\chapterimage{fourier}
\chaptertext{Enfin un peu d'analyse...Joseph \textsc{Fourier}  (1868-1830) le mathématicien,  à ne
  pas   confondre   avec    son   homonyme   et   contemporain   Charles
  \textsc{Fourier}(1872-1837), philosophe socialiste...}
\setcounter{chapter}{5}
\maple
\chapter{Séries de \textsc{Fourier}}%{La fonction $\zeta$ de \textsc{Riemann}}

\section{Un exemple}




% \setindent{0cm}
% \begin{flushleft}
% \begin{minipage}[t]{3cm}
% \begin{figure}
%   \includegraphics[width=3cm]{fourier}
% \caption{Joseph \textsc{Fourier}  (1868-1830) le mathématicien,  à ne
%   pas   confondre   avec    son   homonyme   et   contemporain   Charles
%   \textsc{Fourier}(1872-1837), philosophe socialiste...}
% \end{figure}
% \end{minipage}
% \end{flushleft}
% \setindent{\indentationcours}
% \vspace{-8.15cm}
% \begin{minipage}[t]{\linewidth}

% \end{minipage}

%\subsection{Un exemple}

Soit $f$ la fonction paire, $2\pi$-périodique et définie sur $\R$ par $f(x)=x$
pour tout $x$ appartenant à $[0,\pi]$.

La première étape consiste à observer la tête de cette fonction.

On peut utiliser la commande:

 \verb+piecewise(cond1,f_1,cond2,f_2,...,f_sinon)+

et la représenter sur une période.


Comment  la  représenter sur  plus  d'une  période?  On voudrait  pouvoir
utiliser  \verb+plot(signal(x),x=min..max)+   avec  \verb+sigma(x)+  une
expression définie à partir de $f$.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.3,angle=270]{series02}
\end{center}
%\end{figure}


On  calcule  ensuite la  valeur  moyenne de  la  fonction  et sa  valeur
efficace     sur     une     période     (i.e.     $\sqrt{\frac{1}{2\pi}
  \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \left(f(x)\right)^2 \;\text{ d} x }$).

Calculez    les   coefficients    du   développement    en    série   de
\textsc{Fourier}.   On    utilisera   à   bon    escient   la   commande
\verb+assume(hypothèse)+.


Créez  une  fonction  \verb+sf  :=  (n,x)  ->+  sa  somme  partielle  de
\textsc{Fourier}.

Créez une  animation où  apparaîtra la représentation  du signal  et ses
approximations successives par les sommes de \textsc{Fourier} partielles.


L'énergie      d'un     signal      est     donnée      par     $\ER(s)=
\frac{1}{T}\displaystyle\int_{[a,a+T]}^{}f^2(x)\;\text{      d}x$     et
l'énergie de l'harmonique de rang $n$ par  $\ER_n(s)=
\frac{1}{T}\displaystyle\int_{[a,a+T]}^{}(a_n\cos(n\omega
x)+b_n\sin(n\omega x))^2(x)\;\text{ d}x$.


La formule de \textsc{Bessel-Parseval} donne donc

$$\ER(f)=f^2_{\text{moy}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\ER_n$$
 

Déterminer     le    plus     petit    entier     $n_0$     telle    que
$f^2_{\text{moy}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{n_0}\ER_n$  soit égal  à 99,9\%
de l'énergie du signal.


Refaites les  calculs avec la fonction  impaire, de période  1, et telle
que   $f(t)=1$   pour    tout   $t\in   \left]0;\frac{1}{2}\right[$   et
$f(0)=f(1/2)=0$ et visualisez un résultat bien connu.

