\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}
\usepackage{preambule-utf8}
%\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[boldsans]{ccfonts}
\usepackage{beton,euler}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
\entete{\normalsize\textsf{\rightmark}}{\large \bfseries Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - 2\up{nde}12}%g,d,b




\newcommand{\syst}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 &=& #2\\#3 &=& #4 \end{array}\right.} %syst�me
\newcounter{defis}
\newcommand{\defi}[2]{ \stepcounter{defis}\psshadowbox*[fillcolor=gris,framearc=.25]{\begin{minipage}{\textwidth}{\textbf{Définition \arabic{defis} : #1}}\\ \em{#2} \end{minipage}}\bigskip}
\newcommand{\defin}[1]{ \textbf{\textcolor{red}{#1} }}


\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center}  Systèmes   de 2 équations linéaires à 2
    inconnues en 2\up{nde}12\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}


\section{Résolutions}

\exot{}Pour chacun des systèmes suivants, indiquez le nombre de solutions :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $\syst{2x+3y}{7}{x-y}{5}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{4x-6y}{2}{6x-9y}{3}$
	\item $\syst{x}{2y-5}{3y}{7x-2}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{x+2}{5}{3x+4y}{7}$
\end{multicols}
\end{enumerate}


\exot{}On considère le système suivant :$\syst{4x-3y}{6}{x+5y}{13}$
\begin{enumerate}
	\item Vérifiez que le couple $(3;2)$ est une solution du système.
	\item Est-ce la seule ? Si non, en donnez une autre.
\end{enumerate}

\exot{}On considère le système suivant :$\syst{(a+1)x+(3a+2)y}{4}{2ax-6ay}{5}$\\
\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, le système a-t-il une unique solution ?
\item Donner pour les autres cas, le nombre de solutions.
\end{enumerate}



\exot{}Résoudre chacun des systèmes suivants :\\
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $\syst{8x+4y}{-3}{6x+3y}{-4}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{4x+2y}{130}{3x+4y}{135}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{4s-3t}{32}{-s+3t}{19}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{\alpha+\beta }{40}{5\alpha+3\beta}{180}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{-10x+4y}{-74}{3x+2y}{19}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{2x+4y}{3}{x+2y}{-4}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{d+c}{28}{d+2c}{45}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{2x-4y}{-6}{-3x+6y}{9}$\vspace{0.5cm}
\end{enumerate}
\end{multicols}



\exot{}Résolvez chacun des systèmes suivants après les avoir remis sous forme "classique"\\
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $\syst{x+1}{2(y-1)}{x-1}{y+1}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{d+3}{u}{10d+u+27}{10u+d}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{g-p}{75}{g}{4p+21}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{\cfrac{a+3}{b+3}}{\cfrac25\\}{\cfrac{a-3}{b-3}}{\cfrac17}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{2\Bigl ( y-(x-y)\Bigr )}{x}{x+(x+x-y)}{90}$\vspace{0.5cm}
	\item $\syst{(x+1)(y+2)}{xy-4}{(x+1)^2+(y-3)^2}{x^2+y^2}$\vspace{0.5cm}
\end{enumerate}
\end{multicols}





\exot{}On considère le système : $\S \syst{6x-12y}{-18}{-15x+30y}{45}$.\\
On souhaite obtenir trois couples de solutions différentes à ce système.
\begin{enumerate}
	\item Justifiez que le souhait est réalisable.
	\item Réalisez-le.
\end{enumerate}




\section{Résolution graphique}



\exot{}On considère le système : $\S \syst{-2x+y}{-1}{-5x+y}{2}$.\\
\begin{enumerate}
	\item Justifiez le nombre de solutions du système.
	\item Donnez les équations réduites des droites associées à ce système.
	\item A l'aide de la calculatrice graphique, tracez les droites et déduisez-en une approximation de la solution.
	\item Vérifiez par le calcul que le couple obtenu est bien la solution exacte du système.
\end{enumerate}

\exot{}On se place dans un repère \oij~d'unité 1 cm ou 1 carreau.
\begin{enumerate}
	\item Tracer les droites d'équations $2x-4y=1$ et $x+6y=-3$
	\item En déduire une approximation des solutions du système $\syst{2x-4y}{1}{x+6y}{-3}$
	\item Vérifier ces solutions, et si elles ne sont pas exactes, retrouver le résultat par le calcul.
\end{enumerate}




