end{frame}




\begin{frame}
   Pour déterminer l'axe, on va chercher un vecteur de représentation
  matricielle  $V=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ invariant  par la
  rotation donc  tel que  $A\times V-V$ soit  égal à la  matrice colonne
  nulle. On obtient après simplification (faites le calcul...)~:

\end{frame}

\begin{frame}
  \[
\begin{pmatrix}
\frac{-x-y-2 z}{3} \\
\frac{2 x-y+z}{3} \\
\frac{x-2 y-z}{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
\]
\end{frame}



\begin{frame}
  
cela revient à résoudre le système~:


\[
\bsys
\frac{-x-y-2 z}{3}=0 \\
\frac{2 x-y+z}{3}=0 \\
\frac{x-2 y-z}{3}=0
\esys
\]


\pause


Ce système admet une infinité  de solutions car en additionnant les deux
premières lignes on obtient la troisième. On choisit une des inconnues
comme paramètre  (par exemple  $z$) et on  résout le  système résultant
ayant maintenant deux équations et deux inconnues.

 
\end{frame}


\begin{frame}
  
On obtient $x=-z$ et $y=-z$.

\pause

L'axe  de la  rotation est  donc la  droite vectorielle  dirigée  par le
vecteur $\ve{v}$ de coordonnées $(1,1,-1)$.

\end{frame}


\begin{frame}
    Pour    l'angle,    on    sait    que    $\cos\theta=\frac{{\rm
      tr }(A)-1}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$.

\pause


On obtient donc  que $\theta=\pm \frac{\pi}{3}$ à un  multiple de $2\pi$
près.

\pause



Pour  déterminer le  signe, il  nous faut  un  autre renseignement~:~nous
allons utiliser le produit vectoriel.
\end{frame}


\begin{frame}
  Nous allons déterminer un vecteur $\ve{n}$
orthogonal à $\ve{v}$.  \pause

Il faut  donc  s'arranger pour  que le  produit
scalaire de $\ve{n}$ et $\ve{v}$ soit nul. 

\pause

Si   nous   posons  $(x,y,z)$   les   coordonnées   de  $\ve{n}$   alors
$\psv{v}{n}=x+y-z$.

\pause

Nous pouvons donc choisir $(1,0,1)$ pour les coordonnées de $\ve{n}$.

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  
Déterminons à présent l'image de $\ve{n}$ par la rotation~:

\pause

\begin{promat}
promat([[2/3,-1/3,-2/3],[2/3,2/3,1/3],[1/3,-2/3,2/3]],[[1],[0],[1]],[["A","N"]])
\end{promat}

\pause


Donc $r\pav{\ve{n}}$ a pour coordonnées $(0,1,1)$.

\end{frame}


\begin{frame}
  
Calculons   à   présent   le   produit   vectoriel   de   $\ve{n}$   par
$r\pav{\ve{n}}$~:

\pause

\[\ve{n}\wedge r\pav{\ve{n}}=\begin{vmatrix}
\ve{e_1}&\ve{e_2}&\ve{e_3}\\
1&0&1\\

0&1&1\\
\end{vmatrix}=-\ve{e_1}-\ve{e_2}+\ve{e_3}=-\ve{v}\]


\end{frame}




\begin{frame}
   \begin{theorem}[rotation et produit vectoriel]
    Si l'axe d'une rotation $r$ est dirigé par un vecteur $\ve{v}$ et si
    $\ve{n}$ est un vecteur du plan orthogonal à $\ve{v}$ alors 
\[\ve{n}\wedge r\pav{\ve{n}}=\frac{\nov{n}\times\DecalNorme{r\pav{\ve{n}}}}{\nov{v}}\times\sin(\theta)\cdot\ve{v}\]
    \end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}
  
Ainsi,                                      $-\ve{v}=\frac{\sqrt{2}\times
  \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\sin(\theta)\cdot \ve{v}$.

\pause

Nous en déduisons que $\sin(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

\pause

Or
$\cos(\theta)=\frac{1}{2}$.

\end{frame}


\begin{frame}
  
Finalement, A est la matrice dans la base canonique de la rotation d'axe
dirigé par $\ve{v}$ de coordonnées $(1,1,-1)$ et d'angle $-\frac{\pi}{3}$.

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=\textheight]{figIni3db.7}\caption{\label{rotA}rotation
    de matrice A}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\section{Changement de base}

\subsection{Le problème}




\begin{frame}
  
On connaît la matrice A d'une rotation relativement à une certaine base,
généralement une base orthonormée dont un des vecteurs dirige l'axe de la
rotation.

\pause

On  voudrait   alors  connaître  la  matrice  de   cette  rotation  mais
relativement à une autre base...