\section{À Centrale}



\begin{exercice}[Centrale 2010]

On pose $g  \colon \begin{array}{rll} \R & \to & \R\\
  x   &   \mapsto   &  \begin{cases}   \frac{\ch(x)}{\sh(x)}-\frac{1}{x}
    \text{ si } x\neq 0\\
0 \text{ sinon}
\end{cases}
\end{array}$


\begin{enumerate}
\item La fonction $g$  est-elle continue? Soit $\alpha\in\R^*$. Soit $f$
  une   fonction  définie   sur  $\R$,   $2\pi$-périodique,   telle  que
  $f(x)=\ch(\alpha x)$ pour $x\in[-\pi,\pi]$.
\item Représenter $f$ sur $[-3\pi,3\pi]$ pour $\alpha=2$.
\item Calculer la série de Fourier de $f$ et étudier sa convergence.
\item En déduire une expression de $g$ comme somme de série de fonctions
  rationnelles.
\end{enumerate}

\end{exercice}


% %\begin{solution}
%   \begin{enumerate}
%   \item Interrogeons Maple:
% \begin{lstlisting}
% > g:=x->cosh(x)/sinh(x)-1/x:
% > limit(g(x),x=0):
% \end{lstlisting}

% ce que confirme le DL:

% \begin{lstlisting}[caption={}]
% > series(g(x)+1/x,x=0,3);
% \end{lstlisting}
 

% \item On utilise Maple:

%   \begin{lstlisting}[caption={}]
% > h:=x->cosh(2*x):
% > f:=unapply(piecewise(x<-Pi,h(x+2*Pi),x<Pi,h(x),x<3*Pi,h(x-2*Pi)),x):
% > plot(f,-3*Pi..3*Pi);
%   \end{lstlisting}

% \item Comme $f$  est $\mathscr{C}^1$ par morceaux et  paire, la série de
%   Fourier converge normalement. Pour les coefficients:

% \[ a_0(f)=\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \ch(\alpha x) \;\text{
%   d} x = \frac{\sh(\alpha \pi)}{\alpha\pi} \]

% Pour  les  autres coefficients,  deux  intégrations  par parties  seront
% nécessaires.

% On peut appeler Maple à la rescousse:

% \begin{lstlisting}[caption={}]
% > f1(x):=cosh(a*x):f2(x):=cos(n*x):
% > assume(n,integer):
% > J:=simplify((2/Pi)*int(f1(x)*f2(x),x=0..Pi));
% > combine(convert(J,trig));
% \end{lstlisting}


% C'est-à-dire   $$a_n(f)=\frac{2\alpha\left   (-1\right   )^n\sinh(\pi
%   \alpha)}{\pi \left(n^2+a^2\right)}$$

% Finalement:

% \[ \ch(\alpha t)=\frac{\sh(\alpha \pi)}{\alpha\pi}+\frac{2}{\pi}\alpha\sh(\alpha\pi) \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n\cos(nt)}{n^2+\alpha^2}\]

% \item On en déduit que:

% \[ \frac{\ch(\alpha t)}{\sh(\alpha \pi)}-\frac{1}{\alpha \pi}=2 \frac{\alpha}{\pi}\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n\cos(nt)}{n^2+\alpha^2}\]

% Il  suffit alors  de  prendre $t=\pi$  et  $\alpha=\frac{x}{\pi}$ et  on
% obtient:

% \[ g(x)=2 \frac{x}{\pi^2} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n(-1)^n}{n^2+\frac{x^2}{\pi^2}}=2x \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\pi^2n^2+x^2}\]

%   \end{enumerate}
% %\end{solution}


\begin{exercice}[Centrale 2010]
    Soit, pour $f∈\mcal{C}^0(|0,π],ℝ)$ et $n∈ℕ$,\quad
    $\displaystyle I_n(f)=∫_{0}^{π} f(t)|\sin nt| \dd t $
    \begin{enumerate}
        \item Soit $f\colon t \mapsto 1$.
            Calculer $I_n(f)$ pour $n∈\llbracket 1, 10\rrbracket $. Prouver le résultat dans le cas
            général.
        \item Soit $f\colon t \mapsto t$.
            Calculer $I_n(f)$ pour $n∈\llbracket 1, 10\rrbracket $. Prouver le résultat dans le cas
            général.
        \item Soit $f\colon t \mapsto t^2$.
            Calculer $I_n(f)$ pour $n∈\llbracket 1, 10\rrbracket $.
            Que peut-on conjecturer ?
        \item Soit $φ\colon t \mapsto |\sin t|$.
            Montrer que $φ$ est somme de sa série de Fourier.

            En déduire, si $f∈\mcal{C}^0([0,π],ℝ)$, que
            $ \left(I_n(f)\right)_{n≥0}$ tend vers une limite que l'on
            précisera.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
  



%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMapleMPstar"
%%% End: 