\exot{}Déterminer une équation de chacune des droites tracées ci-dessous, puis en déduire la résolution graphique de chacun des systèmes donnés.
$$\psset{unit=1cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-4}\def\ymin{-4}\def\xmax{8}\def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=red]{-4}{5}{2/5*x+3}\rput(3,4.5){$(d_1)$}
\psline[linecolor=blue](-2.5,-4)(-2.5,5)\rput(-3.5,4.5){$(d_2)$}
\psline[linecolor=red](-4,4)(8,4)\rput(7,4.5){$(d_3)$}
\psplot[linecolor=red]{-4}{8}{1/2.5*x-1.5}\rput(-3.5,-2.5){$(d_4)$}
\psplot[linecolor=red]{-4}{8}{-1/9*x+31/18}\rput(-3.5,2.5){$(d_5)$}
\end{pspicture*}$$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\syst{y}{\dfrac{2}{5}x+3}{2x+5}{0}$\vspace{0.5cm}
 \item $\syst{4x-10y}{15}{2x+18y}{31}$
 \item $\syst{y}{4}{2x+5}{0}$\vspace{0.5cm}
 \item $\syst{y}{\dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{2}}{2x-5y}{-15}$
\end{enumerate}
\end{multicols}






\section{Équations cartésiennes d'autre figures}





\exot{}
Dans un repère orthonormal $\oij$, on considère l'équation $x^2+y^2=4$. Cette équation caractérise une figure géométrique que l'on ne connait pas.
\begin{enumerate}
\item Est-ce l'équation d'une droite ? Pourquoi ?
\item \begin{enumerate}
    \item Déterminer les  valeurs possibles de $x$ lorsque $y=0$.
    \item Déterminer les  valeurs possibles de $y$ lorsque $x=0$.
    \item En déduire quatre points situés sur $\Gamma$ et placer les sur un graphique.
    \item Que pensez-vous de la forme de $\Gamma$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
Soit $A$ et $B$ les points de coordonnées respectives $(2,0)$ et $(-2,0)$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Calculer la longueur $AB$.
\item Soit $C$ le point de $\Gamma$ de coordonnées positives et tel que $x_C=1$.
    \begin{enumerate}
    \item Calculer l'ordonnée $y_C$ de $C$.
    \item Calculer les longueurs $AC$ et $BC$.
    \item Prouver que $ABC$ est un triangle rectangle en $C$.
    \end{enumerate}
\item Soit $D$ le point de $\Gamma$ de coordonnées négatives et tel que $x_D=-\sqrt{2}$.
    \begin{enumerate}
    \item Calculer l'ordonnée $y_D$ de $D$.
    \item Calculer les longueurs $AD$ et $BD$.
    \item Prouver que $ABD$ est un triangle rectangle en $D$.
    \end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ inconnue et d'ordonnée $y$ positive.
    \begin{enumerate}
    \item Ecrire l'ordonnée $y$ de $M$ en fonction de $x$.
    \item Calculer les longueurs $AM$ and $BM$, en fonction de  $x$.
    \item Prouver que $ABM$ est un triangle rectangle en $M$.
    \end{enumerate}
\item Que peut-on en déduire pour $\Gamma$ ?
\end{enumerate}




 \section{Différentes équations pour une même droite}






\textsf{Toute droite admet une infinité d'équation cartésienne, toutes équivalentes mais parfois vraiment différentes dans leur apparence (et dans les informations directes qu'elles fournissent). Dans ce module, nous allons voir les principaux types d'équation. Seulement deux sont généralement utilisés mais les autres sont aussi très intéressantes. \\
On distingue  :
\begin{itemize}
\item la forme \defin{generale} : $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. Toute droite admet une équation de cette forme ... et même plusieurs puique l'on peut multiplier par n'importe quel nombre non nul.
\item la forme \defin{pente-ordonnée} à l'origine : $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des nombres. $m$ est la pente et $p$ l'ordonnée à l'origine. Cette forme est unique pour toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
\item la forme \defin{point-pente} : $y-y_0=m(x-x_0)$, où $m$ est un réel, la pente, et $(x_0,y_0)$ est un couple de nombre réel, les coordonnées d'un point de la droite. cette forme n'est pas unique puisque tout point de la droite peut-être utilisé.
\item la forme \defin{intersection} : $\ds\frac{x}{p}+\dis\frac{y}{q}=1$, où $p$ et $q$ sont des réels non nuls, respectivement l'abscisse de l'intersection avec $(Ox)$ et l'ordonnée de l'intersection avec $(Oy)$.
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
Il est  assez facile  de passer  d'une forme à  l'autre comme  le montre
l'exemple suivant.
}
\begin{eqnarray*}
4x+2y-6 &=& 0 \emph{ (forme générale)} \\
2y &=& -4x+6\\
y &=& -2x+3 \emph{ (pente -ordonnée)}\\
y &=& -2(x-1)+1\\
y-1 &=& -2(x-1) \emph{ (point-pente)}\\
2x+y &=& 3 \\
\frac{2x}{3}+\frac{y}{3} &=& 1 \\[5pt]
\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{3} &=& 1  \emph{ (intersection)}
\end{eqnarray*}