\end{frame}


\subsection{Matrice de passage}


\begin{frame}
  \begin{definition}[matrice de passage]
    Soit $\BR$ et  $\BR\,'$ deux bases de $\bbr^3$. \pause On appelle matrice de
    passage  de  $\BR$  à  $\BR\,'$   et  on  note  $\mat(\BR\,')$  ou  encore
    $\PR_{\BR,\BR\,'}$  la  matrice de  $\mathfrak{M}_{2}(\bbr)\ $  dont  les  colonnes sont  les
    vecteurs de $\BR\,'$ exprimés dans $\BR$~:

\pause

\[ \begin{blockarray}{cccc}
     \ve{e_1'}&  \ve{e_2'}  & \ve{e_3'}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        \times & \times & \times   & \ve{e_{1}}  \\
        \times & \times & \times   & \ve{e_{2}} \\
        \times & \times & \times   & \ve{e_{3}} \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        \]

\pause

{\bf À  noter}~: si  les bases sont  \emph{orthonormées} alors les  matrices de
passage seront \emph{orthogonales}.

    \end{definition}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{block}{Propriété : matrice de passage inverse}

\[\PR_{\BR\,',\BR}=\PR_{\BR,\BR\,'}^{-1}\]      

\pause
En particulier, si les bases sont \emph{orthonormées}~:

\pause
\[\PR_{\BR\,',\BR}=\tr \PR_{\BR,\BR\,'}\] 

  \end{block}
\end{frame}





\subsection{Changement de coordonnées d'un vecteur}


\begin{frame}
  
Soit $\ve{v}$  un vecteur  dont les coordonnées  dans une  certaine base
$\BR$ sont $(x,y,z)$.  

\pause

On peut donc associer une matrice  colonne V à ce
vecteur~:
$V=\mat \ve{v}=\coordpp{x}{y}{z}$


\pause


\begin{alertblock}{ATTENTION~!}
 À  un même  vecteur  correspond une  infinité  de vecteurs  colonnes
    différents selon la base choisie~!
\end{alertblock}

\end{frame}


\begin{frame}
  
Notons maintenant $V'=\mat[\,'] \ve{v}$ alors~:

\pause

 \begin{block}{Propriété~:~changement de coordonnées d'un vecteur}
 \[V=P_{\BR,\BR\,'}\times V'\]
  \end{block}


\pause

Notez bien que cette formule donne les anciennes coordonnées en fonction
des nouvelles~!


\begin{alertblock}{À RETENIR~!}
  On peut en fait retenir que les \og primes\fg{} sont du côté des \og primes\fg{}.
\end{alertblock}
\end{frame}
















\begin{frame}
  

Cette formule n'est donc pas  pratique sous cette forme mais sachant que
$V=\PR_{\BR,\BR\,'}V'$, alors

\pause

 \[V'=\PR_{\BR,\BR\,'}^{-1}\times V\]

\pause

et  comme   nous  travaillerons   dans  des  bases   orthonormées,  nous
utiliserons le plus souvent~:

\pause

 \[V'=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times V\]

\pause

\end{frame}



\subsection{Rotation et changement de base}

\begin{frame}
  
Soit A la matrice d'une rotation $r$ dans une certaine base. Notons toujours
$V=\mat  \ve{v}$  et  $W=\mat   r\pav{\ve{v}}$  et  leurs  pendants  \og
primés\fg{}.


\end{frame}

\begin{frame}
  
Nous  avons vu  que  $W=A\times V$.  D'après  ce que  nous  avons vu  au
paragraphe précédent, cela donne~:
\pause


\[\PR_{\BR,\BR\,'}\times W'=A\times \PR_{\BR,\BR\,'}\times V'\]

\pause

et donc 

\pause


\[ W'=\left(\,\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times A\times \PR_{\BR,\BR\,'}\right)\times V'\]

\pause

On en déduit que $A'=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times A\times \PR_{\BR,\BR\,'}$



\end{frame}



\begin{frame}
   \begin{theorem}[transformation orthogonale et changement de base]
    \[\mat[\,']f=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times \mat f\times \PR_{\BR,\BR\,'} \]
    \end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
  

\begin{alertblock}{À RETENIR!}
 
% $$
% \begin{CD}
% \psovalbox{$\BR$}\ \bbr^3 @>{f}>{\psframebox*[fillcolor=yellow]{\textcolor{black}{$\ds A$}}}> \bbr^3\ \psovalbox{$\BR$}\\
% @V{\psdiabox*[fillcolor=yellow]{\textcolor{black}{$\PR_{\BR,\BR\,'}$}}}VV @VV{\psdiabox*[fillcolor=yellow]{\textcolor{black}{$\PR_{\BR,\BR\,'}$}}}V\\
%  \psovalbox{$\BR\,'$}\ \bbr^3 @>{f}>{\ds\textcolor{blue}{A'}}> \bbr^3\ \psovalbox{$\BR\,'$}\\
% \end{CD}
% $$

\[{\LARGE
\begin{CD}
\textcolor{yellow}{\BR}\ \bbr^3 @>{f}>{\ds \textcolor{yellow}{A}}> \bbr^3\ \textcolor{yellow}{\BR}\\
@V{\PR_{\BR,\BR\,'}}VV @VV{\PR_{\BR,\BR\,'}}V\\
 \textcolor{blue!50}{\BR\,'}\ \bbr^3 @>{f}>{\ds\textcolor{blue!50}{A'}}> \bbr^3\ \textcolor{blue!50}{\BR\,'}\\
\end{CD}
}\]

\end{alertblock}
\end{frame}



% \section{Analyse du mouvement d'un bras de robot}


% \begin{frame}
  
% \begin{center}
% \begin{figure}\label{film}
% \includemovie[
%   poster=robotposter.pdf,
%   text={\Large\bf\centering \psframebox*[fillcolor=gray!20]{Cliquer pour commencer} \vspace{10cm}}
% ]{0.5\textwidth}{8cm}{robot.swf}
% \caption{Bras de robot en mouvement}
% \end{figure}
% \end{center}
% \end{frame}

% \begin{frame}
  
% Nous  voudrions décrire le  mouvement du  verre d'eau  par rapport  à un
% repère \og fixe\fg{}.

% \pause

% Avant d'y arriver, nous allons nous entraîner sur quelques cas plus simples.

% \end{frame}















\section*{EXERCICES}


\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
                                 \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\
                                -\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\
                                -\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
                       \end{pmatrix}$ d'une  certaine transformation $f$
                       de $\bbr^3$ dans lui-même.

Décrivez $f$ le plus précisément possible.
  \end{block}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
On  considère la rotation  $u$ d'angle  $\frac{\pi}{4}$ autour  de l'axe
dirigé     par     le      vecteur     $\ve{v_1}$     de     coordonnées
$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$    dans    la    base
canonique $\BR_0$.
\begin{itemize}
\item       Montrez       que       $\ve{v_2}$      de       coordonnées
  $\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$  dans  $\BR_0$ est
  orthogonal à $\ve{v_1}$.
\item     Déterminez      un     vecteur     $\ve{v_3}$      tel     que
  $(\ve{v_1},\ve{v_2},\ve{v_3})$ soit une base orthonormée directe.
\item Déterminez $\mat[_0] u$.
\end{itemize}

  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
  Dans  $\bbr^3$, soit  $R_x$ la  rotation  autour de  l'axe dirigé  par
  $\ve{e_1}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, soit $R_y$ la rotation autour
  de  l'axe dirigé  par $\ve{e_2}$  et d'angle  $\frac{\pi}{2}$  et soit
  $R_z$ la  rotation autour  de l'axe dirigé  par $\ve{e_3}$  et d'angle
  $\frac{\pi}{2}$ .

  Décrivez $Rx\circ R_z$.

  \end{block}
\end{frame}






\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}

  On considère le bras de robot dont une vue de dessus est donnée ci-dessous~:



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.75\textheight]{figIni3db.8}\caption{\label{robplan}vue
    de dessus du bras de robot (plan $(xOy)$)}
\end{center}
\end{figure}

\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}[Exercice  (suite)]



On suppose  que les deux  segments constituant le  bras du robot  sont de
même longueur $\ell$.

\begin{itemize}
\item Déterminez  les coordonnées de  $P_2$ si $[P_0P_1]$ a  effectué une
  rotation d'angle $\theta_1$ autour de l'axe $(P_0,\ve{e_3})$ et $[P_1P_2]$ a  effectué une
  rotation d'angle $\theta_2$ autour de l'axe $(P_1,\ve{e_3})$.
\item Calculez  les valeurs possibles  de $\theta_1$ et  $\theta_2$ pour
  que $P_2$ ait pour coordonnées $(\frac{\ell}{2},0,0)$.
\item Quel mouvement imaginer pour que $P_2$ soit en $(\frac{\ell}{2},4\ell,0)$~?
\end{itemize}



  \end{block}


\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}
Voici un nouveau robot qui cette fois à un \og avant-bras\fg{} $[P_1P_2]$ dont la
longueur est variable et qui est muni d'une \og main\fg{} $[P_2P_3]$ de
longueur  $\ell_3$.   L'\og  humérus\fg{}  $[P_OP_1]$   a  une  longueur
$\ell_1$.

On  notera   $\ell_2$  la  longueur   minimum  de  l'avant-bras.   On  a
$\ell_3<{\rm min}(\ell_2,\ell_3)$.

\end{block}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}[Exercice  (suite)]

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.9\textheight]{figIni3db.9}\caption{\label{robplan2}vue
    de dessus du bras de robot à longueur variable (plan $(xOy)$)}
\end{center}
\end{figure}

\end{block}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{block}{Exercice}[Exercice (fin)]

On    note   $\RR$   le    repère   d'origine    $P_0$   et    de   base
$\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$. Donnez les coordonnées de $P_3$ dans
$\RR$ sachant  que l'avant-bras  s'est allongé de  $r$ par rapport  à sa
position minimum.

  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{block}{Exercice}

Reprendre  à  présent le  robot  que vous  avez  vu  \og vivre\fg{}  sur
l'animation de la figure~\vref{film}
\end{block}
\end{frame}



\end{document}



\end{document}