\exot{}
Huit équations de droites sont données ci-dessous.
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $d_1$ : $3x-3y+3=0$ ;
\item $d_2$ : $y=-5x+7$ ;
\item $d_3$ : $y-2=-6(x-\frac13)$ ;
\item $d_4$ : $\frac{x}{5}+\frac{y}{2}=1$ ;
\item $d_5$ : $-2x+5y+1=0$ ;
\item $d_6$ : $y=6x-11$ ;
\item $d_7$ : $y+1=2(x+5)$ ;
\item $d_8$ : $\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$.
\end{itemize}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Reconnaître la forme de chaque équation.
\item Tracer chaque droite à partir de l'équation donnée. Quelle est la forme la plus facile à tracer ?
\item Pour chacune des droites précédentes, utiliser l'équation donnée pour trouver les coordonées de deux points de cette droite. Pour quelle forme est-ce le plus facile ?
\item Pour chacune des équations, donner les trois autres formes d'équation.
\item En déduire, pour chaque droite, la pente et les coordonnées des intersections avec chacun des axes.
\end{enumerate}



\section{Mise en équation de problèmes}

Le but de ce module est de mettre en équation des problèmes. On ne demande pas de résoudre les sytèmes obtenus puisqu'ils ont déjà été résolus lors de précédent exercices.\\
Pour chaque situation, on veillera à bien préciser les inconnues choisies.\\

\exot{}Mettre chacun de ces problèmes en équation. On ne demande pas de résoudre les systèmes obtenus.
\begin{enumerate}
	\item Quatre DVD et deux CD coûtent 130 \texteuro. Trois DVD et quatre CD coûtent 135 \texteuro. Quel est le prix d'un DVD ? d'un CD ?
	\item Simon a 40 livres. Les uns ont une épaisseur de 5 cm, les autres ont une épaisseur de 3 cm. S'il les range tous sur un même rayon, ils occupent 1,80 m.\\ Combien Simon a t-il de livre de chaque sorte ? 
	\item Dans un troupeau de chameaux et de dromadaires, on compte 28 têtes et 45 bosses. Combien y a-t-il de dromadaires ? (une bosse)
	\item Trouver une fraction telle que , si l'on ajoute 3 à son numérateur et à son dénominateur, on trouve $\frac25$ mais si l'on retranche 3 à son numérateur et à son dénominateur, on trouve $\frac17$.
	\item Trouver deux nombres, sachant que la différence du plus grand et du plus petit est 75 et que si l'on divise la plus grand par le plus petit, le quotient est 4 et le reste est 21.
	\item Dans un nombre de deux chiffres, le chiffre des dizaines est inférieur de 3 à celui des unités. Si on inverse les deux chiffres, on obtient un nombre qui dépasse de 27 le premier.\\ Donner toutes les solutions possibles.
	\item Un cheval et un mulet, portant tout les deux de lourds sacs, marchaient côte à côte. Le cheval se plaignant du poids excessifs de son fardeau, le mulet lui répondit : " Si je te prends un sac, ma charge sera deux fois plus lourde que la tienne, mais si tu me prends un sac, ton fardeau sera égal au mien ".\\
Dites, mathématicien éclairés, combien de sacs portait le cheval et combien de sac portait le mulet.
	\item J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez, et quand vous aurez l'âge que j'ai, la somme de nos âges sera de 90 ans.\\
		Peut-on connaître l'âge du  narrateur ? Si oui, quel est cet âge ?
\end{enumerate}




\section{Changement de variables}



\exot{}On considère le système : $$\S \syst{4\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2}{-3\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{10}$$
\begin{enumerate}
	\item Le système peut-il être qualifié de linéaire ? Expliquer.
	\item Réecrire le sytème en posant $U=\sqrt{x}$ et $V=\sqrt{y}$.
\end{enumerate}
On dit que l'on a effectué un  \textbf{changement de variable}. Le but de cette manipulation était de transformer le sytème initial (non linéaire) en un système linéaire que l'on sait résoudre. Une telle manipulation (qui est bien pratique) n'est malheureusement pas toujours possible\ldots Cela dépend évidemment de la "forme" du système.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
	\item Résoudre le système obtenu.
	\item En déduire les solutions du système initial.
\end{enumerate}

\exot{}Résoudre chacun des systemes suivants après avoir effectué un changement de variables :

$$\syst{\cfrac{x+3}{2}+3\cfrac{y-3}{4}}{7\\}{3\cfrac{x+3}{2}+\cfrac{y-3}{4}}{13}$$
\vspace{0.5cm}
$$\syst{3x^2-5y^2}{-2}{-2x^2+4y^2}{1}$$
\vspace{0.5cm}
$$\syst{3(x-3)^2-\frac{2}{y-1}}{-5}{7(x-3)^2+\frac{4}{y-1}}{23}$$
\vspace{0.5cm}
$$\syst{2x^2+3y^2}{35}{3x^2+2y^2}{30}$$












\end{multicols}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
